高中物理奧林匹克競賽解題方法遞推法

1、高中奧林匹克物理競賽解題方法六六、遞推法方法簡介遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況.即當(dāng)問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時，應(yīng)根據(jù)題目特點應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問題歸類，然后求出通式.具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論.再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解 . 用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式 .塞題精析例 1質(zhì)點以加速度a 從靜止出發(fā)做直線運動，在某時刻t ，加速度變?yōu)?a；在時刻 2t ，加速度變?yōu)?a；在nt 時刻，加速度變?yōu)椋╪+1） a，求：（ 1） nt 時刻質(zhì)點的速度；（ 2） nt 時間內(nèi)通過的總路程

2、.解析根據(jù)遞推法的思想，從特殊到一般找到規(guī)律，然后求解.（ 1）物質(zhì)在某時刻t 末的速度為vtat2t 末的速度為 v2 tvt2at, 所以 v2tat2at3t 末的速度為 v2 tv2t3atat2at3at則 nt 末的速度為 vntv( n 1)tnatat2at3at(n1)atnatat (123n)at1 (n 1)n 1 n(n 1) at22（ 2）同理：可推得nt 內(nèi)通過的總路程s1 n(n 1)( 2n 1)at 2 .12例 2小球從高 h0180m 處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小 1 (n2) ，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時間為通過的總路程

3、. （ g 取 10m/s2 ）n解析小球從 h0 高處落地時，速率v02gh060m / s1第一次跳起時和又落地時的速率v1v0 / 2第二次跳起時和又落地時的速率v2v0 / 2 2第 m次跳起時和又落地時的速率vmv0 / 2m每次跳起的高度依次v12h0v22h0h12gn 2 ,h22g n4 ，通過的總路程sh02h12h22hmh02h0(11112 )n22n4n2 mnh02h0h0n215h0300mn 21n213經(jīng)過的總時間為tt 0t1t2t mv02v12vmgggv012121)mgn(nv0(n1gn)13v018sg例 3 A 、 B、 C 三只獵犬站立的位

4、置構(gòu)成一個邊長為a 的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A 犬想追捕 B 犬， B犬想追捕 C犬， C 犬想追捕 A 犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析 由題意可知，由題意可知，三只獵犬都做等速率曲線運動，而且任一時刻三只獵犬的位置都分別在一個正三角形的三個頂點上，但這正三角形的邊長不斷減小，如圖6 1所示 . 所以要想求出捕捉的時間，則需用微元法將等速率曲線運動變成等速率直線運動，再用遞推法求解 .設(shè)經(jīng)時間 t 可捕捉獵物， 再把 t分為 n 個微小時間間隔t ，在每一個 t 內(nèi)每只獵犬的2運動可視為直線運動，每隔t

5、，正三角形的邊長分別為a1、 2、 3、n ，顯然當(dāng)an 0a aa時三只獵犬相遇 .a1aAA1BB1 cos60a3 v t,2a2a13ta23t,vv22a3a23ta33t,vv22ana3tnv2因為 a3vt 0,n22a即 ntt所以 t3v此題還可用對稱法，在非慣性參考系中求解.例 4一列進站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30 節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動能都增加，若利用倒退起動， 則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車

6、廂起動的動能則不同 .原來掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在s 的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F，則有：車頭起動時，有拉第一節(jié)車廂時：( Fmg) s1 mv122(mm)v1mv1故有 v121 v121 ( Fg) s42m(F2 mg)s12mv22 12mv1222拉第二節(jié)車廂時：(m2m)v22mv2故同樣可得： v224 v222 ( F5g)s93 m3推理可得vn2nn( F2n1g )s1 m33由 vn20可得 :F2n 1 mg3另由題意知 F31 mg, 得n46因此該車頭倒退起動時，能起動45 節(jié)相同質(zhì)量的車廂 .例 5有n塊質(zhì)量均為，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面

7、上，現(xiàn)將它們一塊一m塊地疊放起來，如圖62 所示，人至少做多少功？解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算.將第 2 塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為W2 mgd將第 3、 4、 n 塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功分別為W3mg2dW4mg3dW5mg 4dWnmg(n1)d所以將 n 塊磚疊放起來，至少做的總功為= 1+ 2+ 3+nWWWWWmgdmg 2dmg3dmg(n 1)dmgd n(n1)2例 6如圖 6 3 所示，有六個完全相同的長條薄片AiBi (i 1、2、 6）依次架在水平碗口上，一端擱

8、在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質(zhì)量）. 將質(zhì)量為 m的質(zhì)點置于 A1A6的中點處，試求：A1B1 薄片對 A6B6 的壓力 .解析本題共有六個物體，通過觀察會發(fā)現(xiàn)，AB、AB、1122A5B5 的受力情況完全相同，因此將A1B1、 A2B2、 A5B5 作為一類，對其中一個進行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第 i個薄片 AB 為研究對象，受力情況如圖63 甲所示，第 i個薄片受到前一個薄片向上的支持力Ni 、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力 Ni +1.選碗邊 B 點為軸，根據(jù)力矩平衡有Ni LNiLNi11,得N i22所以 N1 1N21 1N3(1)5

9、N622224再以 A6B6 為研究對象，受力情況如圖6 3 乙所示， A6B6 受到薄片A5B5 向上的支持力N6 、碗向上的支持力和后一個薄片A1B1 向下的壓力N1、質(zhì)點向下的壓力mg. 選 B6 點為軸，根據(jù)力矩平衡有N 1Lmg3 L N 6 L24由、聯(lián)立，解得N1mg42所以， A1B1 薄片對 A6B6 的壓力為mg .42例 7用 20 塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為L，橫截面是邊長為 h(hL / 4) 的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬） ，計算跨度與橋孔高度的比值 .解析為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩

10、側(cè)應(yīng)有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值.將從上到下的積木塊依次計為1、 2、 n，顯然第 1 塊相對第 2 塊的最大伸出量為Lx12第 2 塊相對第3 塊的最大伸出量為x2（如圖64 所示），則Gx2( Lx2 ) G2x2LL422同理可得第3 塊的最大伸出量x3L32最后歸納得出xnL2n所以總跨度 k9xn11.32h2n 1跨度與橋孔高的比值為k11.32h1.258H 9h例 8 如圖 6 5 所示， 一排人站在沿 x 軸的水平軌道旁，

11、 原點 O兩側(cè)的人的序號都記為n(n1,2,3 ） . 每人只有一個沙袋，x0一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量為m=14kg， x0 一側(cè)的5每個沙袋質(zhì)量m 10kg. 一質(zhì)量為=48kg的小車以某初速度v0 從原點出發(fā)向正x軸方向M滑行 . 不計軌道阻力 .當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v 朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n 倍 . （n 是此人的序號數(shù)）（ 1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？（ 2）車上最終有大小沙袋共多少個？解析 當(dāng)人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時，由動量守恒定律知，車速要減小，可見，當(dāng)人不

12、斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時刻使車速反向或減小到零，如車能反向運動，則另一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔 .小車以初速v0 沿正 x軸方向運動，經(jīng)過第1 個（ n=1）人的身旁時，此人將沙袋以u2nv02v0 的水平速度扔到車上，由動量守恒得Mv0m 2v0(M m)v1 , 當(dāng)小車運動到第2 人身旁時，此人將沙袋以速度u2nv14v1 的水平速度扔到車上，同理有(Mm)v1m 2nv1(M2m)v2 ，所以，當(dāng)?shù)趎 個沙袋拋上車后的車速為vn ，根據(jù)動量守恒有 M(n1) mvn 12n mvn 1(Mnm)vn ,即 vnM(n 1)m vn 1

13、 .Mnm同理有 vn 1M(n2)mvn ，若拋上（ n+1）包沙袋后車反向運動，則應(yīng)有 vn0, vn 1 0.M( n1)m即 M (n 1)m 0, M ( n 2) m 0.由此兩式解得：n38 ,n20 , n 為整數(shù)取 3.1414n 個人身旁，拋上第 n 包沙當(dāng)車反向滑行時，根據(jù)上面同樣推理可知，當(dāng)向左運動到第袋后由動量守恒定律有： M3m(n1)m vn 12m nvn1 ( M3mnm )vn解得： vnM3m( n1)m vn1 同理 vn1M3m( n2) m vnM3mnmM3m( n1)m設(shè)拋上 n+1 個沙袋后車速反向，要求vn0,vn 10即M3m(n1) m0

14、 解得 n7即拋上第8 個M3m(n2)m0n8沙袋后車就停止，所以車上最終有11 個沙袋 .6例 9如圖 6 6 所示，一固定的斜面，傾角45 ，斜面長 L=2.00米 .在斜面下端有一與斜面垂直的擋板.一質(zhì)量為 m的質(zhì)點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零. 下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞. 已知質(zhì)點與斜面間的動摩擦因數(shù)0.20 ，試求此質(zhì)點從開始到發(fā)生第 11 次碰撞的過程中運動的總路程 .解析因為質(zhì)點每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質(zhì)點從開始到發(fā)生n 次碰撞的過程中運動的總路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.設(shè)每次開始下滑時，小球距檔板為s則由功能關(guān)系：

15、mg cos (s1s2 )mg( s1s2 ) sinmg cos (s2s3 )mg(s2s3 ) sin即有s2s3sincos2s1s2sincos3由此可見每次碰撞后通過的路程是一等比數(shù)列，其公比為2 .3在發(fā)生第 11 次碰撞過程中的路程s s12s22s32s11s11(2)11 2(s1s2s3s11) s1 23s12131012( 2)11 (m)9.86(m)3例 10如圖 6 7 所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1、m2和 m3，m2=m3=2m1. 小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計 . 開

16、始時，三球處在槽中、的位置，彼此間距離相等，m 和 m 靜止， m 以初速 v0R / 2 沿槽運動， R 為圓環(huán)的內(nèi)半徑和231小球半徑之和，設(shè)各球之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統(tǒng)的運動周期T.解析當(dāng) m1與 m2 發(fā)生彈性碰撞時， 由于 m2=2m1，所以 m1 碰后彈回， m2 向前與 m3 發(fā)生碰撞 .而又由于2 = 3，所以2 與3碰后，3 能靜止在1 的位置，1 又以v速度被反彈，可見碰撞m mmmmmm又重復(fù)一次 .當(dāng) m1 回到初始位置，則系統(tǒng)為一個周期.以 m1、m2 為研究對象，當(dāng) m1 與 m2 發(fā)生彈性碰撞后，根據(jù)動量守恒定律，能量守恒定律可寫出：7m1v0m1v1m2

17、v21 m1v021 m1 v121 m2 v22222由、式得：v1(m1m2 )v01v22m1v02m1m2v0m1v03m23以 m2、 m3 為研究對象，當(dāng)m2 與 m3 發(fā)生彈性碰撞后，得v32v0v203以3、1為研究對象，當(dāng)3與1 發(fā)生彈性碰撞后，得v30v1v0m mmm由此可見， 當(dāng) m1 運動到 m2 處時與開始所處的狀態(tài)相似. 所以碰撞使 m1、m2、m3 交換位置，當(dāng) m 再次回到原來位置時，所用的時間恰好就是系統(tǒng)的一個周期T，由此可得周期1T 3(t1t 2t 3 )3( 2 R2 R2R )10 R10 R20(s).3v0v03v0v0R2例 11有許多質(zhì)量為

18、m的木塊相互靠著沿一直線排列于光滑的水平面上.每相鄰的兩個木塊均用長為L 的柔繩連接著 .現(xiàn)用大小為 F 的恒力沿排列方向拉第一個木塊，以后各木塊依次被牽而運動，求第n 個木塊被牽動時的速度 .解析每一個木塊被拉動起來后，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運動一段距離 L 后，把繩拉緊，再牽動下一個木塊.在繩子繃緊時，有部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.因此，如果列出 ( n1) FL1 nmvn2這樣的關(guān)系式是錯誤的 .2設(shè)第 (n1) 個木塊剛被拉動時的速度為vn 1 ，它即將拉動下一個木塊時速度增至vn 1 ，第 n 個木塊剛被拉動時速度為vn .對第 (n1) 個木塊開始運動到它把下一段繩子即將

19、拉緊這一過程，由動能定理有：FL1 ( n 1) mvn21 1 (n 1)mvn2 122對繩子把第 n 個木塊拉動這一短暫過程，由動量守恒定律，有(n1) mvn 1nmvn 得： vn 1nvnn1把式代入式得：1n212FL2(n1) m( n1vn )2(n 1)mvn1整理后得： (n1) 2FLn2 vn2(n1) 2 vn21m式就是反映相鄰兩木塊被拉動時速度關(guān)系的遞推式，由式可知當(dāng) n=2 時有： 2FL22 v22v12m8當(dāng) n=3 時有： 22FL32 v322 2 v22m當(dāng) n=4 時有： 32FL42 v4232 v32m一般地有 (n1) 2FLn 2vn2(n

20、 1) 2 vn21mn 1) 2FL將以上 (n1) 個等式相加，得：(12 3n2 vn2v12m所以有 n(n1)2FLn2 vn2v122m在本題中 v1 0 ，所以 vnFL(n1)nm.例 12 如圖 6 8 所示，質(zhì)量 m=2kg 的平板小車，后端放有質(zhì)量 M=3kg 的鐵塊，它和車之間動摩擦因數(shù)0.50. 開始時，車和鐵塊共同以v03m / s 的速度向右在光滑水平面上前進，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過的總路程.解析小車與墻撞后，應(yīng)以原速率彈回.鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來方向運動，由于鐵塊和車的相互摩擦力作用

21、，過一段時間后， 它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動，然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復(fù)第一次碰后的情況.以后車與墻就這樣一次次碰撞下去 .車每與墻碰一次，鐵塊就相對于車向前滑動一段距離，系統(tǒng)就有一部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和.設(shè)每次與墻碰后的速度分別為v1、v2、v3、 vn、車每次與墻碰后向左運動的最遠距離分別為s1、s2、s3、 sn 、 .以鐵塊運動方向為正方向，在車與墻第( n1) 次碰后到發(fā)生第 n 次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有( M m)vn 1 ( M m)vn所以vnM mvn 1

22、vn 1M m5由這一關(guān)系可得：v2v1 , v3v1,552一般地，有 vnv1,5n 1由運動學(xué)公式可求出車與墻發(fā)生第n 次碰撞后向左運動的最遠距離為9snv12v1212a2a52n2類似地，由這一關(guān)系可遞推到：s1v12v121, s3v121, snv121, s2242 n 22a2a52a52a5所以車運動的總路程s總 2(s1s2s3sn)2v12(1111)2a525452n2v121v1225a11a2452因此 v1v03m / saMg15 m / s25 (m)m2所以 s總4例1310個相同的扁長木塊一個緊挨一個地放在水平地面上，如圖6 9 所示，每個木塊的質(zhì)量m0

23、.40kg, 長度l 0.45m ，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為2 0.10.原來木塊處于靜止?fàn)顟B(tài) . 左方第一個木塊的左端上方放一個質(zhì)量為 M=1.0kg 的小鉛塊，它與木塊間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為10.20.現(xiàn)突然給鉛塊一向右的初速度v04.3m / s ，使其在大木塊上滑行 .試確定鉛塊最后的位置在何處（落在地上還是停在哪塊木塊上）.重力加速度g 取 10( m/ s) 2 ，設(shè)鉛塊的長度與木塊相比可以忽略.解析 當(dāng)鉛塊向右運動時，鉛塊與10個相同的扁長木塊中的第一塊先發(fā)生摩擦力，若此摩擦力大于10 個扁長木塊與地面間的最大靜摩擦力，則10 個扁長木塊開始運動，若此摩擦

24、力小于 10 個扁長木塊與地面間的最大摩擦力，則10 個扁長木塊先靜止不動，隨著鉛塊的運動，總有一個時刻扁長木塊要運動，直到鉛塊與扁長木塊相對靜止，后又一起勻減速運動到停止 .鉛塊 M在木塊上滑行所受到的滑動摩擦力f 11 Mg2.0N設(shè) M可以帶動木塊的數(shù)目為n，則 n 滿足：f12(Mm g(n1)2 mg0)即 2.01.40.4(n1)010上式中的 n 只能取整數(shù)，所以 n 只能取 2，也就是當(dāng) M滑行到倒數(shù)第二個木塊時，剩下的兩個木塊將開始運動 . 設(shè)鉛塊剛離開第 8 個木塊時速度為 v，則1Mv 21Mv 021 Mg8l22得：22.49(/ )20vm s由此可見木塊還可以滑

25、到第9個木塊上 .M 在第 9個木塊上運動如圖69 甲所示，則對M而言有：1MgMaM得： aM2.0m / s2第 9 及第 10 個木塊的動力學(xué)方程為：1Mg2 (M m) g 2 mg2mam ，得： am0.25m /s2 .設(shè) M剛離開第 9 個木塊上時速度為 v ，而第 10 個木塊運動的速度為 V，并設(shè)木塊運動的距離為 s，則 M運動的距離為s l ，有：vV2v 22aM ( sl )22am sv v aM tV amt消去 s 及 t求出：v0.611m / s 或 v0.26m/ s ，顯然后一解不合理應(yīng)舍去 .V0.212m/ s V0.23m / s因 vV ，故 M

26、將運動到第10 個木塊上 .v ，這時木塊的速度為 V ，則：再設(shè) M運動到第 10 個木塊的邊緣時速度為v 2v 22aM (sl )解得： v 21.634s0 ，故 M不能滑離第 10 個木塊，只能停在它的表面上，最后和木塊一起靜止在地面上.例 14 如圖 6 10 所示，質(zhì)量為 m的長方形箱子，放在光滑的水平地面上 . 箱內(nèi)有一質(zhì)量也為 m的小滑塊，滑塊與箱底間無摩擦 . 開始時箱子靜止不動，滑塊以恒定的速度v0 從箱子的 A 壁處向B 處運動，后與 B 壁碰撞 . 假設(shè)滑塊與箱壁每碰撞一次，兩者相對速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬λ俣鹊膃倍， e41.211（ 1）要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)

27、消耗的總動能不超過其初始動能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（ 2）從滑塊開始運動到剛完成上述次數(shù)的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？解析由于滑塊與箱子在水平方向不受外力，故碰撞時系統(tǒng)水平方向動量守恒.根據(jù)題目給出的每次碰撞前后相對速度之比，可求出每一次碰撞過程中動能的損耗. 滑塊開始運動到完成題目要求的碰撞期間箱子的平均速度，應(yīng)等于這期間運動的總位移與總時間的比值.（ 1）滑塊與箱壁碰撞，碰后滑塊對地速度為v，箱子對地速度為u.由于題中每次碰撞的 e 是一樣的，故有：eu1v1u2v2unvnv0u0v1u1vn 1u n 1或ev1u1v2u2vnunv00v1u1vn 1un 1(e)

28、nv1u1v2u2vnunv0v1u1vn 1un 1即碰撞 n 次后 vnun(e) n v0碰撞第 n 次的動量守恒式是mvnmunmv0、聯(lián)立得 vn1 1(e)n v0un1 1( e) n v022第 n 次碰撞后，系統(tǒng)損失的動能EknEkEkn1 mv021 m(vn2un2 )221 mv021 mv02 (1e2n )241e2n1mv02221e2nEk2下面分別討論：1 e211當(dāng) n1時,Ekl20.146Ek2212Ek2411n時,1e20.252Ek22e6111n3時,Ek 31220.323Ek22811n時,Ek41e40.3754Ek22Ek5e10111n5時,1420.412Ek22因為要求的動能損失不超過40%，故 n=4.（ 2）設(shè) A、B 兩側(cè)壁的距離為L，則滑塊從開始運動到與箱壁發(fā)生第一次碰撞的時間t0L在下一次發(fā)生碰撞的時間t1LL，共碰撞四