王淑華固體答案五PPT課件

1、5.1 一維周期場，電子的波函數(shù) ;axsinxk ，電子的波函數(shù)為應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。 xk若晶格常數(shù)為a ;axicosxk lklaxfx（1）（2）（3）f（ 為某一確定的函數(shù)）試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：由式 reRrkRr inkn 可知，在一維周期勢場中運(yùn)動的電子波函數(shù)滿足第1頁/共75頁 xeaxkiknak 由此得（1） xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是 nikna1e 因此得 n12skna 所以 0,1,2.s a12sk 第2頁/共75頁（2） axcosexaicosaxaicosikna 即 niknaie 得n232skna 所以

2、 0,1,2.s a232sk 第3頁/共75頁（3） llka1lxflaaxfax令1ll 得 xexalxfaxkiknaklk 由上知1eikna 可知2skna 所以 2.1,n 0,1,2.s na2sk 第4頁/共75頁5.2 5.2 電子在周期場中得勢能 0naxbm21xV222bnaxbna 當(dāng)當(dāng) bnaxba1-n 當(dāng)當(dāng)且4b,a 是常數(shù)。 試畫出此勢能曲線，并求此勢能的平均值。解：Oa2a3axV(x)如圖所示，由于勢能具有周期性，因此只在一個周期內(nèi)求平均第5頁/共75頁即可，于是得 dxxV4b1dxxVa1V2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb32

3、2x31xb8bm 22bm61 第6頁/共75頁5.3 用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個禁帶寬度。解：在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示式為ngV2E 其中nV是周期勢場V(x)付里葉級數(shù)的系數(shù)， dxexVa1Vnxa2i2a2an 求得。第一禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa2i2a2a1g1 該系數(shù)可由式第7頁/共75頁 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbc

4、osxb2m4b12 第8頁/共75頁5.4 用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶 2akcos2akcos2akcos8JAEkEzyxats并求能帶寬度。解：用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子，當(dāng)只計及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時， 是最近鄰格矢是最近鄰格矢nRk inatsR,eJAEkEn 對體心立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，0），則8個最近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為 2a,2a,2a其能帶的表示式為第9頁/共75頁將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得 nRk inatseJAEkE zyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aiatskkkek

5、kkekkkekkkekkkekkkekkkekkkeJAE第10頁/共75頁 2akcose2akcose2akcose2akcose2JAEzkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4JAEzyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8JcosAEzyxats 由余弦函數(shù)的性質(zhì)，用觀察法即可斷定，當(dāng)0kkkzyx 時，能帶中的能量取最小值第11頁/共75頁8JAEE0min 當(dāng)a1k,a1k,a1kzyx 時，能量取最大值8JAEE0max 因而能帶的寬度為16JEEEminmax 第12頁/共75頁5.5由N格原子

6、組成的三維晶體（簡單晶格),其孤立原子中的 ,e1xxat 為正的常數(shù)。（1）試寫出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；（2）證明上面寫出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)（3）對比說明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及電子基態(tài)波函數(shù)為的性質(zhì)；能量的特征。解： （1）按緊束縛近似，三維晶體電子的波函數(shù)為 latRk iRatRkeN1r , kll 第13頁/共75頁一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl 所以 naxeN1x, katnak in 又 xate1x 得 naxnak ineeN1x, k （2）按正交化平面波方法，三維晶體電子的波函數(shù)為第14頁/共75頁 reN1xiikkj,ijM

7、1jrkki deRr1liiRrkkilatjkk ,kij latjRk ilk jRreN1l 對于一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl ，a xeNa1xiikkj,ijM1jxkki dxenaxa1naxkkiaatjkk ,kijii 第15頁/共75頁此處 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeeN1 若只取一項(xiàng)，則 nnaxeiknaedxnaxikeanaxeNa1ikxeNa10 x第16頁/共75頁5.6 一矩形晶格，原胞邊長 ma10102 ， mb10104 （1）畫出倒格子圖；（2）以廣延圖和簡約圖兩種形式，畫出

8、第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費(fèi)密面。(設(shè)每個原胞有兩個電子。）解：jAjbbiAiaa0042 倒格子基矢為jAbiAaoo4121* (1)因?yàn)榈?7頁/共75頁以*,ba如圖6-11所示,圖中“?！贝淼垢顸c(diǎn)。由圖可見，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。為基矢構(gòu)成的倒格子第一區(qū)第二區(qū)xkyk a bo1A2A3A4A1B2B3B4B第18頁/共75頁（2）其結(jié)果如圖所示。iA、次近鄰 iB的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)(如上圖)，這是布里淵區(qū)的廣延圖。取任意倒格點(diǎn)o作為原點(diǎn)，由原點(diǎn)至其最近鄰如采用簡約形式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，xkyk第19頁/共75頁（3）簡約布里

9、淵區(qū)的面積 便有2N個狀態(tài)。2*)(81oAbaA 而狀態(tài)密度2*)(162)(oANANkg 當(dāng)每個原胞有兩個電子時，晶體電子的總數(shù)為 201622FkkNkdkkgNF 設(shè)晶體共有N個原胞，計入自旋后，在簡約布里淵區(qū)中第20頁/共75頁所以11112/11022 . 081 mAkoF 這就是費(fèi)米圓的半徑，據(jù)此做出費(fèi)米圓如圖所示。xkykoFk第21頁/共75頁5.7 有一平面正六角形晶格，六角形兩個平行對邊的間距為a（見圖），試畫出此晶體的第一、第二、第三布里淵區(qū)。若每個原胞有2個電子試畫出其費(fèi)米圓周。解： 如圖所示，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，原胞也如圖中畫出

10、。每個原胞中包含有兩個原子。是一個復(fù)式格子。基矢可由下式給出21a,a第22頁/共75頁 j a23i a23aj a23i a23a21，可得到倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二維晶格下，取ka3 其中由 2321a233aaa 給出。第23頁/共75頁所以 j31i33a2bj31i33a2b21根據(jù)倒格基矢就可以畫出個倒格點(diǎn)，從而畫出布里淵區(qū)如圖。當(dāng)每個原子有2個電子時，則二維晶格的價電子面密度為1b2b第24頁/共75頁可算出費(fèi)米圓的半徑a3.1a3316n2k2F 由此可以畫出自由電子的費(fèi)米圓，如圖中的所示。2Ca338A4n 考慮

11、周期勢場的微擾，對自由電子的費(fèi)米圓作兩點(diǎn)修正：（1）在布里淵區(qū)的邊界線處發(fā)生分裂。（2）費(fèi)米圓與布里淵區(qū)邊界線間的交角進(jìn)行鈍化。1b2b第25頁/共75頁5.8 平面正三角形晶格（見圖），相鄰原子間距為a。試求（1）正格矢和倒格矢；（2）畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。1a2aa解： （1） 正格原胞的基矢如圖所示取為j23i2aa, i aa21 其中 和 是相互垂直的單位矢量。ij第26頁/共75頁取單位矢量 垂直于 和 ，則 和 構(gòu)成的體積ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢為 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 （2）選定一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近鄰倒格矢

12、有6個，它們是 2121bb,b,b 第27頁/共75頁這6個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)成了兩部分，以原點(diǎn)為對稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑為a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-第28頁/共75頁5.9 證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對應(yīng)于 110晶面的布拉格反射。證明： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 對于一級反射，n=1,則有 sin2d (1) 式中，d為反射晶面族的面間距， 為布拉格角。在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有 2sinnKk 根據(jù)布拉格衍射公式第29頁/共75頁此處nK為被界面垂直平分的倒格矢，nKk sin21 (2)

13、 令(1)(2)兩式右邊相等，便得2221lkhaKdn (3) 式中a為立方晶系的晶格常數(shù)，h,k,l為晶面指數(shù)。 對于體心立方結(jié)構(gòu)，其倒格子原胞是邊長為2/a的面心立方格子，布里淵區(qū)則是從坐標(biāo)原點(diǎn)到最近鄰的12個面心的倒格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長度nK由此得第30頁/共75頁正好等于面對角線長度的一半， 即 aaKn22221 于是從(3)式給出21aKdn (4) 根據(jù)衍射理論，對于體心立方格子，只有晶面指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面族才能產(chǎn)生1級反射，因此從(3)(4)兩式容易看出，與布里淵區(qū)邊界面相對應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為 . 110第31頁/共75頁解： snRRRki0J

14、eAEkEnsn 最最近近臨臨(1) 式中sR和nR分別為參考原子及其最近鄰的位矢。 在面心立方格子中，有12個最近鄰。=0,12個最近鄰的坐標(biāo)分別是sR5.10 用緊束縛方法處理面心立方晶格的s態(tài)電子，若只計最近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達(dá)式。原點(diǎn)時，晶體中s態(tài)電子的能量表示為若只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)第32頁/共75頁對于s態(tài)電子，原子與各個最近鄰的交迭積分皆相等，JJsn ，則從(1)式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1

15、, 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeJAEkE令第33頁/共75頁 zyzxyx0k2acosk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4JAE zzyyxxzzyyxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2ai

16、k2ai0eeeeeeeeeeeeJAE第34頁/共75頁5.11 證明：在三維晶格中，電子的能量在k空間中具有 hKkEkE , ,式中hK為任一倒格矢。周期性：證明： ruerkrkik 2(1) 波函數(shù) rk 具有如下性質(zhì)： reTrrTkTkikk 2(2) 代表平移算符。 T顯然，平面波可寫成按照布洛赫定理，在周期性勢場中運(yùn)動的電子的波函數(shù)第35頁/共75頁 riKkhKkhCer 2滿足(2)式， hK為任意倒格矢。 因此，電子波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是所有 rhKk 的線性疊加，即 rArhhhKkKKkk rKi2KKkrki2rKki2KKkhhhhhheBeeB (3) 其中 hhKkK

17、kCAB 。 對比(1)(3)兩式可知 rKiKKkkhhheBru 2(4) 第36頁/共75頁容易看出， ruk具有晶格的周期性。 由(4)式還可得到 rKiKKKkKkhhmhmeBru 2其中 mK也為任一倒格矢。 令 hmlKKK ， 則上式可以寫成 r)K(Ki2KKkKkmlllmeBru rKi2KKkrKi2lllmeBe ruekrKi2m (5) 第37頁/共75頁由(1)(5)式，有 ruerhhhKkrKki2Kk rueekrKi2rKki2hh rruekkrki2 (6) 即電子波函數(shù)在k空間具有平移對稱性。由薛定諤方程 rkErHkk rKkErHhhKkhK

18、k 結(jié)合(6)式，立即得到 hKkEkE 第38頁/共75頁5.12 證明在任何能帶中，波矢為k和波矢為k的狀態(tài)有相同的能量，即 kEkEnn kEn這里 代表簡約布里淵區(qū)中第n個能帶的態(tài)能量。 證明： rV表示，電子波函數(shù)用 rnk 表示， 則薛定諤方程為 rkErrVrmhnknnknk 222從布洛赫定理知道，波函數(shù) ruernkrkink 2若周期性勢場用第39頁/共75頁代入薛定諤方程，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到?jīng)Q定函數(shù) runk的方程： rukErurVrukk imhnknnknk 2222442 (1) 取(1)式的共軛復(fù)式，得 rukErurVr

19、ukk imhnknnknk*2222442 (2) 第40頁/共75頁若在(1)式中用 k 代替 k，則有 rukErurVrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比較(2)(3)式可知，除了滿足 ruruknnk ,*之外， 顯然有 kEkEnn 可見，在任一能帶 nE中，波矢為 k k相同的能量。和 的兩狀態(tài)具有第41頁/共75頁5.13 證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自由電子的動能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動能大倍。 對三維簡單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？證明：角隅處C和側(cè)邊中點(diǎn)處A的波矢分別為ACoxkyka1akakCA22,21 k空間 中一個邊長

20、為1/a的正方形(如圖 )。 對邊長為a的二維正方格子, 其第一布里淵區(qū)是第42頁/共75頁相應(yīng)的自由電子能量為222222224282mahmkhEmahmkhECCAA 可見， ACEE2 對于三維簡單立方晶格，若晶格常數(shù)為a，第一布里淵區(qū)是一個邊長為1/a的立方體(如圖)，akakCA23,21 。ACoxkykzka1此時第43頁/共75頁相應(yīng)的自由電子能量為2222222283282mahmkhEmahmkhECCAA 可見， ACEE3 即對簡單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅 處一個自由電子的能量等于側(cè)面中點(diǎn)處能量的3倍。第44頁/共75頁5.14 應(yīng)用緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可

21、表示為 3322110coscoscos2akJakJakJAEkEzyx 式中， 3210，、 iJAEi對已知晶體可視為常數(shù)； 321 ， iai是晶格常數(shù)。證明： snRRRkiJeAEkEnsn 最近臨 20 (1) 式中 nsRR,分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢， snJ是位矢為 nsRR,兩原子s態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。 在緊束縛近似條件下，s態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為第45頁/共75頁取 0 sR，即以參考原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，其六個最近鄰的坐標(biāo)分別為 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入(1)式，得 1

22、120, 120, 10akiakixxeJeJAEkE 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyeJeJeJeJ (2) 注意到 0 , 0 ,1a和 0 , 0 ,1a 兩原子與原點(diǎn)距離相等， 應(yīng)有 則對于簡單正交晶系， 第46頁/共75頁10, 10, 1JJJ 同理 20,20,2JJJ 30,30,3JJJ 代入(2)式，并應(yīng)用尤拉公式進(jìn)行化簡即得 33221102cos2cos2cos2akJakJakJAEkEzyx 或統(tǒng)一表示為 iiiiakJAEkE 2cos2310 第47頁/共75頁5.15 設(shè)電子能譜仍和自由電子一樣，試采用簡約能區(qū)圖形式

23、，粗略畫出簡單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個近鄰倒格點(diǎn)區(qū)域內(nèi)沿 100方向的電子的 kE圖。 解：k空間中一個邊長為1/a的簡單立方格子，如圖所示。6個最近鄰的倒格點(diǎn)，分別位于各鄰近區(qū)域內(nèi)，它們對應(yīng)的倒格矢分別為 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa簡單立方晶格的第一布里淵區(qū)是取立方體中心的倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，它有第48頁/共75頁在簡約能區(qū)圖式表示法中，所有的電子波矢k都要變 換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。 為簡 單計，本題的計算只取原點(diǎn)o和界面上的點(diǎn)A,B。 這樣， 設(shè) k可取 100方向上所有可能的值，其對應(yīng)的能量為 222Kk

24、mhE 1E2E6543EEEE,7E kE2a1 2a1ko02040608第49頁/共75頁于是，第一區(qū)及其鄰近區(qū)域內(nèi)沿 100方向的Ek圖可分別求出 如下： (1)第一布里淵區(qū)0 K2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0mahEakmahEakEkBBAA 據(jù)此可作略圖，如圖中的 1E曲線。 圖中 2208/ mah 取作能量的單位。第50頁/共75頁(2)各鄰近區(qū)域當(dāng) 0 , 0 ,1aK時，則 22222222222002089,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如

25、曲線 2E。 第51頁/共75頁當(dāng) 0 ,1, 0aK時，則 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線 3E。 第52頁/共75頁當(dāng) 0 ,1, 0aK時，則 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線 4E。 當(dāng) aK1, 0 , 0和 aK1, 0 , 0時， 所得曲線 65,EE與曲線 43,EE重合。 第53頁/共75頁當(dāng) 0 , 0 ,1aK時，

26、有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線 7E。 第54頁/共75頁5.16 設(shè)有晶格常數(shù)為a、2a、3a的簡單正交晶格，試求：（1）簡約布里淵區(qū)的圖形及體積；（2）在自由電子近似下，費(fèi)密面與簡約布里淵區(qū)的各邊界面相切時所對應(yīng)的價電子數(shù)與原子數(shù)之比；（3）若該晶體的費(fèi)密面正好是與簡約布里淵區(qū)的各邊界面相切的橢球面，求該晶體的價電子數(shù)與原子數(shù)之比。解：（1）令簡單正交晶格的三個晶軸分別為X、Y、Z軸，則它的基矢可寫成 k3aaj2aai aa321第55頁/共75

27、頁可求出它的倒格子基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢可寫成 kh31jh21iha2bhbhbhK321332211h而布里淵區(qū)邊界面由式02KkKhh 給出第56頁/共75頁0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的幾個倒格矢，得到的相應(yīng)邊界面可列表如下：第57頁/共75頁邊界面方程邊界面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a132k3k

28、zy 從上面的平面方程中，可以看到離原點(diǎn)最近的幾個面是上表中列出的最前面三個方程所表示的六個平面。這六個平面圍成一個長方體如圖所示，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)，它的第58頁/共75頁體積是 3321a34bbb xkzkyk（2）在自由電子近似下，費(fèi)米面為球面。當(dāng)費(fèi)米面與第一布里淵區(qū)的三對平面相切時的半徑分別為 3ak2akak321FFF（1）第59頁/共75頁由 312312Fn3VN3h 式可得各情況下的相應(yīng)電子密度 332F223332F322332F32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每個原胞的體積 33216aaaa 根據(jù)以上幾式可求出各個原胞

29、內(nèi)所含的自由電子數(shù)（2）第60頁/共75頁0.2327281a6anN0.79424a6anN6.323a6anN333333223311 因?yàn)楹唵握桓褡邮呛唵胃褡?，所以每個原胞中只包含一個原子，因而上面算得的即分別是三種情況下的321N,N,N自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。（3）如果費(fèi)米面是與簡約布里淵區(qū)的各個邊界面相切的橢球面，則它的費(fèi)米面方程可寫成第61頁/共75頁1kkkkkk2F2z2F2y2F2x321 這里的321FFFk,k,k分別是橢球的三個主軸長度，由（2）給出。橢球 V中可以有 V2V3 個軌道狀態(tài)?？紤]自旋，則在橢球費(fèi)米面內(nèi)可容納的電子數(shù)為 V22VN3因此晶體的電子密度為

30、 V22VNn3（3）第62頁/共75頁每個原胞所含的電子數(shù)即為 V22nN3C因?yàn)楹唵握桓褡邮呛唵胃褡樱總€原胞只含一個原子，所以CN也即是自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。為了得到CN值，必須知道橢球的體積 。 V為此。令 zrkkyrkkxrkk321FzFyFx（5）由（3）、（5）兩式可知（4）第63頁/共75頁2222rzyx 即變成一個半徑為r的球面方程，它的體積為3r34V 在作（5）式的變換時，相對應(yīng)的體積變換關(guān)系為3FFF3FFFzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkVV321321 所以321321FFF3FFFkkk34VrkkkV 第64頁/共75頁把上式代入（4）式，并利用（1）、（2）式，即可得晶體中自由電子數(shù)與原子數(shù)之比 321FFF333Ckkk346a2222N 3a2aa2akkk2a23FFF23321 1.053 第65頁/共75頁5.17 體心立方晶格，原子總數(shù)為N 。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時，第一布里淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。解：因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)實(shí)