《維隨機(jī)變量》ppt課件

1、第二章第二章 一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量1. 隨機(jī)變量的定義及其分布函數(shù)隨機(jī)變量的定義及其分布函數(shù)2. 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量及其分布列3. 延續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)延續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的結(jié)結(jié)果果數(shù)量化隨隨機(jī)機(jī)變變量量。10 ,() 正正反反即即例例1 拋一枚硬幣，察看出現(xiàn)的正反面拋一枚硬幣，察看出現(xiàn)的正反面0 t | t ()t, t隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)：可可以以用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)分分析析（微微積積分分）的的方方法法來來研研究究隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)。隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分類類：3) 奇特型隨機(jī)變量奇特型隨機(jī)變量注注1. 隨機(jī)變量

2、具有兩重性取值，概率隨機(jī)變量具有兩重性取值，概率 注注2. 隨機(jī)變量的自變量為隨機(jī)變量的自變量為 ,值域?yàn)橹涤驗(yàn)镽的子集的子集 2.1.1 定義在(概率空間下，若對(duì)任意 有則實(shí)值函數(shù) （）, 稱為隨機(jī)變量。 又稱為可測(cè)的的隨機(jī)變量（記為,A,P )xR,A| ()x F,()Fr.v.),F 111nnr.v.P| ()x , xR| ()x lim| ()xn| ()xFnP| ()x , xR 由由的的定定義義可可知知，都都存存在在。又又也也都都存存在在2.1.2 定義設(shè) 定義在（上的稱為 的分布函數(shù)，簡(jiǎn)記為或,F,P )r.v.,xR,F ( x )P| ()x Px F( x )F (

3、 x ). F( x ),r.v.F( x )F( x ) 注注：但但反反之之不不然然，即即同同一一分分布布函函數(shù)數(shù)可可對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)不不同同的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，記記為為2 1) 2) 注注 、分分布布函函數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)：分分布布函函數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)概概率率，是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量在在區(qū)區(qū)間間的的概概率率雖雖然然是是一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)，實(shí)實(shí)際際上上是是一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間的的函函數(shù)數(shù)11) ()2)P aba 注注 、分分布布與與分分布布函函數(shù)數(shù)的的區(qū)區(qū)別別：分分布布： 落落在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間的的概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)： 落落在在區(qū)區(qū)間間( (- - , , 上上的的

4、概概率率以上三條性質(zhì)是隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征性質(zhì)。以上三條性質(zhì)是隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征性質(zhì)。說說明明：若若Xa b , ，則則當(dāng)當(dāng)ax時(shí)時(shí)，xX 是是不不可可能能事事件件，這這時(shí)時(shí)，0)(xXPxF；當(dāng)當(dāng)bx 時(shí)時(shí)，xX 是是必必然然事事件件，這這時(shí)時(shí)，1)(xXPxF。121122 ( ),( ),01, ( ) ( ) ( )例3是兩個(gè)分布函數(shù)，為兩個(gè)大于 的常數(shù)，試證明也是分布函數(shù).F x F xa babF xc F xc F x12( ),( )0( )F x F xabF x 分分別別對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)離離散散型型，連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量且且時(shí)時(shí)，則則為為非非離離散散非非連連續(xù)續(xù)型型的

5、的分分布布函函數(shù)數(shù). .21 ( ). .1 (2) 0(3) 0例4是否可以作為某一的分布函數(shù).(1) -F xr vxxxx (1) ( )0( )10F xxF xx 不不單單調(diào)調(diào)(2)(2)單單調(diào)調(diào)下下降降(3)(3)若若定定義義 sin( )30,(2)0, (3)0,22例5在以下區(qū)間是否為分布函數(shù).(1)x 1216 121例求：的分布函數(shù) ( )(2)若令求 的分布函數(shù)( )P(),( )F x,F x 1111100121 11212311111110111 1211x,P(x )P(),F ( x );()x, ), P(x )P(F ( x )()x,), P(x )P(

6、)P()P()P()F ( x ),x(,),F ( x ),x, ),x ,). 解解：(1)(1)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ） ，；當(dāng)當(dāng)121112P()P()F ( x )F ( x ) 注注1 1： 與與 的的分分布布函函數(shù)數(shù)雖雖然然相相同同，但但它它們們是是不不同同的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量。2 iixxF( x )Px )P(x ) 注注 ： 離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)P(ab )F(b )F(a ) 1P(b)F()F(b)F(b). 110nnP(a )lim P(a)limF(a)F(a)nn 0P(a )P(a )P(a )F(a )F(a) 00P(ab)F(b)F(a)

7、 ； 。 分布函數(shù)可以計(jì)算各個(gè)區(qū)間的概率分布函數(shù)可以計(jì)算各個(gè)區(qū)間的概率二、離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量 及其概率分布列及其概率分布列定義定義2.1.3 階梯型的分布函數(shù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量階梯型的分布函數(shù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量 稱為離散型隨機(jī)變量。稱為離散型隨機(jī)變量。1 2iiiiiF( x )c (,xa ,b )(i, .)a ,b )R 階階梯梯型型函函數(shù)數(shù), ,若若滿滿足足 常常數(shù)數(shù)） 且且即即在在可可列列個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間上上取取常常數(shù)數(shù)值值的的函函數(shù)數(shù)1210 1 21inniiiixxP(a )F(a )F(a).x ,x ,.x ,.,P(x )p (i, ,.),p 又又當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，離離散散型

8、型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的一一個(gè)個(gè)等等價(jià)價(jià)定定義義：的的可可能能取取值值為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的概概率率可可用用概概率率分分布布列列或或分分布布律律來來表表示示：1 2 30, , 只只有有在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的概概率率不不為為對(duì)對(duì)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，若若已已知知分分布布律律，就就可可求求出出它它的的分分布布函函數(shù)數(shù)。, 1, 0)(21321211npppppppppxFnxxxxxxxxxxxxx4332211xxiixXPxXPxF)(nipxXPii,2, 1,例如例如:圖圖形形特特點(diǎn)點(diǎn)：右右連連續(xù)續(xù)，臺(tái)臺(tái)階階形形 F x( ) 1 pkki1 pp12 p1 x1 0 x2 x3 xi xi

9、1 xn x解解：X的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為F x( ),.,.,00 250 751 332211xxxxP XP X., 1210 25PXP X. ,32522059 例 設(shè) 是離散型隨機(jī)變量，分布列為： 2q; 求求：( (1 1) )（ ） 的的分分布布函函數(shù)數(shù)解：解：3111iiipp, 由由，及及0 0可可得得22211121221012102111qqqqqqq 2212010 51 00 5121 00 5121iixxqF( x )P(x ),x.,x,)F( x ).q,x,).qq, x ,) 取取，再再利利用用，得得010 51 020 50 111,x.,x,)F(

10、 x ).,x , ), x ,) 例例10 一汽車沿街道行駛，需經(jīng)過三個(gè)設(shè)紅一汽車沿街道行駛，需經(jīng)過三個(gè)設(shè)紅綠燈的道口，假設(shè)每個(gè)道口信號(hào)燈顯示紅綠燈的道口，假設(shè)每個(gè)道口信號(hào)燈顯示紅綠燈的時(shí)間相等，且各信號(hào)燈任務(wù)相互獨(dú)綠燈的時(shí)間相等，且各信號(hào)燈任務(wù)相互獨(dú)立，以立，以 記該車初次遇到紅燈前已經(jīng)過的記該車初次遇到紅燈前已經(jīng)過的道口數(shù)，求的概率分布。道口數(shù)，求的概率分布。 0 1 2 30 5 iiii , , , AiAP( A )P( A ). 解解： 的的取取值值范范圍圍為為，“在在第第 個(gè)個(gè)路路口口遇遇紅紅燈燈”則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立，100 5P()P( A ). 2121210 5P()P

11、( A A )P( A )P( A ). 312312320 5P()P( A A A )P( A )P( A )P( A ). 312312330 5P()P( A A A )P( A )P( A )P( A ). ，三三. . 延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量 及其密度函數(shù)及其密度函數(shù)那么稱為那么稱為 延續(xù)型隨機(jī)變量，延續(xù)型隨機(jī)變量， 稱為的稱為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)。概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)。 定義定義2.1.4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為 ，假設(shè)存在非負(fù)可積函數(shù)，假設(shè)存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對(duì)使得對(duì) ，有，有)(xFp( x )xR xF( x )p(t )

12、dt p( x )，密度函數(shù)的性質(zhì)，密度函數(shù)的性質(zhì)，非負(fù)性：非負(fù)性： 規(guī)范性：規(guī)范性：0p( x ) 1p( x )dx 例例11 均勻分布知隨機(jī)變量均勻分布知隨機(jī)變量 的密度函的密度函數(shù)為：數(shù)為： ,( ,)()0 ,cxa bp x 其其它它試求常數(shù)試求常數(shù)c及其分布函數(shù)。及其分布函數(shù)。解：利用規(guī)范性解：利用規(guī)范性1( )()bap x dxcdxc ba 1cba 1,( ,)()0,xa bp xba 其其它它( , )( , )a bU a b 稱稱 服服從從上上的的均均勻勻分分布布，記記為為利用分布函數(shù)是密度函數(shù)積分的定義得利用分布函數(shù)是密度函數(shù)積分的定義得 ,)( )( )( )

13、( )( )10( )01.xabxabbbaaxbF xp t dtp t dtp t dtp t dtp t dtdtba 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，( )00 xxaF xdt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， , )( )( )( )( )110();xaxaxaxa bF xp t dtp t dtp t dtdtxababa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0,(, )1( )(), , )1, ,)xaF xxaxa bbaxb 00 ()( )(0) ( )lim( )0( )xxxxPxF xF xp t dtp t dtF x 是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)注注3: 延續(xù)型隨機(jī)變量在計(jì)算概率時(shí)可不區(qū)分延續(xù)型隨機(jī)變量在計(jì)算概率時(shí)可不區(qū)分 開、閉

14、區(qū)間開、閉區(qū)間 注注1：延續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是延續(xù)的：延續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是延續(xù)的注注2：延續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)的概率為：延續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)的概率為0112233123 關(guān)于分布函數(shù)的一些結(jié)論：(1)分布函數(shù)至多只有可列個(gè)不連續(xù)點(diǎn)(2)分布函數(shù)有分解：離散型連續(xù)型（連續(xù)且可表示成積分的形式）奇異型（連續(xù)但不可表示成積分的形式）F( x )c F ( x )c F ( x )c F ( x )F ( x )F ( x )F ( x )1 11115 8P X(, )P( X)P( X) 11 11 112P X(, )| X(, )k 由由，可可得得1 1155711181616Xx(,

15、 )xF ( x )P XP X,x( x) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， （ , ( , )( , ( )( )( )baPa bPa bPa bF aF bp t dt | |( )( )x x Ix x IPIp x dtdF x p( x )P已已知知求求知分布函數(shù)，求密度函數(shù)知分布函數(shù)，求密度函數(shù)1)( )( )( )( )2)( )( )在的可導(dǎo)點(diǎn)處（即在的連續(xù)點(diǎn)處）有在的不可導(dǎo)點(diǎn)處，可任意取值F xp xdF xp xdxF xp x 20 02( )01 例13 ，求概率密度函數(shù)xxF xxRRxR 2,( )( )0)xRRF xxRp R ( (當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為0,

16、0,在在時(shí)時(shí)不不可可導(dǎo)導(dǎo)，可可規(guī)規(guī)定定為為220 ( )0 xxRp xR 解解：其其他他000,()( )( )lim() = lim()( )( )xxxF xxF xp xxP xxxxxP xxxp xxp xx 若若當(dāng)當(dāng)較較小小時(shí)時(shí)，即即反反映映了了 取取 鄰鄰近近值值的的概概率率大大小小p( x )的的含含義義：(1)( )( )(2)( )0,1(3)0.kip x dxpp x dxpp x 注注1 1：，不不一一定定要要連連續(xù)續(xù)，也也不不局局限限于于在在處處，為為200.(3)0 1注注 ：( (1 1) )連連續(xù)續(xù)型型單單點(diǎn)點(diǎn)處處的的概概率率為為 . .( (2 2) )離

17、離散散型型單單點(diǎn)點(diǎn)處處的的概概率率不不一一定定為為一一個(gè)個(gè)事事件件的的概概率率為為 ，不不一一定定是是不不可可能能事事件件；一一個(gè)個(gè)事事件件的的概概率率為為 ，不不一一定定是是必必然然事事件件。解解：(1)( )x dx 1，kedxx301，kex13130， k3，即即 ( ),xexxx30003 (2)P Xx dxedxx(. )( ).01330 10 1 ex30 10 7408.(3) 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)時(shí)，F(xiàn) xdxx( ) 00一一般般，隨隨機(jī)機(jī)變變量量X的的分分布布密密度度為為( ),xexxx000， 0，則則稱稱X為為指指數(shù)數(shù)分分布布，記記為為e( )。（常常用用在在產(chǎn)產(chǎn)品

18、品的的壽壽命命）當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)時(shí)，F(xiàn) xdxedxxx( ) 03030 eexxx3031F xexxx( ),10003四、四、 常用離散型隨機(jī)變量的分布常用離散型隨機(jī)變量的分布()1, ()單點(diǎn)分布記為PCI xC 01,xcF( x ),xc 分分布布函函數(shù)數(shù)為為：兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布特例：特例：0-1分布分布a.隨隨機(jī)機(jī)變變量量X的的取取值值范范圍圍：0，1. (即即樣樣本本空空間間只只含含有有兩兩個(gè)個(gè)基基本本事事件件.)b.分分布布律律：P Xmp qmpqmm(), ;1011或者：或者： 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布Binomial Distribution ( ,)B n p(),0,1, 2

19、,kn knPkp qknk ( ,)B n p 記記為為B(n,p),B(n,p), 注注：若若不不能能推推出出nAk（ 次次伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中 成成功功 次次的的概概率率）xp(x)0B(20,0.25)B(20,0.5)B(20,0.75)10.523二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布的的圖圖形形：）p=0.5p=0.5時(shí)時(shí)是是對(duì)對(duì)稱稱的的，p p離離越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)，分分布布越越 不不對(duì)對(duì)稱稱，但但n n越越大大，不不對(duì)對(duì)稱稱性性越越不不明明顯顯。）圖圖像像是是先先升升后后降降的的，有有極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)。）當(dāng)當(dāng)(n+1)p(n+1)p是是整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，（n+1)p-1n+1)p-1和和（n+1)pn+1)

20、p 同同時(shí)時(shí)取取得得最最大大值值； 當(dāng)當(dāng)（n+1)pn+1)p不不是是整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，(n+1)p(n+1)p取取得得最最大大值值解解：分分析析：找找一一個(gè)個(gè)m，使使P XmP Xm()()1，且且P XmP Xm()()1。當(dāng)當(dāng)()np m 10，即即mnp() 1時(shí)時(shí)，P X mP X m()() 1當(dāng)當(dāng)()np m 10，即即mnp() 1時(shí)時(shí)， P X mP X m()() 1這這時(shí)時(shí)，P XmP Xm()()0011，P XmP XmC p qCpqn mmpqnp mmpnmmn mnmmn m()()()() 111111111) 當(dāng)當(dāng)()np 1是是整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，取取mnp01(

21、)，則則P XmP Xm()()001都都是是最最大大值值。2) 當(dāng)當(dāng)()np1不不是是整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，取取mnpnp011() ()，這這時(shí)時(shí)有有P XmP Xm()()001，而而mnp011()，所所以以，P XmP Xm()()001。最最后后得得：P Xm()0是是最最大大值值。事件事件A發(fā)生的次數(shù)不到發(fā)生的次數(shù)不到k次的概率：次的概率：事件事件A發(fā)生的次數(shù)多于發(fā)生的次數(shù)多于k次的概率：次的概率：事件事件A發(fā)生的次數(shù)不少于發(fā)生的次數(shù)不少于k次的概率：次的概率：事件事件A發(fā)生的次數(shù)不多于發(fā)生的次數(shù)不多于k次的概率：次的概率：)() 1()(nPkPkPnnn)() 1 ()0(kPPPn

22、nn) 1() 1 ()0(kPPPnnn)()2() 1(nPkPkPnnn二項(xiàng)分布常用公式二項(xiàng)分布常用公式: :14142500003500(15)( ,2500,0.002)0.0020.998kkkkPB kk 10250001200 250020000010000001025000.0020.998(10,2500,0.002,)0.986395kkkPPkBINOMDIDSTTRUE 單位時(shí)間內(nèi)，呼喚次數(shù)，公共汽車站的乘單位時(shí)間內(nèi)，呼喚次數(shù)，公共汽車站的乘客人數(shù)，機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)等；客人數(shù)，機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)等；0tP( t ),Poisson 若若不不是是單單位位時(shí)時(shí)間間，而而是是

23、 到到 這這段段時(shí)時(shí)間間，則則為為稱稱為為“流流”。P(x)x0=2.5=5=10注注意意：泊泊松松分分布布是是非非對(duì)對(duì)稱稱的的，但但是是，越越大大，非非對(duì)對(duì)稱稱性性越越不不明明顯顯。H(n,N,M ) 記記為為H(5,10,100)H(10,10,100)H(20,10,100)p(x)x13570001rrkkMNMknkP(k )Nn 需需驗(yàn)驗(yàn)證證規(guī)規(guī)范范性性，即即0rkMNMNknkn 上上式式等等價(jià)價(jià)于于0011NNNN kkkkkNN(x )xxkk 000011MNMMNMksksM NMk sksMNM(x ) (x )xxksMNMxks nx上上面面兩兩式式上上含含的的系系

24、數(shù)數(shù)相相等等00rNMrkk s nkNMNMMNMnksknk 例20 箱子里有個(gè)白球和個(gè)黑球，從中依次隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，取出看過顏色后立即放回，這樣不停地取下去，直到取出白球?yàn)橹梗O(shè) 為取到白球?yàn)橹顾枰娜∏虼螖?shù)，求；（） 的概率分布；（）至少需要 次才能取到白球的概率。n 巴巴斯斯卡卡分分布布（第第r r次次成成功功發(fā)發(fā)生生在在第第n n次次）1(1,1, )1(),(,1,.)1rk rnb rnpkPkpqp kr rr 第第 次次成成功功前前面面的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布,)rt st 問問題題：甲甲乙乙按按某某種種方方式式下下注注，先先勝勝t t局局者者贏贏，但但進(jìn)進(jìn)行行到到甲甲

25、勝勝r r, ,乙乙勝勝s s局局（時(shí)時(shí)，因因故故停停止止，問問：如如何何分分配配賭賭注注？五、延續(xù)型隨機(jī)變量五、延續(xù)型隨機(jī)變量1、均勻分布、均勻分布、指數(shù)分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、正態(tài)分布abF x( )0 x1意義：意義：01530102501530520108118105pP()dx 指數(shù)分布指數(shù)分布Exponential Distribution 密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形：密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形： ( )x F x( ) 1 0 x 0 xb.應(yīng)應(yīng)用用：壽壽命命、某某種種服服務(wù)務(wù)的的等等待待時(shí)時(shí)間間（如如銀銀行行取取款款，售售票票處處買買票票等等）。Poisson分分布布與與指指數(shù)數(shù)分分布布的的關(guān)關(guān)系系( )E （）兩兩架架飛飛機(jī)機(jī)到到來來的的時(shí)時(shí)間間間間隔隔0例23 在 （內(nèi)飛機(jī)來到的架數(shù)要求兩架飛機(jī)到來的“等待時(shí)間” 的分布函數(shù)。,t ) P( t ), 0t,F(t )Pt 解解：設(shè)設(shè)前前一一架架飛飛機(jī)機(jī)到到來來的的時(shí)時(shí)刻刻為為要要求求000,tP(t ) 時(shí)時(shí)，000t,t ( ,t ) 而而在在內(nèi)內(nèi)無無飛飛機(jī)機(jī)來來到到11tPt P(t e 1000te,tF(t ),t 即即 111ssP(s)P(s)(e)e st s 又又