牛頓的微積分

1、第二節(jié)牛頓的微積分一流數(shù)簡論流數(shù)簡論表明，牛頓微積分的來源是運動學.1666年，他在坐標系中通過速度分量來研究切線，既促使了流數(shù)法的產(chǎn)生，又提供了它的幾何應用的關(guān)鍵.牛頓把曲線f（x ，y） = 0看作動點的軌跡，動點的坐標 x，y是時間的函數(shù)，而 動點的水平速度分量和垂直速度和垂直速度為邊的矩形對角線，所以曲線 f（x，y） =0的切線斜率是壬圖1112）o由于；和亍是隨時間流逝而變化的汨流動速度JY所以牛頓便在后來稱它們?yōu)榱鲾?shù)，實際上就是x和y對t的導數(shù)：而它們的比就是y對x的導數(shù)布尼茨發(fā)明的，我們這里采用它們是為了敘述方便.牛頓考慮的第一個問題是：給定 x和y的關(guān)系f（x ，y） = 0

2、，求的次數(shù)令這些乘積的總和等于零這個方程就給出速度（流數(shù)）之間的關(guān)系若用子表示，則為它是牛頓用來計算流數(shù)之比（即求導）的基本法則實際上，這個式子牛頓是用“無窮小”概念和他一年前發(fā)明的二項式定理來證明（1）式的.他認為, 作非勻速運動的物體在無窮小時間間隔 o中的運動情況同作勻速運動的物體在有限時間間隔中的情況相同，“因此，如果到某一時刻，它們已描繪的線段為x和y，那么到下一時刻所描繪的線段就是x + xo和y + yo. ”牛頓用x+ xo和y+ yo代替f(x，y) = 0中的x和y,于是有按二項式展開并略去o的二次以上(含二次)的項，得除以o后便得到 式.作為一個實例，可把y二xn寫成f(

3、x , y)二y xn的形式， 由(1) 式推出的代數(shù)式).他對這一問題的研究導致了微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)，即：其中A表示曲線y=f(x)下的面積.從流數(shù)簡論可以看出，他是用如下方法 推導這一重要定理的：設(shè)y表示曲線f(x)下的面積abc(圖11. 13)，并把它看作垂平行移動，描繪出面積x和y，它們隨時間而增加的速度是 be和be, ”顯然， be= 1而be=f(x).因此，牛頓認為面積y隨時間的變化率是這顯然等價于 (2) 式，就是說函數(shù)曲線下的面積的變化率等于曲線的縱坐標. 他 把求積問題看作求變化率的逆過程，即把y看作f(x)的積分(不定積分).牛頓的工作可以清楚地說明切線及面積的互逆

4、關(guān)系.如果面積y=在解決了基本的微積分問題后，牛頓又進一步提出變量代換法，它變量z = 1+ xn,其流數(shù)比為這便是我們熟知的冪函數(shù)微分公式，它的現(xiàn)代形式為類似地，牛頓在積分中也采用了代換法，并在稍后的著作中總結(jié)出代換積分公 式這個問題將在下面討論流數(shù)簡論中，牛頓還導出函數(shù)的積和商的微分法則.設(shè)y=u（x） v（x），則由計算流數(shù)之比的基本法則得到至于函數(shù)和的微分，牛頓認為是顯然的，沒有作為公式列出.由于牛頓首次引入“流數(shù)”和“變化率”的概念，明確提出一般性的微積分算 法，特別是提出微積分基本定理，所以說他“發(fā)明”了微積分.不過，他當時只是 觀察到這一重要定理，至于定理的證明則是在他的第二本微

5、積分著作中才出現(xiàn)的.二、運用無窮多項方程的分析學（ 下簡稱分析學 ）在這本書中，牛頓假定曲線下的面積為mz = ax ,其中m是有理數(shù).他把x的無窮小增量叫x的瞬，用o表示.由曲線、x軸、y 軸及x + o處縱坐標所圍成的面積用z + oy表示（圖11. 14），其中oy是面積的瞬， 于是有z+oy= a（x + o）m.根據(jù)二項式定理考慮到z = axm,并用o去除等式兩邊，得略去仍然含o的項，得xm-1y=max .這就是相應于面積z的縱坐標y的表達式，或者說是面積z在點的變化率(即芻)> 這個結(jié)果袤明，若面積"曲給出，那么構(gòu)成這個面積的曲J0X線為y=maX1;反之，若曲

6、線是y = maX：貝U它下面的面積是z=ax:在這里，牛頓 不僅給出了求變化率的普遍方法，而且證明了微積分基本定理.從計算角度來說， 他實際上給出了兩個基本的求導和積分公式 (用現(xiàn)代符號表出)mm-1(ax )= max ；在證明了面積的導數(shù)是y值，并斷言逆過程是正確的以后，牛頓給出下面的法 則：若y值是若干項的和，則面積是由每一項得到的面積的和，用現(xiàn)在的話來說， 就是函數(shù)之和的積分等于各函數(shù)的積分的和：12n1/ f (x)+f (x) +f (x)dx= /f (x)dx+ / f 2(x)dx+ +/ f n(x)dx .他對如下的積分性質(zhì)也有明確認識：/ af(x)dx = a/f(

7、x)dx .他利用上述知識得到各種曲線下的面積，解決了許多能表成和式的問題.在此基礎(chǔ)上，牛頓提出了利用無窮級數(shù)進行逐項積分的方法例如為了對廠二進行積分，他將只除阪+矢得到 b + x然后對這個無窮級數(shù)逐項積分，得他說，只要b是x的倍數(shù)，取最初幾項就可以了.y= 1-x2+x4 x6 + x8(1)y= x-2 x-4 + x-6-x -8 + (2)他說，當x很小時，應該用 式，若x較大就必須用 式了 可見他已意識 到級數(shù)收斂和發(fā)散的區(qū)別，不過還沒有提出收斂的概念.同流數(shù)簡論相比，分析學的另一項理論進展表現(xiàn)在定積分上牛頓把 曲線下的面積看作無窮多個面積為無限小的面積之和，這種觀念與現(xiàn)代是接近的

8、.為了求某一個區(qū)間的確定的面積即定積分，牛頓提出如下方法：先求出原函數(shù)，再將 上下限分別代入原函數(shù)而取其差這就是著名的牛頓一萊布尼茨公式，是他與萊布 尼茨各自獨立發(fā)明的若采用現(xiàn)代數(shù)學符號，該公式可表述為：若F(x)是f(x)在區(qū)間a，b中應用極廣的定積分計算問題便轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)問題，所以它是十分重要的.分析學中還有其他一些出色的成果，例如，書中給出求高次方程近似根的方法(即牛頓法)，導出正弦級數(shù)及余弦級數(shù)，等等.到此為止，牛頓已經(jīng)建立起比較系統(tǒng)的微積分理論及算法不過他在概念上仍 有不清楚的地方.第一，他的無窮小增量 o是不是0?牛頓認為不是.既然這樣， 運算中為什么可以略去含o的項呢？牛頓沒有

9、給出合乎邏輯的論證.第二，牛頓雖 然提出變化率的概念，但沒有提出一個普遍適用的定義，只是把它想象成“流動的” 速度.牛頓自己也認為，他的工作主要是建立有效的計算方法，而不是澄清概念， 他對這些方法僅僅作了“簡略的說明而不是準確的論證.”牛頓的態(tài)度是實事求是 的.三、流數(shù)法和無窮級數(shù)（下簡稱流數(shù)法）這是一部內(nèi)容廣泛的微積分專著，是牛頓在數(shù)學方面的代表作.在前兩部書的 基礎(chǔ)上，牛頓提出了更加完整的理論.從書中可以看出，牛頓的流數(shù)概念已發(fā)展到成熟的階段.他把隨時間變化的量， 即以時間為自變量的函數(shù)稱為流量，以字母表的后幾個字母 v，x，y，z來表示；把 流量的變化速度，即變化率稱為流數(shù)，以表示流量的

10、字母上加點的方祛來表示如，恥 以前用的瞬的慨念仍然 保留，并 且仍用o表示.他在書中明確表述了他的流數(shù)法的理論依據(jù)，說：“流數(shù)法賴以建立的主要原 理，乃是取自理論力學中的一個非常簡單的原理，這就是：數(shù)學量，特別是外延量， 都可以看成是由連續(xù)軌跡運動產(chǎn)生的；而且所有不管什么量，都可以認為是在同樣 方式下產(chǎn)生的.”又說：“本人是靠另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這 就是假定一個量可以無限分割，或者可以（至少在理論上說）使之連續(xù)減小，直至 比任何一個指定的量都小牛頓在這里提出的“連續(xù)”思想及使一個量小到“比任何一個指定的量都小”的思想是極其深刻的，他正是在這種思想的主導下解決了 如下兩類基本問

11、題.第一類：已知流量的關(guān)系求它們的流數(shù)之比，即已知y = f(x)或例如書中的問題1:如果流量x和y之間的關(guān)系是x3 ax2+axy y3=0,求它們 的流數(shù)之比.程中的x和y，得展開后利用x3 ax2 + axy y3= 0這一事實再把余下的項除以o,得至此牛頓說：“我們已假定 o是無限微小，它可以代表流動量的瞬，所以與它 相乘的諸項相對于其他諸項來說等于沒有.因此我把它們丟掉，而剩下從表面看，這種方法與流數(shù)簡論中的方法一致.所不同的是，在簡論中丫和鑑只被看作運動逋度而在這里卻表示一般意哭的流數(shù).簡論中求流數(shù)之比的基本法則也被牛頓賦予一般的意義.例如，假定y=xn，牛頓首先建立然后用二項式定

12、理展開右邊，消去 y= xn，用o除兩邊，略去仍含o的項，結(jié)果 得當然，在對具體函數(shù)微分時，不必采用無窮小而可直接代入公式.第二類：已知一個含流數(shù)的方程，求流量，即積分.P ( (x) ) (Q 血珂這個合式表明，只要所求的積分可表為D左邊的形咒，則令叢=卩(X),即可化為f(u)對U的積分，積分后再用心 代口就行了召流數(shù)簡論中，牛頓在具體積分中已經(jīng)采用了這種方法，只是到這時才明確總結(jié)出公 式從簡論及流數(shù)法兩書來看，他推導此式的思路大致如下：由，得由微積分基本定理，得牛頓在書中還推出分部積分公式，即/ uv' dx=uv- / vu' dx.其中u和v都是x的函數(shù).若求/ uv

13、' dx有困難而求/ vu' dx比較容易時，就 可利用分部積分公式求積分.牛頓總結(jié)了他的積分研究成果，列成兩個積分表，一個是“與直線圖形有關(guān)的 曲線一覽表”，另一個是“與圓錐曲線有關(guān)的曲線一覽表”.這兩個表為積分工作 提供了許多方便.至此，牛頓已建立起比較完整的微分和積分算法，他當時統(tǒng)稱為流數(shù)法.他充 分認識到這種方法的意義，說流數(shù)法(即微積分)是一種“普遍方法”，它“不僅可 以用來畫出任何曲線的切線而且還可以用來解決其他關(guān)于曲度、面積、曲線的 長度、重心的各種深奧問題.”流數(shù)法一書便充分體現(xiàn)了微積分的用途，下面 略舉幾例.例1,在“問題3極大值和極小值的確定”中，牛頓給出了

14、通過解方程 f '(x) = 0來求f(x)極值的方法.他寫道：“當一個量取極大值或極小值時，它的流數(shù) 既不增加也不減少，因為如果增加，就說明它的流數(shù)還是較小的，并且即將變大； 反之，如果減少，則情況恰好相反.所以求出它的流數(shù)，并且令這個流數(shù)等于0.”他用這種方法解出了九個問題.其中之一是求方程x3 ax2 + axy y3=0中x的最大值.他先求出x和y的流數(shù)之比，得即 3y J ax.把上式代入原方程后，就很容易求得相應的x值和y值了.例2,已知曲線方程為x3 ax2+ axy y3 = 0, AB和BD分別為曲線上D點的橫、 縱坐標，求作過D點的切線(圖11. 15).牛頓先求得

15、流數(shù)之間的關(guān)系由此得出因BD= y，所以牛頓說：“給定D點后，便可得出DB和AB即y和x，BT的長度也就給定，由此可確定切線TD. ”例3,在“問題12曲線長度的確定”中，牛頓采用流數(shù)法計算弧長.設(shè)QR是給定曲線，RNL MN牛頓分別記MN= s. NR= t，QR= v(圖11. 16)，它們的流數(shù) 分別為s，t，v,然后“想象直線NR向右移動到最接近的可能位置nr，由R向nr 引垂線RS則MN NR和 QR分別增加RS Sr和Rr.”牛頓說：“因為 RS Sr和 Rr相互之比是這些線段的流數(shù)之間的比，又考慮到為直甬，所以有jRh*如二時 因此嚴孑 十若換成現(xiàn)在通用的坐標x, y和弧長s，則

16、牛頓的結(jié)果為只要對 t 積分，就可求出弧長 s 了綜上所述，流數(shù)法不僅在基本思想上比分析學有了發(fā)展，而且提供了 更加有效的計算方法但牛頓的基本方法仍是棄去無窮小，因而同分析學一樣 出現(xiàn)邏輯困難他嘗試建立沒有無窮小的微積分， 于是有曲線求積術(shù) (下簡稱求 積術(shù) ) 之作四、牛頓的極限理論牛頓的四部微積分專著中， 曲線求積術(shù)是最后寫成 (1693)但最早出版 (1704) 的一部在書中，導數(shù)概念已被引出，而且把考察對象由二個變量構(gòu)成的方程轉(zhuǎn)向 關(guān)于一個變量的函數(shù)牛頓的流數(shù)演算已相當熟練和靈活了，他算出許多復雜圖形 的面積阿達瑪 (J Hadamard， 18651963)稱贊說， 該書“論述的有理

17、函數(shù)積分法， 幾乎不亞于目前的水平”值得注意的是， 在求積術(shù)中，牛頓認為沒有必要把無窮小量引入微積分 他 在序言中明確指出：“數(shù)學的量并不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運動 來描述的直線不是一部分一部分的連接，而是由點的連續(xù)運動畫出的，因而是這 樣生成的；面是由線的運動，體是由面的運動，角是由邊的旋轉(zhuǎn)，時間段落是由連 續(xù)的流動生成的”在這種思想指導下，他放棄了無窮小的概念，代之以最初比和 最后比的新概念為了求函數(shù) y=xn的導數(shù)，牛頓讓x “由流動”而成為x + o,于是 xn變?yōu)榈淖詈蟊鹊扔?比nxn-1 .所以量x的流數(shù)與量xn的流數(shù)之比等于1比nxn-1. ”牛頓 認為這個比即增量

18、的最初比，可見最初比與最后比的實質(zhì)是一樣的，都表示 y 關(guān)于x的導數(shù)，或者說是y對于x的變化率.用現(xiàn)在的符號可寫成 y' =nxn-1.牛頓還對他的最后比作出下面的幾何解釋：如圖11. 17，假定be移向BC,使得e和C重合，那么增量CE Ec、Ce的最后比等于 CET勺各邊之比，即把這些增量看作初生量的最初比.”他說，“只有點C與e完全重合了，直線CK才會與切線（CH）重合，而CE Ec、Ce的最后比才能求出.”顯然，他是把切線 CH當作割線CK 的極限位置.實際上，早在自然哲學的數(shù)學原理 （下簡稱原理 ） 一書中，牛頓就表述了明確的極限思想.他說：“消失量的最后比嚴格地說并不是最后量的比，而是這些量無限減小 時它們的比所趨近的極限.它們與這個極限之差雖然可以比任