高中數學教案(分享)

1、學習必備歡迎下載課題： 7.5 曲線和方程（一）曲線和方程教學目標：1了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理王新敞2在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，以及坐標法、待定系數法等常用的數學方法 王新敞3培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神王新敞教學重點： 理解曲線與方程的有關概念與相互聯系王新敞王新敞教學難點： 定義中規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）王新敞王新敞授課類型： 新授課 王新敞課時安

2、排： 1 課時 王新敞教具：多媒體、實物投影儀王新敞教材分析 ：曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數”的范疇，它們通過直角坐標系而聯系在一起，“曲線和方程” 這節(jié)教材， 揭示了幾何中的 “形”與代數中的 “數”的統(tǒng)一，為“依形判數”和“就數論形”的相互轉化奠定了扎實的基礎這正體現了幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響曲線與方程的相互轉化，是數學方法論上的一次飛躍本節(jié)教材中把曲線看成是動點的軌跡，蘊涵了用運動的觀點看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作曲線的代數反映，又包含了對應與轉化的思想方法王新敞由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內容，因而學生用解析法研究幾何圖形

3、的性質時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學習的入門之徑求曲線的方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應該認識到，本節(jié)內容是解析幾何的重點內容之一王新敞根據大綱要求，本節(jié)內容分為3 個課時進行教學，具體的課時分配是：第一課時講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關系；第二課時講解求曲線方程的一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結、鞏固和深化本節(jié)知識，并解決與曲線交點有關的問題?？紤]到本節(jié)內容的基礎性和靈活性，可以對課本例題和練習作適當的調整，或進行變式訓練王新敞針對 第一課時 概念強、思維量大、例題習題不多的特點，整節(jié)課以啟發(fā)學生觀察思考、分析討論為主。當學生觀察

4、例題回答不出“為什么”時，可以舉幾個點的坐標作檢驗，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導學生看圖，這就是“從具體（直觀）到抽象”的方法；或引導學生回到最簡單的情形，這就是以簡馭繁；或引導學生看（舉）反例，這就是正反對比，總之，要使啟發(fā)方法符合學生的認知規(guī)律 王新敞學習必備歡迎下載教學過程 ：一、復習引入：溫故知新，揭示課題問題： (1)求如圖所示的AB的垂直平分線的方程；(2)畫出方程 xy0 和方程 y2x 所表示的曲線王新敞觀察、思考，求得(1)的方程為 yx ， (2) 題畫圖如下y2.5A211.5y=x2-1 01 Bx11-2-10.5123-101-0 .5-1x+y=0講解：第

5、 (1) 題是從曲線到方程，曲線C( 即 AB 的垂直平分線)點的坐標(x,y)方程 f(x,y)=0王新敞第 (2)題是從方程到曲線，即方程f(x,y)=0解 (x,y)(即點的坐標 )曲線 C教師在此基礎上揭示課題，并提出下面的問題讓學生思考王新敞問題 :方程 f(x,y)=0 的解與曲線 C 上的點的坐標， 應具備怎樣的關系， 才叫方程的曲線，曲線的方程？ 王新敞設計意圖：通過復習以前的知識來引入新課，然后提出問題讓學生思考，創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生學習的欲望和要求王新敞二、講解新課：1. 運用反例，揭示內涵由上面得出：“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的點都在曲線上”后

6、，不急于拋物線定義，而是讓學生判斷辨別王新敞問題：y下列方程表示如圖所示的直線C，對嗎？為什么？（ 1） xy0 ;1（ 2） x 2y20 ;-101x學習必備歡迎下載（ 3） |x|-y=0.上題供學生思考，口答方程(1) 、 (2)、 (3)都不是表示曲線 C的方程第（ 1）題中曲線 C上的點不全都是方程xy0 的解，如點 (-1,-1)等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結論；第 (2) 題中，盡管“曲線 C上的坐標都是方程的解”，但以方程 x 2y 20的解為坐標的點不全在曲線 C上，如點 (2 ，-2) 等，即不符合“以方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結論；第 (3)

7、 題中，類似 (1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”，“以方程的解為坐標的點都在曲線上”事實上， (1)(2)(3) 中各方程表示的曲線應該是下圖的三種情況：yyy111-101x-1 01x1x-1 0(1)x-y=0(2)x 2 -y2=0(3)|x|-y=0上面我們既觀察、 分析了完整地用方程表示曲線， 用曲線表示方程的例子，又觀察、分析了以上問題中所出現的方程和曲線間所建立的不完整的對應關系2討論歸納，得出定義討論題：在下定義時，針對（1）xy0 中“曲線上有的點的坐標不是方程的解”以及（2） x 2y 20 中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程應

8、作何規(guī)定？王新敞學生口答，老師順其自然地給出定義這樣，我們可以對“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C 上的點與一個二元方程 f (x, y)0 的實數解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）王新敞(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）王新敞那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線王新敞王新敞設計意圖：上述概念是本課的重點和難點，讓學生自己通過討論歸納出來，老師再說學習必備歡迎下載清楚這兩大性質 ( 純粹性和完備性 ) 的含義，使學生初步理解這個概念王新敞3變換表達，強化理解曲線可以看作是由點組成的集合，

9、記作C；一個關于 x,y 的二元方程的解可以作為點的坐標，因而二元方程的解也描述了一個點集，記作F 王新敞請大家思考： 如何用集合 C 和點集 F 間的關系來表達 “曲線的方程” 和“方程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述以上定義王新敞關系 (1) 指集合 C 是點集 F 的子集，關系(2) 指點集 F 是點集合 C的子集這樣根據集合的性質，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程的曲線”，(1)CF即：CF王新敞(2)FC設計意圖：通過集合的表述，使學生對曲線和方程的關系的理解得到加深和強化，在記憶中上也趨于簡化三、講解范例：例 1 解答下列問題， 且說出各依據了曲線的方程和方程

10、的曲線定義中的哪一個關系？(1)點 M1(3,4),M 2( 25,2) 是否在方程為x 2y225 的圓上？(2)已知方程為 x2y 225 的圓過點 M 3(7 , m) ，求 m的值學生練習，口答；教師糾錯、小結王新敞依據關系 (1)，可知點 M 1 在圓上， M 2 不在圓上依據關系 (2)，求得 m32王新敞例 2證明以坐標原點為圓心，半徑等于5 的圓的方程是 x 2y225 由學生自己閱讀課本解答，教師適時插話，強調證明要緊扣定義，分兩步進行給出推論，升華定義：(1)兩曲線 C1 : f1 ( x, y)0,C 2 : f2 ( x, y)0 的交點的坐標必為方程組f 1 ( x,

11、 y)0的實根 王新敞f 2 ( x, y)0學習必備歡迎下載（ 2）兩曲線 C1 : yf (x), C2 : y(x) 的交點的橫坐標必為方程f ( x)( x) 的實根王新敞四、課堂練習 ：1如果曲線C上的點滿足方程（ ,y)=0 ，則以下說法正確的是（）F xA. 曲線 C的方程是 F( x, y)=0B. 方程 F( x, y)=0的曲線是 CC. 坐標滿足方程F( x, y)=0 的點在曲線 C上D. 坐標不滿足方程F（ x, y)=0的點不在曲線C上分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：（ 1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；（ 2）

12、以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線王新敞解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選 D王新敞2. 判斷下列結論的正誤，并說明理由.（ 1）過點 A（ 3， 0）且垂直于 x 軸的直線的方程為x=0;(2)到 x 軸距離為 2 的點的直線方程為y=-2;(3) 到兩坐標軸的距離乘積等于1 的點的軌跡方程為xy=1;(4) ABC的頂點 A（ 0， -3 ）， B（1， 0），C（ -1 ， 0）， D 為 BC中點，則中線 AD的方程為 x=0 王新敞分析：判斷所給問題的正誤，主要依據是曲線的

13、方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點的純粹性和完備性.解：（1）滿足曲線方程的定義. 結論正確 王新敞（ 2）因到 x 軸距離為2 的點的直線方程還有一個；y=2，即不具備完備性.結論錯誤 .（ 3）到兩坐標軸的距離的乘積等于1 的點的軌跡方程應為 x· y =1,即 xy=± 1.所給問題不具備完備性王新敞結論錯誤 王新敞（ 4）中線 AD是一條線段，而不是直線， x=0(-3 y0),所給問題不具備純粹性 .結論錯誤 .3. 方程（ 3x-4 y-12) · l og2( x+2y)-3=0 的曲線經過點A（ 0， -3 ）、 B（ 0，4）、 C（ 5,

14、7）、 D（ 4，0）中的（）34A.0 個B.1個C.2個D.3個學習必備歡迎下載分析：方程表示的兩條直線 3x-4 y-12=0 和 x+2y-9=0 ，但應注意對數的真數大于 0， x+2y 0 王新敞解：由對數的真數大于0，得 x+2y 0. A(0,-3) 、 C( 5 , 7 ) 不合要求 王新敞3 4將 B（0， 4）代入方程檢驗，不合要求 . 將 D（4， 0）代入方程檢驗，合乎要求 .故選 B.4. 已知點 A（ -3 ， 0）， B（ 0，5 ），C（4，-35 ）， D（3sec , 5 tan3 ), 其中在曲線 5x 29y 245 上的點的個數為（）A.1B.2C.

15、3D.4分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上.解：將點 A（ -3 ，0）、 B（ 0，5 ）、 C（ 4，-35 ）、D（ 3sec ,5 tan3 ) 代入方程 5x 29 y245 5x29 y 245 檢驗，只有點 A 和點 B 滿足方程 .故選 .B5. 如果兩條曲線的方程F ( x, y)=0 和 F ( x, y)=0 ，它們的交點 M（ x , y ) ，求1200證：方程 F1( x, y)+ F2( x, y)=0表示的曲線也經過M點 . （ 為任意常數）分析：只要將點的坐標代入方程

16、.MF ( x, y)+ F ( x, y)=0 ，看點 M的坐標是否滿足方程即可12王新敞證明： (,y) 是曲線F(,y)=0 和(,y)=0 的交點，M x00xFx12 F1（x0, y0)=0, F2( x0, y0)=0. F1( x0, y0 )+ F2( x0, y0)=0( R) M( x0, y0) 在方程 F1( x, y)+ F2( x, y)=0 所表示的曲線上 .評述：方程 F1( x, y)+ F2( x, y)=0 也稱為過曲線 F1( x, y)=0 和 F2( x, y)=0 的交點的曲線系方程 王新敞五、小結 ： “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義在領會定義時，要牢記關系 (1) 、 (2) 兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性只有符合關系 (1) 、 (2) ，才能將曲線的研究轉化為方程來研究，即幾何問題的研學習必備歡迎下載究轉化為代數問題這種“以數論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法王新敞六、課后作業(yè)：1點 A(1， -2) 、B(2 ， -3) 、 C(3 ， 10) 是否在方程x2xy2y10 的圖形上？ 王新敞2 (1) 在什么情況下，方程yax2bxc 的曲線經過原點？(2) 在什么情況下，