中考數(shù)學(xué)專題：二次函數(shù)中的相似三角形綜合問題(解析版)

1、專題25 二次函數(shù)中的相似三角形綜合問題1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A（6，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D、M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上是否同時(shí)存在點(diǎn)D和點(diǎn)P，使得APQ和CDO全等，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】（1）y=18x214x+3；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（32，0）；點(diǎn)M（32，0）.【分析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法問題可解；（2）通過分類討論研究APQ和CD

2、O全等由已知求點(diǎn)D坐標(biāo)，證明DNBC，從而得到DN為中線，問題可解【解析】（1）將點(diǎn)（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得36a6b+c016a+4b+c0c0，解得：a18b14c3 ，拋物線解析式為：y=-18x2-14x+3；（2）存在點(diǎn)D，使得APQ和CDO全等，當(dāng)D在線段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3時(shí)，APQ和CDO全等，tanQAP=tanDCO，OCOAODOC，36OD3，OD=32，點(diǎn)D坐標(biāo)為（-32，0）.由對稱性，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（32，0）時(shí)，由點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），此時(shí)點(diǎn)D（32，0）在線段OB上滿足條件OC=3，OB=4，BC=5

3、，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，0）且AD=BD=5，連DN，CM，則DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，ANNCADDB1，則點(diǎn)N為AC中點(diǎn)DN時(shí)ABC的中位線，DN=DM=12BC=52，OM=DM-OD=32點(diǎn)M（32，0）【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法、三角形全等的判定、銳角三角形函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解答時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合2、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)C為的中點(diǎn). （1）求的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的點(diǎn)，

4、在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見解析.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，易求出拋物線的對稱軸，可得OE的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得OA的長，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值；（2）設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)Q作QHx軸于點(diǎn)H，利用可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，注意到，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由此可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)為x軸上方的點(diǎn)時(shí)，若存在點(diǎn)P，可先求出直線BQ的解析式，由BPBQ可求得直

5、線BP的解析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再計(jì)算此時(shí)兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊是否成比例即可判斷點(diǎn)P是否滿足條件；當(dāng)點(diǎn)Q取另外一種情況的坐標(biāo)時(shí)，再按照同樣的方法計(jì)算判斷即可.【解析】解：（1）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，軸，拋物線的對稱軸是直線，OE=1，將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式得：，；（2）設(shè)，點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖2，過點(diǎn)Q作QHx軸于點(diǎn)H，解得：或（舍），；點(diǎn)在軸下方時(shí)，OA=1，OC=3，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，；（3）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，若存在點(diǎn)P，使，則PBQ=COA=90°，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得

6、：，不存在； 當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，不存在.綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)，使.【方法總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，-6），L關(guān)于原點(diǎn)O對稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，且位于第一象限，過點(diǎn)P作PDy軸，

7、垂足為D.若POD與AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1) y=x25x6；(2)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。【思路引導(dǎo)】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；(2)由關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A(3，0)、B(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L的表達(dá)式為yx25x6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，根據(jù)PDy軸，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，可得PDm，ODm25m6，再由RtPOD與RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)

8、行求解即可得.【解析】 (1)由題意，得，解得：，L：y=x25x6；(2)拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對稱的拋物線為，點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A(3，0)、B(0，6)，設(shè)拋物線L的表達(dá)式y(tǒng)x2bx6，將A(3，0)代入yx2bx6，得b5，拋物線L的表達(dá)式為yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，PDy軸，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO與RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，當(dāng)RtPDORtAOB時(shí)，則，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，1

9、2)；當(dāng)RtODPRtAOB時(shí)，則，即，解得m3，m44，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的特點(diǎn)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4、如圖，拋物線（a0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)

10、E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請說明理由【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0m3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）拋物線（a0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得拋物線的解析式為（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得直線A

11、C的解析式為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似理由如下：由題意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似，分兩種情況：若PFCAEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90°，PCF+MCF=9

12、0°，即PCM=90°PCM為直角三角形若CFPAEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形5、如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點(diǎn)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；求證：ABC是直角三角形；若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

13、若不存在，請說明理由【答案】(1)y=x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，又拋物線過原點(diǎn)，0=a（0-1）2+1，解得a=-1，拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得y=x2+2xy=x2 ,解得x=2y=0或x=1y=3 ,B（2，0），C（-1，-3）；（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=4

14、5°，即ABC=90°，ABC是直角三角形；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，-x2+2x），ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分別求得AB=2 ，BC=32，MNx軸于點(diǎn)NABC=MNO=90°，當(dāng)ABC和MNO相似時(shí)有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，當(dāng)MNAB=ONBC時(shí)，則有x2+2x2=x32 ，即|x|-x+2|=13|x|，當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，x0，|-x+2|=13，即-x+2=±13 ，解得x=53 或x=73 ，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（53，0）或（73，0

15、）；當(dāng)MNBC=ONAB時(shí)，則有x2+2x32=x2，即|x|-x+2|=3|x|，|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0），綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（53 ，0）或（73 ，0）或（-1，0）或（5，0）6、如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PFBD于P，交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C都不重合），E是射線FC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、ED，并一直保持EPF=FBP，設(shè)B、P兩點(diǎn)的距離為x，DEP的面積為y（1）求出tanPBF；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值

16、范圍（3）當(dāng)DEP與BCD相似時(shí)，求DEP的面積【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)DEP=90°時(shí)，面積為；當(dāng)PDE=90°時(shí)，面積為【解析】(1)四邊形ABCD是矩形,又即又,即如圖,作垂足為H,則又設(shè)則,又由勾股定理得：=又當(dāng)DEP與BCD相似時(shí),只有兩種情況:DEP=C=90°或EDP=C=90°當(dāng)DEP=90°,DPE+PDE=90°即PDE=CBDBE=DE設(shè)CE=a,則BE=DE=4-a在RtDEC中,勾股定理得解之則,又BCD的面積=4當(dāng)EDP=90°,如圖2,7、如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且（

17、1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），分別以、為一邊，在直線的同側(cè)作等邊三角形和，求的最大面積，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖，若拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、或【解析】解：（1）令得，代入拋物線表達(dá)式得：，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，（2）如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，由拋物線得：，設(shè)，的面積為，則，S，當(dāng)時(shí)，有最大值是，的最大面積是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，（3）存在點(diǎn)，使得與相似有兩種可能情況：；，由拋物

18、線得：，對稱軸為直線，若，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是或，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則直線為：，解方程組，得：，（不合題意，舍去），此時(shí)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理可求得滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，同理也可求得滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：、或8、已知拋物線yax2bxc，其中2ab>0>c，且abc0.(1)直接寫出關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc 0的一個(gè)根；(2)證明：拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)A在第三象限；(3)直線y xm與x，y軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，與拋物線yax2bxc相交于A，D兩點(diǎn)設(shè)拋物線yax2bxc的對稱軸與x軸相

19、交于E，如果在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)F，使得ADF與BOC相似，并且SADFSADE，求此時(shí)拋物線的表達(dá)式【解析】 (1)利用拋物線的對稱軸、對稱性及二次函數(shù)與方程的關(guān)系數(shù)形結(jié)合得出二次方程的根；(2)確定拋物線的頂點(diǎn)位置一可借助數(shù)形結(jié)合，二可借助頂點(diǎn)坐標(biāo)的正負(fù)性；(3)借助一次函數(shù)與二次函數(shù)的關(guān)系確定與求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線段長，進(jìn)而借助題意中的相似及面積關(guān)系等構(gòu)建方程求解未知系數(shù)的值解：(1)ax2bxc 0的一個(gè)根為1(或者3)；(2)證明：b 2a，對稱軸x為1，將b2a代入abc0，得c3a.ab>0>c，b24ac>0，<0，頂點(diǎn)A在第三

20、象限；(3)b 2a，c3a，x，第1題答圖x13，x21，函數(shù)表達(dá)式為yax22ax3a，直線y xm與x軸、y軸分別相交于B，C，兩點(diǎn)，則OBOC|m|，BOC是以BOC為直角的等腰直角三角形，這時(shí)直線yxm與對稱軸x1的夾角BAE45°.又點(diǎn)F在對稱軸左側(cè)的拋物線上，則BAE>45°，這時(shí)BOC與ADF相似，頂點(diǎn)A只可能對應(yīng)BOC中的直角頂點(diǎn)O，即ADF是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且對稱軸是x1，設(shè)對稱軸x1與OF交于點(diǎn)G，直線yxm過頂點(diǎn)A，m14a，直線表達(dá)式為yx14a，解方程組解得這里的(1，4a)即為頂點(diǎn)A，點(diǎn)即為點(diǎn)D的坐標(biāo)，D點(diǎn)到對稱軸x1的距

21、離為1(1)，AE|4a|4a，SADE××4a2，即它的面積為定值這時(shí)等腰直角三角形ADF的面積為1，底邊DF 2，而x1是它的對稱軸，這時(shí)D，C重合且在y軸上，由10，a1，此時(shí)拋物線的表達(dá)式y(tǒng)x22x38、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yx2bxc與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，直線yx3恰好經(jīng)過B，C兩點(diǎn)(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求出拋物線yx2bxc的表達(dá)式，并寫出拋物線的對稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點(diǎn)為D且APDACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【解析】 (1)由直線yx3可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)由B，C

22、兩點(diǎn)坐標(biāo)便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點(diǎn)坐標(biāo)；(3)作輔助線AE，由三角形的兩個(gè)角相等，證明AECAFP，根據(jù)兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)yx3與y軸交于點(diǎn)C，故C(0，3)；(2)拋物線yx2bxc過點(diǎn)B，C，解得拋物線的表達(dá)式為yx24x3(x1)(x3)，對稱軸為直線x2，點(diǎn)A(1，0)；第2題答圖(3)由yx24x3，可得D(2，1)，A(1，0)；OB3，OC3，OA1，AB2，可得OBC是等腰直角三角形，OBC45°，CB3.如答圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，AFAB1.過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E.AEB90°.可得

23、BEAE，CE2.在AEC與AFP中，AECAFP90°，ACEAPF，AECAFP.，解得PF2.點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)或(2，2)9、如圖所示，若關(guān)于x的二次函數(shù)yax2bxc(a0，c0，a，b，c是常數(shù))與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，與y軸交于點(diǎn)P，其圖象頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)x1c2，a時(shí)，求x2與b的值；(2)當(dāng)x12c時(shí)，試問ABM能否等邊三角形？判斷并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)x1mc(m0)時(shí)，記MAB，PAB的面積分別為S1，S2，若BPOPAO，且S1S2，求m的值解：(1)設(shè)ax2bxc0的兩

24、根為x1，x2，把a(bǔ)，c2代入，得x2bx20，x12是它的一個(gè)根，×222b20，解得b，方程為x2x20，另一個(gè)根為x23；(2)當(dāng)x12c時(shí)，x2，此時(shí)ba(x1x2)，4ac2b1，M，當(dāng)ABM為等邊三角形時(shí)AB，即，b22b1(12b1)，解得b11，b221(舍去)，此時(shí)4ac2b1，即2c，A，B重合，ABM不可能為等邊三角形；(3)BPOPAO，即x1x2c2，ac1，a，由S1S2得cc，b24a·2c8ac8，b12，b22(舍去)，方程可變形為x22xc0，x1(1)c，x2(1)c，x1x2，x1mc，mc(1)c，m1.10、如圖所示，拋物線yax

25、2bxc經(jīng)過ABCD的頂點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為E.經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn)F.點(diǎn)P為直線l上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PFE的面積最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在點(diǎn)P使PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由原圖 備用圖【解析】 (1)利用待定系數(shù)法列方程組求解拋物線的表達(dá)式；(2)由平行四邊形的對稱性可知直線l必過其對稱中心，同時(shí)利用拋物線的對稱性確定E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求直線l的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式確定點(diǎn)F的坐標(biāo)作PH

26、x軸，交l于點(diǎn)M，作FNPH，列出PM關(guān)于t的表達(dá)式，最后利用三角形的面積得SPFE關(guān)于t的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值求得t值，從而使問題得以解決；(3)分兩種情形討論：若P1AE90°，作P1Gy軸，易得P1GAG，由此構(gòu)建一元二次方程求t的值；若AP2E90°，作P2Kx軸，AQP2K，則P2KEAQP2，由此利用對應(yīng)邊成比例構(gòu)建一元二次方程求t的值解：(1)將點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bxc，結(jié)得 得則拋物線表達(dá)式為yx22x3；(2)直線l將ABCD分割為面積相等的兩部分，必過其對稱中心.由點(diǎn)A，D知，拋物線對稱軸為x1，E(3，0)，設(shè)

27、直線l的表達(dá)式為ykxm，代入點(diǎn)和(3，0)，得 解得直線l的表達(dá)式為yx.由解得xF.如答圖，作PHx軸，交l于點(diǎn)M，作FNPH.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yPt22t3，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yMt. PMyPyMt22t3tt2t.第4題答圖則SPFESPFM SPEMPM·FNPM·EHPM ·(FN EH)×當(dāng)t時(shí)，PFE的面積最大，最大值的立方根為 .(3)由圖可知PEA90°.若P1AE90°，如答圖，作P1Gy軸，OAOE，OAEOEA45°，P1AG AP1G45°，P1GAG.tt22t33，即t2t0，解得t1或

28、0(舍去) 第4題答圖若AP2E90°，作P2Kx軸，AQP2K，則P2KEAQP2，即t2t10，解得t或(舍去)綜上可知t1或符合題意11、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C.拋物線yx2bxc經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)BC，CD.設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，CDE的面積為S1，BCE的面積為S2，求的最大值；過點(diǎn)D作DFAC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)CD.是否存在點(diǎn)D，使得CDF中的某個(gè)角恰好等于BAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由原圖 備用圖【

29、解析】 (1)先求出直線yx2與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可求解；(2)過點(diǎn)C作CHBD交BD于點(diǎn)H，則CH是CDE與BCE的高線，所以，分別過點(diǎn)D，B作DMy軸、BNx軸，DM交AC于點(diǎn)M，BN交AC于點(diǎn)N，則.由拋物線的函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到BN的長；設(shè)D，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可得DMt22t，于是轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，從而求得最大值；分三種情形求解：()DFC2BAC；()CDF2BAC；()FCD2BAC.情形()通過判斷BAC的度數(shù)確定是否存在；情形()可通過作BAC關(guān)于 軸的對稱圖形構(gòu)成出2BAC

30、，再過點(diǎn)C作平行線求解；情形()在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)P，使CPAP，構(gòu)成出2BAC再求解解：(1)在yx2中，當(dāng)x0時(shí)，y2；當(dāng)y0時(shí)，x4.C(0，2)，A(4，0)代入yx2bxc，得解得b，c2.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2x2.(2)如答圖，過點(diǎn)C作CHBD于點(diǎn)H，則S1DE·CH，S2BE·CH.第5題答圖.過點(diǎn)D作DMy軸，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BNx軸交AC于點(diǎn)N，則DMBN.在yx2x2中，當(dāng)y0時(shí)，x2x20，解得x4或1.B(1，0)當(dāng)x1時(shí)，yx2.N，BN.設(shè)D，則M.DMt2t2t22t.(t2)2.當(dāng)t2時(shí)，取最大值. A(4，0)，B(1，0)，C(

31、0，2)，OA4，OB1，OC2.，.又AOCBOC90°，AOCCOB.ACOABC.()tanBAC1，BAC45°.DFC2CAB.第5題答圖()當(dāng)DCF2CAB時(shí)，如答圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)G，連結(jié)AG，則CABGAB，G(0，2)CAG2CAB.設(shè)直線AG的函數(shù)表達(dá)式為ykxd(k0)把A(4，0)，G(0，2)代入，得 解得k，d2.直線AG的函數(shù)表達(dá)式為yx2.過點(diǎn)C作CDAG交第二象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)D，則DCFCAG2CAB，且直線CD的函數(shù)表達(dá)式為yx2.由x2x2x2，解得x10(舍去)，x22.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2.第5題答圖()當(dāng)CDF2CAB時(shí)，如答圖，在x軸負(fù)半軸上取點(diǎn)P，使CPAP.CABACP，CPOCABACP