廣東省2016年全國卷適應性考試理科數(shù)學試題

1、2016年適應性考試理科數(shù)學一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知集合，則（ ）A B C D2若為純虛數(shù)，其中R，則（ ）A B C D3設(shè)為數(shù)列的前項的和，且，則（ ）A B C D4 執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）A B C D5三角函數(shù)的振幅和最小正周期分別是（）ABCD6一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A B C D7設(shè)、是兩個命題，若是真命題，那么（ ）A是真命題且是假命題 B是真命題且是真命題 C是假命題且是真命題 D是假命題且是假命題 8從一個邊長為的等邊三角形的中心、各邊

2、中點及三個頂點這個點中任取兩個點，則這兩點間的距離小于的概率是（ ）A B C D9已知平面向量、滿足，則（ ）A B C D 10的展開式中，常數(shù)項等于（ ）A B C D11已知雙曲線的頂點為橢圓長軸的端點，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率的乘積等于，則雙曲線的方程是（ ）A B C D12如果定義在R上的函數(shù)滿足：對于任意，都有，則稱為“函數(shù)”給出下列函數(shù)：；，其中“函數(shù)”的個數(shù)是（ ）A B C D 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分13已知實數(shù)，滿足約束條件，若目標函數(shù)僅在點取得最小值，則的取值范圍是 14已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則 15已知數(shù)列的各項均為正

3、數(shù)，為其前項和，且對任意的N，均有，成等差數(shù)列，則 16已知函數(shù)的定義域為R，直線和是曲線的對稱軸，且，則 三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟17（本小題滿分12分）已知頂點在單位圓上的中，角、的對邊分別為、，且（1）的值；（2）若，求的面積18（本小題滿分12分）某單位共有名員工，他們某年的收入如下表：員工編號12345678910年薪（萬元）33.5455.56.577.5850（1）求該單位員工當年年薪的平均值和中位數(shù)；（2）從該單位中任取人，此人中年薪收入高于萬的人數(shù)記為，求的分布列和期望；（3）已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關(guān)關(guān)系，若某員工工作第一年至第四年的年

4、薪分別為萬元、萬元、萬元、萬元，預測該員工第五年的年薪為多少？附：線性回歸方程中系數(shù)計算公式：，其中、表示樣本均值19（本小題滿分12分）如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一點，（1）證明：面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值20（本小題滿分12分）已知拋物線：，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點，和點，線段，的中點分別記為，（1）求面積的最小值；（2）求線段的中點滿足的方程21（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（）（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的零點個數(shù)；（3）證明：曲線上沒有經(jīng)過原點的切線請考生在第22、23、24題中任選一題作答

5、，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時請寫清題號22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所示，是半圓的直徑，垂足為，與、分別交于點、（1）證明：； （2）證明：23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，過點的直線的傾斜角為以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為,直線和曲線的交點為點（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求的值24（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）若時有，求的取值范圍2016年適應性測試理科數(shù)學答案一選擇題（1）B（2）C（3）C（4）C（5）B（6）D（7）D（8）A（9

6、）D（10）D（11）D（12）C二填空題（13）（14）4（15）（16）2 三解答題（17）解：（），由正弦定理得：，6分又，.（）由，由.由余弦定理 .12分.4分（18）解：（）平均值為10萬元，中位數(shù)為6萬元.（）年薪高于5萬的有6人，低于或等于5萬的有4人；取值為0，1，2. ，所以的分布列為0128分數(shù)學期望為.（）設(shè)分別表示工作年限及相應年薪，則， 12分由線性回歸方程：. 可預測該員工年后的年薪收入為8.5萬元. （19）解：（）,， ， ；又因為， ，而.6分.平面.（）過作，分別交于，的補角為與所成的角.連接，.12分所以異面直線與所成的角的余弦值為.向量法：（）以為原點

7、，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.，.，.，.，6分.（），記與夾角為，則12分 .（20）解：（）由題設(shè)條件得焦點坐標為，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，消去并整理得. (*) (*)關(guān)于的一元二次方程的判別式. 設(shè)，則是方程(*)的兩個不等實根， 經(jīng)計算得 設(shè)，則 類似地，設(shè)，則 所以， ， 因此 因為，所以，8分 當且僅當，即時，取到最小值4（）設(shè)線段的中點，由（1）得 ，消去后得12分線段的中點滿足的方程為（21）解：（）的定義域為，.令，得.（1）當，即時，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）當，即時，由解得，且，在區(qū)間及內(nèi),，在內(nèi)，4分所以，在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.（

8、）由（）可知，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以 最多只有一個零點.又因為，所以，當且時，；當且時，故有且僅有一個零點.當時，因為在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且而，（），由此知，又因為當且時，故在內(nèi)有且僅有一個零點.8分綜上所述，當時，有且僅有一個零點.（）假設(shè)曲線在點（）處的切線經(jīng)過原點，則有，即，化簡得：（）.（*）記（），則，令，解得.當時，當時，所以是的最小值，即當時，.12分由此說明方程（*）無解，所以曲線沒有經(jīng)過原點的切線.（22）解：（）連接， ，點是的中點，.因為是的直徑，所以.，6分，（）在與中，由（）知，又，所以，于是.10分在與中，由于，所以，因此，.（23）解：（）由條件知，直線的傾斜角，.設(shè)點是直線上的任意一點，點到點的有向距離為，則5分（）曲線的直角坐標方程為,由此得,即 . 10分設(shè)為此方程的兩個根