二輪數(shù)列存在性問(wèn)題(教師).doc

1、數(shù)列中的一類(lèi)存在性問(wèn)題題組一1設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn)：是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）（2），要使得成等差數(shù)列，則即： 即：，只能取2，3，5 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【注】“存在”則等價(jià)于方程有解，本例利用整除性質(zhì)解決2（09年江蘇卷17）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?所以的通項(xiàng)公

2、式為，前n項(xiàng)和(2) =，若其是中的項(xiàng)，則， 令，則=, 即： 所以為8的約數(shù) 因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以可取的值為，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，（舍去）所以滿足條件的正整數(shù)【注】不僅可以利用整除性質(zhì)解決，也可利用奇偶性分析3 （南通市2013屆高三期末）已知數(shù)列an中，a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求a1； （2）證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說(shuō)明理由【解析】（1）令n=1，則a1=S1=0 （2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0

3、，a2=1，a2a1=1，所以，數(shù)列an是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，an=n1 （3）解法1：假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列，于是， 時(shí)，<0，故數(shù)列( )為遞減數(shù)列，時(shí)，<0，故數(shù)列()為遞減數(shù)列，即時(shí)，又當(dāng)時(shí)，故無(wú)正整數(shù)q使得成立解法2：同上有，且數(shù)列( )為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，因此，由得，此時(shí)【注】在利用“范圍”控制正整數(shù)的值時(shí)，常用求值域的方法：?jiǎn)握{(diào)性本例蘊(yùn)含分類(lèi)討論思想題組二1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，使其成等差數(shù)列？說(shuō)明理由【解析】由知，數(shù)列是遞減

4、數(shù)列，假設(shè)存在成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，即 即而，故矛盾因此在數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列【注】常用反證法說(shuō)明不定方程正整數(shù)解不存在2（2010年湖北理）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列【解析】（1）由題意可知， 令，則又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，故，（2）假設(shè)數(shù)列存在三項(xiàng)按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是有，則只有可能有 成立 ，即 即：由于，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾因此數(shù)列中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列【注】此題為上例的補(bǔ)充，方法上有區(qū)別，在不便利用范

5、圍尋找矛盾時(shí)，如何考慮式子的變形呢？首先考慮將分?jǐn)?shù)整數(shù)化，然后利用奇偶性尋找矛盾3（2007福建理22）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列【解析】（1）由已知得，故（2）由（1）得假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則即，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列【注】在反證法中利用有理數(shù)性質(zhì)產(chǎn)生矛盾課堂小結(jié)數(shù)列中的一類(lèi)存在性問(wèn)題不定方程的正整數(shù)解問(wèn)題存在有（正整數(shù)）解不存在無(wú)（正整數(shù)）解（1）整除性（2）奇偶性（3）范圍（1）范圍（2）奇偶性（3）有理數(shù)性質(zhì)課本溯源（選修2-2教材P84第9題）證明：1，3不可能

6、是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)選編說(shuō)明數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一，在高考中占有重要的地位，其在歷年高考解答題中基本居壓軸題位置江蘇省08、09年高考中數(shù)列解答題都考查了數(shù)列中一類(lèi)存在性問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求不定方程正整數(shù)解的問(wèn)題，往往與數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)集于一體，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，在近年省內(nèi)各市模擬卷中常有出現(xiàn)通過(guò)對(duì)數(shù)列中一類(lèi)存在性問(wèn)題的研究，讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)列概念的理解，學(xué)會(huì)此類(lèi)問(wèn)題的常用處理策略，提升分析、轉(zhuǎn)化、解決問(wèn)題的能力課后鞏固：1.（2011高淳高級(jí)中學(xué)19）公差d0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12，S312（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn；（2

7、）記bnan，若自然數(shù)滿足，并且成等比數(shù)列，其中，求（用k表示）；（3）記cn，試問(wèn)：在數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng)cr，cs，ct(rst，r,s,tN*)恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】子數(shù)列的問(wèn)題，抓住同一項(xiàng)的雙重性，建立等量關(guān)系【解答】（1），所以，（2）由題意，首項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列的公比 ，又，（3）易知，假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即,整理得12分且， ,解得,這與矛盾.綜上所述，不存在滿足題意的三項(xiàng)【反思】在反證法中利用有理數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生矛盾，也是數(shù)列問(wèn)題中常見(jiàn)的方法2.（2008江蘇19）（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后

8、得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值； （ii）求的所有可能值（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列【分析】從等差數(shù)列中抽取一些項(xiàng)，成為等比數(shù)列，應(yīng)該用好基本量的方法，從方程中看端倪【解答】（1）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得綜上，得或當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋圆荒軇h去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)

9、，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾(或者說(shuō)：當(dāng)n6時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)椋襵、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列例如n項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求【反思】第3問(wèn)要看懂題意，只要找到一個(gè)滿足條件的數(shù)列即可3（2012屆蘇北四市一模）設(shè)數(shù)

10、列的前項(xiàng)和為，已知為常數(shù)，），且（1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；若不存在，說(shuō)明理由.解：由題意，知即解之得 由知，當(dāng)時(shí)，得， 又，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以 由得，由，得，即， 即（常數(shù)分離），即，因?yàn)椋?，所以，且，因?yàn)?，所以或?當(dāng)時(shí)，由得，所以；當(dāng)時(shí)，由得，所以或；當(dāng)時(shí)，由得，所以或或，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)為：4（2012屆南京市二模）已知數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，給出滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)

11、為數(shù)列的前n項(xiàng)和若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由 得 - 得，所以（）因?yàn)?，所以（）?）當(dāng)時(shí)，若存在成等比數(shù)列，則由奇偶性知所以，即，這與矛盾故不存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列（3）5（連云港市2013屆高三期末）已知數(shù)列an中，a2=a(a為非零常數(shù))，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(nÎN*)（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）若a=2，且，求m、n的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)a、b，使得對(duì)任意正整數(shù)p，數(shù)列an中滿足的最大項(xiàng)恰為第3p2項(xiàng)？若存在，分別求出a與b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由已知，得a1=S1=0，Sn=， 則有Sn+1=

12、，2(Sn+1Sn)=(n+1)an+1nan，即(n1)an+1=nan，nan+2=(n+1)an+1，兩式相加，得2an+1=an+2+an，nÎN*， 即an+1an+1=an+1an，nÎN*，故數(shù)列an是等差數(shù)列又a1=0，a2=a，an=(n1)a （2）若a=2，則an=2(n1)，Sn=n(n-1)由，得n2-n+11=(m-1)2，即4(m-1)2(2n-1)2=43，(2m+2n-3)(2m2n-1)=43 43是質(zhì)數(shù)，2m+2n-3>2m-2n-1，2m+2n-3>0，解得m=12，n=11 （3）由an+b£p，得a(n1)+b£p若a<0，則n³+1，不合題意，舍去； 若a>0，則n£+1不等式an+b£p成立的最大正整數(shù)解為3p2，3p2£+1<3p1， 即2ab<(3a1)p£3ab對(duì)任意正整數(shù)p都成立3a1=0，解得a=， 此時(shí)，b<0£1b，解得<b£1故存在實(shí)數(shù)a、b滿足條件，a與b的取值范圍是a=，<b£16（徐州市2013屆高三期末）已知且令且對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（1）求數(shù)列的