一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法問題： 過點 P 2,3 的直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點A, B ，求ABO 的面積最小值，以及此時所對應的直線方程。解答這類問題的思路是：建立函數(shù)關系，利用有關函數(shù)的基本理論以及不等式的知識，求出目標函數(shù)的最值。在研究函數(shù)的最值時， 要注意函數(shù)的定義域對函數(shù)值的限制； 在運用均值不等式求最值時，要注意取等號的條件是否具備。構造一元二次方程，利用一元二次方程有實數(shù)根時，判別式為非負數(shù)，求最值。解答這類問題的常用解題方法如下：一、利用三角函數(shù)的有界性求解解法1： 設過點 P 2,3的直線方程為：xy1 ，則231 ，于

2、是可設23ababa， b。sin 2cos2記ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =sin 23122cos2sin 22因為 0<sin 221 ,所以： S 12 ，當 sin 21時，45 ，面積的最小值是： S 12 ，此時， a24， b36sin 2 45cos2 45所求的直線方程為：xy146評注 ：若正實數(shù) m, n 滿足 m n1 ，我們可以設msin 2， ncos2，把二元轉化為關于的一元問題，可借助三角函數(shù)的有界性求解。二、利用均值不等式求解解法 2：設過點 P 2,3的直線方程為：y3 k x2 ，直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點A 232k

3、 . 由圖知 k 0,0 ,B0,3k記ABO 的面積為 S ，則 S1 2332k2k優(yōu)秀學習資料歡迎下載即 S1 12 4k92k因為 k0 ，所以，4k 0 ，90 。k利用均值不等式得：( 4k ) ( 9 ) 24k912 。kk所以 S1124k911212122k2當且僅當4k9，即 k3時ABO 的面積有最小值，此時所對應的直線方程為：k23y 3x23x2 y122評注： 在利用均值不等式解題時，需要對目標函數(shù)進行恒等變形。變形原則是能使產(chǎn)生的幾個正數(shù)的積（或和）為定值。解法 3：設過點 P 2,3 的直線方程為：xy1，則 231 ，于是 a2bababb 3因為直線與 x

4、 軸、 y 軸的正半軸相交，則 a0,b0。記ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =12bbb2b39622b3b3b3因為： a2b0.所以 b3 .b>0, b3于是： b392 b396 。b 3b 3所以： S = b9612 。3b 3的直線方程為： xy解法 4：設過點 P 2,31，則 231 ，于是 ab3a 2babab因為直線與 x 軸、 y 軸的正半軸相交，所以a0,b0 。利用均值不等式得：ab3a2b 26ab ，abab260 ，而ab0，所以 ab24 。記 ABO 的面積為 S ，則 S1 ab122當且僅當3a2b且ab24 時， a4,b6 。面積

5、有最小值S12 。優(yōu)秀學習資料歡迎下載所求的直線方程為：xy416評注： 此題利用均值不等式，產(chǎn)生一個新的不等式，解這個不等式求出ab 的最小值，從而獲解。三、判別式法：設過點 P2,3 的直線方程為： y3k x2 ，解法 5直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點A23,0 ,B0,32k . 由圖知 k0k記 ABO 的面積為 S ，則S1332k22k化簡得： 4k 22s12 k90（ 1）將上式視為關于k 的一元二次方程，因為kR ，所以，0 。即 2s 12 24490S12或 S0(舍去）。面積的最小值是：S12，代入（1）得： k323此時所對應的直線方程為：y3x232y122x評注：上述方法就是構造一元二次方程，利用一元二次方程有實數(shù)根時，判別式為非負數(shù)，求解。解法 6：設過點 P 2,3的直線方程為：xy1，則 231 ，于是 a2bababb 3因為直線與 x 軸、 y 軸的正半軸相交，則a0,b0。記 ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =12bbb222b3b 3化簡得： b2Sb3S0（ 2）將上式視為關于b的一元二次方程，因為bR ，所以，0 。即()2430S12。因為