流體力學(xué)習(xí)題

1、流體力學(xué)習(xí)題習(xí)題一 場論和張量代數(shù)1證明 ,其中為單位向量。2證明，其中是變矢量，是單位常矢量。3用兩種方法證明。4有一張量，將其分解為對稱的和反對稱的兩部分，并以表示相當(dāng)于反對稱部分的矢量，。試證，其中及為任意矢量。5張量為反對稱張量的充分必要條件是：對任意矢量有下述恒等式成立：習(xí)題二 流體運動描述1 流體質(zhì)點繞軸以等角速度 旋轉(zhuǎn)，（1）試以歐拉變量寫出流體運動的速度場；（2）試以拉哥朗日變量寫出流體質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）試分析流場的流線和軌跡；（4）試求流體質(zhì)點的加速度；（5）用極坐標(biāo)解此題。2 一維收縮管內(nèi)的不可壓縮流動，其速度分布為：，試決定：（1）流場內(nèi)任一質(zhì)點的加速度（2）給出 t

2、=0時刻位于點的質(zhì)點的運動規(guī)律，并比較用兩種方法得到的加速度。3 流體質(zhì)點在定常流場內(nèi)運動，流體質(zhì)點是否具有加速度，為什么?4 設(shè)流場為：，。試求流場的流線，流體質(zhì)點的軌跡和加速度，并以拉哥朗日變數(shù)表示質(zhì)點的速度和加速度。5 設(shè)流場為：，其中和 均為常數(shù)。試求：t=0 時經(jīng)過點M(a，b，c)的流線及t=0時經(jīng)過M(a，b，c)處的流體質(zhì)點的軌跡，最后考慮時的情形。6 考慮下述速度分量定義的二維流動：其中A、B、C 為常數(shù)。試證流線為直線，質(zhì)點的軌跡為拋物線。7 二維流場，試決定其流線與軌跡。8 設(shè)流場的速度分布為：其中 k 為常數(shù)，試求流線、軌跡和流體質(zhì)點的加速度，并用極坐標(biāo)解上題。9 試證

3、明由直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系和由極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系速度的變換公式如下：10 已知流體運動的速度大小和流線的方程分別為和constant，試求速度場兩速度分量。11 已知二維流動：，試求流線方程和通過點（2，3）的流線。12 一定常流管，其中心線上的流速在40cm的一段距離內(nèi)由14m/s變?yōu)?5m/s。若變化是均勻的，求這段上起點和終點的對流加速度。13 試導(dǎo)出在極坐標(biāo)，柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)系中之流線和軌跡的微分方程。14 速度場為，其中，速度的單位為m/sec，y以米給出，=2m/sec，b=1m/sec，試決定場點（1，2，0）上的速度分量以及通過該點的流線的斜率。15 在二維不定場流場內(nèi)，同一時刻

4、測的速度分量為：x y u v 0 0 20 101 0 22 150 1 14 5在x=0，y=0 點上，于不同時刻也進行了速度測量，測量結(jié)果為：t u v0 20 10 30 10 其中u、v 的單位為 m/sec，t 的單位為sec ，x、y的單位為 m，試求出 x=y=0點上分別沿x和y方向的平均加速度分量。習(xí)題三 質(zhì)量連續(xù)性方程1 試證明不可壓縮流體作定常流動時，速度必沿等密度面進行，反之亦然2 已知某平面不可壓流場的速度沿x 軸方向的分量為：求沿y 軸方向速度分量v，已知y=0時，v=0 3 某流場，以拉哥朗日變數(shù)表示為： 其中為常數(shù)，a， b為拉哥朗日變數(shù)， 試證明此流場為不可壓

5、流場。4 流體在彎曲的細管中流動，試分別以拉哥朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)給出連續(xù)方程式。5 設(shè)有一明渠，寬為 b(x)，水深為h(x，t)，x代表明渠任一界面的位置。如果認為同一截面上速度相同，即v=v(x)，試求連續(xù)方程。6 在上題中，如果靜止時h=h(x)（即渠底不平），由于外部擾動，使自由表面產(chǎn)生了一波動，此時任一截面的水深可表為， 其中，為波剖面。設(shè)流體為不可壓流體，試證明此時連續(xù)方程為：7 設(shè)為一細流管的截面面積，試證明連續(xù)方程為：8 流體質(zhì)點的運動對于某固定中心對稱，求其連續(xù)方程。如流體為不可壓，闡明此連續(xù)方程的物理意義。9流體質(zhì)點在通過oz軸的諸平面上運動，求連續(xù)方程式。10流體質(zhì)點的軌

6、跡為圓，且這些圓的圓心都位于某一固定軸上，試證明連續(xù)方程為：式中為流體質(zhì)點繞軸轉(zhuǎn)動的角速度。11如果流體質(zhì)點的軌跡位于共軸的圓柱面上，試求其連續(xù)方程式。12不可壓流體在一平面內(nèi)運動，在極坐標(biāo)系下，已知： 其中k為常量，試給出速度的分量和速度的大小。13如果流體質(zhì)點在一球面上運動，證明連續(xù)方程為：此處分別為緯度和經(jīng)度，分別為質(zhì)點位置經(jīng)度和緯度的變化率。14流體質(zhì)點的運動位于軸線與z軸共軸并有共同頂點的圓錐面上，試求連續(xù)方程。15一脈沖在一均勻直管中傳播，已知 ，求質(zhì)點的速度分布，設(shè)原點處質(zhì)點的速度為。16說明是否為一不可壓流動。假設(shè)一個不可壓流動的速度x分量為u=x，那么，其y分量v的函數(shù)形式是

7、什么形式？習(xí)題四 速度分析 有旋運動和無旋運動 1 流速在平板附近的速度分布為：，試求流體微團的膨脹速度，和轉(zhuǎn)動角速度。2 在無旋流動中，時刻組成小球的質(zhì)點在d時間后必然構(gòu)成橢球面，試證之。3 在勻變形情況下，位于同一平面上的質(zhì)點永遠位于同一平面上，位于同一直線上的質(zhì)點永遠位于同一直線上，試證之。4 以A代表某個流動的變形速度張量，試證明剪切速度可分別被解釋為由于剪切變形引起的位于x-y， x-z和y-z三個坐標(biāo)面上的正方形對角線的相對伸長速度。5 流體運動時，流線為繞OZ軸之同心圓，角速度與離OZ軸距離的n次方成正比，求旋度及流體的自轉(zhuǎn)角速度。6 驗證下列平面流動是否為不可壓縮流動。并證明哪

8、一個是有旋的，哪一個是無旋的，對于無旋場給出速度勢函數(shù)。a) ， b) ， c) ， d) 7 一平面流場：，證明其代表一不可壓流場，并且是無旋的，并試給出其速度勢函數(shù)。8 給出下述有旋運動的速度場及渦線：a) 流體與剛體一樣具有角速度繞OZ軸旋轉(zhuǎn)；b) 流場：；c) 流體質(zhì)點的速度與質(zhì)點到OX軸的距離成正比，并且與OX 軸平行。9 已知速度勢如下，試求對應(yīng)的速度場、流體質(zhì)點加速度及流線。a) ；b) 。10 不可壓流體在單連通區(qū)域內(nèi)做無旋運動，試證明對于任何的封閉曲面s均有。11 在不可壓縮無旋流動中，流場內(nèi)任一內(nèi)點上，速度勢不可能取得極值，試證明之。習(xí)題五 量綱分析和相似理論1 截面為半圓

9、形的無限長直管中的不可壓縮流體做層流運動，沿管軸方向某一長度上的壓降為。管中的平均流速，管的半徑，流體粘性系數(shù)有關(guān)。試由量綱分析原理推出管中體積流量如何隨、和變化。2.右圖示水壩溢流，水的密度與粘度為和。試用量綱分析導(dǎo)出溢過單位寬度水壩的體積流量與那些量有什么無量綱關(guān)系。又若已知來流速度為，求與什么無量綱量有關(guān)。hH3在很低雷諾數(shù)下, 繞某物體的流動服從下述Stokes方程組: , ,在物面上，在無窮遠處(沿軸方向)。試用量綱分析論證：此物體所受阻力的大小應(yīng)該與特征尺寸的幾次方成正比？4用：30的模型在水槽中研究潛艇阻力問題。若實際潛艇水下航速為10knot，試確定研究摩阻時，模型拖拽速度多大

10、。5一模型港尺度比為280：1，設(shè)真實storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s，那么模型實驗中的這振幅和波速分別是多少？習(xí)題六 理想流體動力學(xué)方程組和邊界條件（本習(xí)題中除特殊說明外，流體均為均勻不可壓理想流體）1 流體邊界如下，求邊界面的法向速度。2 橢圓柱以速度作垂直于其軸線的直線運動，試寫出橢圓柱的曲面方程式。3 試導(dǎo)出在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下，活動邊界的邊界條件。ABC4 炸彈在水下很深的地方爆炸，證明水中任一點的壓強與這點到炸彈中心的距離成正比。5 一垂直折管A B C（），C端封閉，并使AB段豎直放置（如圖4-1）。管中充滿液體。如果將C端開放，試證明在開啟的瞬間，垂

11、直管中的壓強減少一半（如果 AB=BC ），并求水平圖4-1管中壓強的變化（不計大氣壓強）。6 設(shè)有不可壓重流體，盛在直立的圓柱形容器內(nèi)，以等角速度繞圓柱軸線穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。若已知流體靜止時液面的高度為h，圓柱半徑為a，不計大氣壓強，試求：（1）流體內(nèi)部的壓強分布；（2）自由表面的形狀；（3）容器底部受的總壓力。7 設(shè)某流動的速度勢在柱坐標(biāo)系下可以表示為，且自由表面壓強為常值，于為無窮遠處，水面高為h，試求自由表面的方程式。圖4-2ABC Da8 水平直細管內(nèi)有一長為2的不可壓縮流體，流體受管中點的吸引，引力與到管中點的距離呈正比。求流體的速度及壓強分布。不考慮大氣壓強。9 截面均勻的垂直細管 在下

12、端分為水平的兩個小管BC 和 CD，其截面積為垂直管截面積一半，（見圖4-2），在管子結(jié)合處各有龍頭開關(guān)，關(guān)閉龍頭并使液體在垂直管中的高度為a。當(dāng)兩龍頭打開后，試求液體的運動規(guī)律。 10設(shè)空氣中有一肥皂泡，成球狀，如果肥皂泡以規(guī)律R=R(t)膨脹，且認為膨脹率很小，因而空氣可以看作是不可壓縮的，試求肥皂泡的表面壓強，設(shè)無窮遠處氣體的壓強為，且不計質(zhì)量力。11液體置于封閉的圓柱形筒內(nèi)，受外力的作用自靜止開始繞筒的軸線運動，已知外力在方向的兩分力分別為，證明： 已知角速度僅為時間t的函數(shù)，且均為常數(shù)，不考慮重力的作用。12在流體內(nèi)部突然形成了一個半徑為a 的球形空穴，假定流體為不可壓縮并且充滿整個

13、空間，試決定流體充滿空穴所需要的時間。（假定無窮遠處流體的速度為0，壓強為 P0）13一完全浸沒在不可壓縮流體內(nèi)部的球照規(guī)律R=R(t) 膨脹，試決定球面上的流體壓力。14均勻截面直細管內(nèi)的氣體服從Boyle 定律()，試證明：式中為密度，v 為速度，x為離開參考點的距離。15試從歐拉觀點出發(fā)，對于小微元推導(dǎo)平面輻射流動沿徑向(方向)的運動方程(應(yīng)力形式)。16在直角坐標(biāo)系下，均質(zhì)不可壓縮流體定常運動的速度為, ，(是常數(shù))，流體內(nèi)能和溫度只是的函數(shù)。設(shè)流體粘度等于常數(shù)，熱傳導(dǎo)系數(shù)，質(zhì)量力只考慮重力(沿方向)，無其它熱源。試從歐拉觀點出發(fā)，取一小微元，推導(dǎo)出能量方程。17一個無限大的平板原來靜

14、止，其一側(cè)的半空間充滿原來也是靜止的均質(zhì)不可壓縮粘性流體（粘度為常數(shù)）。時刻此平板突然以常速度沿板面某一方向滑移。假設(shè)半空間中流體速度都與平行，且只與到平板的距離及時間有關(guān)，壓強處處均勻，不計質(zhì)量力。（1）請選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫圖注明；（2）指出應(yīng)力張量中哪些分量恒為零，并把全部非零分量用流體速度和壓強表示出來；（3）選擇適當(dāng)?shù)男∥⒃w積（畫圖），從歐拉觀點出發(fā)，推導(dǎo)運動方程（最后的方程用速度表達），并列出定解條件。習(xí)題七 理想流體動力學(xué)方程的積分（本習(xí)題中，除特殊說明外，流體均為理想不可壓流體）1 絕熱氣體（）沿一直細管流動，如果不計質(zhì)量力，試證明多項式 沿管子為常值。式中為流體的流速，分別

15、表示壓強和密度。如果沿流動方向管子是收縮的，那么當(dāng)時，V將沿流動的方向增加，將沿流動的方向減少。2 設(shè)氣體狀態(tài)滿足，氣體通過一細導(dǎo)管流出一大的密閉容器。已知容器內(nèi)的壓強為大氣壓強的n倍。不考慮容器內(nèi)流體的勢能，證明流出的速度V由下式給出：，式中為出口處的密度。3 有一截面變化的長方形溝渠，底部水平，水定常地通過此渠。如果V，h 分別為流體的速度和流體表面的高度，當(dāng)時，則高度h將隨溝渠寬度的增加而增加，而流速將隨溝渠寬度的增加而減少，試證明之。4 在一流管中取兩個斷面，兩斷面間流體總質(zhì)量為，兩個斷面上的速度勢分別為，試證明此兩斷面間流體的動能可寫為：。syh圖5-15 如圖5-1，虹吸管 y=2

16、m ，h=6m ，管的直徑為15cm，求 a）管內(nèi)的流量b）最高點s處的壓強c）假如y為未知，求虹吸管吸不出水時之y 為何值。6任意形狀的物體置于等速定常流動的無限流體中。試證明流體不受任何阻力。7有一均勻截面之折管內(nèi)充以不可壓縮流體（圖5-2），處有一開關(guān)，當(dāng) t0 時，開關(guān)緊閉， CA=AB=h，截面積為單位面積。求剛打開開關(guān)時 (t=0) 及打開開關(guān)后(t>0 )壓強之分布規(guī)律。8勻速地將水注入直立的圓柱形盆內(nèi)，注入流量為 q=15cm3/s。盆底有一極小的孔，其截面積為s=0.5cm2 ，問盆中水面保持多大的高度。9兩個截面積相等的高度為C的封閉圓柱，將其放在同一水平面上，一管充

17、滿水，一管充以空氣?？諝鈮簭姙閜，與水柱h平衡（hc）。如果連通兩管之底部（圖5-3），設(shè)空氣運動時是等溫壓縮的，求X最大值。Cx圖5-3CAB圖5-2 習(xí)題八 理想流體勢流問題1已知速度勢及流函數(shù)：（a）= =（b）=2xy =x2y2試寫出復(fù)勢 W=W(z) 的表達式。2 如果速度勢，求此流動之復(fù)勢。3 對于二維可壓縮流動，相應(yīng)流函數(shù)存在的條件是定常運動，試證之。4 設(shè)，試證明質(zhì)點的速度和加速度與到原點的距離成正比。5 求偶相對于某一直線的像。6 求偶相對于半徑為a之圓的像，并證明其強度與原偶之強度的比為a2/2，此處F為原偶至圓中心的距離。7 試研究由復(fù)勢： （m0）所確定的流動。源和匯

18、在哪些點上？設(shè)，求速度勢及流函數(shù)，并證明可以將運動看作在坐標(biāo)軸及半徑為1的圓所圍繞的象限之內(nèi)；求通過連接兩點的線段的流體體積通量。8 如果點有強度為m的源，在z=0點有同等強度的匯，求在 x，y 坐標(biāo)軸所限的象限內(nèi)流體運動的復(fù)勢以及極坐標(biāo)系下的流線方程，并求在z=1點的速度值。9 平面邊界附近有強度為m的源，求：a) 邊界上的速度分布及最大值點；b) 邊界上的壓強分布及壓強最小值點；c) 設(shè)邊界為單位寬度且無限長，求源對邊界的作用力。10 求圓柱外之源作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。11 求圓柱外之偶作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。12 設(shè)半徑為a的圓外有一源m和匯()，在極坐標(biāo)系

19、下，它們分別位于處，求流場的復(fù)勢，并研究的情況。13 一截面半徑為a的圓柱橫置于速度為V且無限遠處壓強為的均勻水流中，試求作用在到之間的柱體上的作用力。式中指向上游。V14 兩個強度為m的源分別在(-a ，0) 和 (a，0)處，另有一個強度為2m的匯在原點，證明流線為：； 再證明任意一點的速率為：，其中分別為該點到兩個源和匯的距離。15 設(shè)在(-a ，0) 和 (a，0)兩點有強度均為m的源，在 (0，a)和(0，-a) 點有相同強度的匯，證明過此四點的圓及兩坐標(biāo)軸皆為流線；進一步證明任一點的速率為。16 半徑為a的圓內(nèi)有偏心渦，求復(fù)勢，速度分布和流線。17 兩個同心的無窮長圓柱面之間充滿均

20、質(zhì)不可壓縮理想流體做無旋運動。外柱面不動，內(nèi)柱面以常速度沿軸做直線運動?，F(xiàn)在欲求這一瞬時的流體速度分布。試用(a)速度勢(b)流函數(shù)和(c)復(fù)勢分別給出問題的完整數(shù)學(xué)提法，但不必求解。18 設(shè)半徑為的無窮長的圓柱在無窮的理想不可壓靜止流體中沿軸(與柱軸垂直的方向)作不定常平動，速度為，求流體對圓柱的慣性阻力，并寫出該圓柱體的運動微分方程。19 半徑為和的兩球面間充滿密度為的理想不可壓縮流體。設(shè)外球面靜止，內(nèi)球面沿軸以速度平移，某一瞬時恰好兩球面同心。若流體運動無旋，試求流場所含動能。習(xí)題九 粘性流體的運動1 粘性系數(shù)為的流體沿水平圓截面管子做定常流動，設(shè)速度為q，壓強梯度為p，（1） 證明，

21、式中，是流體質(zhì)點到管子中心軸線的距離。（2） 給出通過管子的體積流量。2 粘性流體在兩共軸圓柱面之間的區(qū)域內(nèi)作平行于軸線的定常運動，兩共軸圓柱面的半徑分別為。證明流量為：式中，p為壓強梯度；求平均速度。3 討論兩無限長水平平行平板間的定常層流運動。如其中一平板固定另一平板以速度在其所在平面內(nèi)等速平移運動，求作用在上下平板上的摩擦應(yīng)力。4 把上題的平行平板傾斜放置，與水平成角，運動情況如何？如設(shè)下平板固定，上平板平移的速度為何值時可使作用在下平板上的摩擦應(yīng)力為零？分別就在水平方向上有無壓強差兩種情況進行討論。5 一皮帶通過一液體池鉛直向上以勻速運動，由于粘性帶走一層流體（厚度h，密度，粘性系數(shù)），而重力使這層流體下流。試給出流體運動速度應(yīng)滿足的邊界條件，流體層內(nèi)的速度分布。假定保持定常層流狀態(tài)，鉛直方向無壓力差，略去大氣對流體表面的摩擦。6 兩無限大平行平板間有兩層不同密度