高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(證明兩直線垂直或平行)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（證明兩直線垂直）一、利用三角形中的基本定理（1）勾股定理的逆定理：在 ABC中，若 AB2AC2BC2 ，則 ABAC;(2)在 ABC中，D在邊 BC所在的直線上，若AB2AC2BD2CD2，則；（ ）在Rt中，ADBC 3ABC0，D是邊 BC上一點(diǎn)，若2，則。BAC=90ABBD BCADBC1已知 O和 O' 相交于點(diǎn) A、B 過點(diǎn) A 的直線分別交 O和 O' 于點(diǎn) P、Q，且 AP=AQ，又 M為 PB （不含點(diǎn) A 的）中點(diǎn)， N為 QB （不含點(diǎn) A 的）中點(diǎn)，求證： MN AB。2圓內(nèi)接四邊形 ABCD中，延長 AB、DC

2、交于點(diǎn) E，延長 AD、BC交于 F，EM、FN為圓的切線，分別以 E、 F 為圓心， EM、FN為半徑作弧，兩弧交于 K，求證： EK KF。3AB是 O的直徑， PA切 O于 A，PA=AB，D為 BP的三等分點(diǎn)（即2BD=DP），求證：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載ADPO。二、利用全等、相似或圓的性質(zhì)，直接計(jì)算4 ABC的內(nèi)心為 I ，內(nèi)切圓分別切BC、CA于點(diǎn) D、E，如果 BI 交 DE于點(diǎn) G，求證：AGBG。5已知兩個半徑不相等的 O1 和 O2 相交于 M、N 兩點(diǎn)，且 O1 和 O2 分別與 O 內(nèi)切于 S、T 兩點(diǎn)，又 S、N、T 三點(diǎn)共線，求證： OMMN。6半圓圓心為 O，直徑

3、為 AB，一直線交圓周于C、D，交 AB于 M（MB<MA,MC<MD）設(shè) K是 AOC與 DOB的外接圓除點(diǎn) O之外的另一點(diǎn)，求證：0MKO=90優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載三、利用另外的線作“橋”7已知 O和 O' 相交于 A、B 兩點(diǎn)， P為 O上的點(diǎn)， PA、PB分別交 O' 于 C、D，求證：POCD8已知 O和 O' 相交于 A、D兩點(diǎn)，過點(diǎn) D作直線 BC垂直于 AD，分別交 O、 O' 于 C、 B 兩點(diǎn)， K 是 BC中點(diǎn)，過點(diǎn) A 的任一直線 QP交 O、 O' 于 Q、P 兩點(diǎn)， M是 PQ的中點(diǎn)，求證： MKPQ。9AB是 O

4、非直徑的弦，過 AB中點(diǎn) P 作兩弦 A1 B1 , A2 B2 ，過點(diǎn) A1, B1 作 O的切線得交點(diǎn)C1，過點(diǎn) A2 , B2 作 O的切線得交點(diǎn) C2 ，求證： OP C1 C2 。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載四、利用垂心、等腰三角形或矩形、菱形等10M是等腰 ABC底邊 AC的中點(diǎn)， MHBC于 H，P 是 MH的中點(diǎn)，求證： AHBP11 ABC的外接圓為 O， C=600 ，N 是 AB 的中點(diǎn)， H是垂心，求證： CNOH。12圓內(nèi)接四邊形 ABCD的一組對邊 AD和 BC的延長線相交于點(diǎn) P，另一組對邊 AB、DC的延長線相交于點(diǎn) Q，P 和 Q的平分線相交于點(diǎn) R，對角線 AC與

5、BD相交于點(diǎn) K，DKC的平分線交 CP于 M，求證：（1）PRQR；（2） QRKM。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載13 O1 和 O2 相交于 P、 Q兩點(diǎn)， O1 的弦 PA與 O2 相切， O2 的弦 PB與 O1 相切，設(shè) PAB的外心為 O，證明： OQPQ。14證明：如果一個凸四邊形既有內(nèi)切圓，又有旁切圓，則這個四邊形的對角線相互垂直（這里四邊形的旁切圓是指與四邊形各邊的延長線相切的圓）五、利用同一法（利用這一點(diǎn)作已知直線的垂線是唯一的或某些幾何量是唯一的平面幾何的特性，用同一法來證明兩直線垂直）15AB是半圓 O的直徑，過 A、B 引弦 AC與 BD，設(shè) AC、BD相交于 E，又過 C、

6、D引圓的切線交于點(diǎn) P，連接 PE，證明： PEAB。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載16在矩形 ABCD中，AB=3AD，E、F 為 AB邊上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FB，AC與 DF交于點(diǎn) G，求證： EGDF。17以 ABC的邊為直徑作半圓，與 AB、AC分別交于 D和 E，過 D、E 作 BC的垂線，垂足分別為 F、G，線段 DG、EF交于點(diǎn) M，求證： AMBC。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載六、利用旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)變換中，利用對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的性質(zhì)證明兩直線垂直，即如果兩個全等或相似的三角形中，有一組對應(yīng)邊互相垂直，那么另外的對應(yīng)邊互相垂直，對應(yīng)線（如對應(yīng)角的角平分線，對應(yīng)邊上的中線或高線）亦互相垂

7、直）18在凸四邊形ABCD中， AC=BD=AB，且 ACBD，垂足為 E，設(shè) I 為 AEB的內(nèi)心， M為AB的中點(diǎn)，求證： MICD，且 CD=2MI。高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（證明兩直線平行）一、利用兩直線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)判定兩直線平行優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1等要 ABC（AC=BC），O是它的外心， I 是它的內(nèi)心，點(diǎn) D在 BC上，且 OD BI ，證明：IDAC。2設(shè) H 為 ABC的垂心， P 為該三角形外接圓上的點(diǎn)， E 是高 BH的垂足，并設(shè) PAQB與PARC都是平行四邊形， AQ與 HR交于 X，證明： EXAP。3菱形 ABCD的內(nèi)切圓 O與

8、各邊分別切于 E、F、G、H，在 EF ,GH 上分別作圓 O的切線，交 AB于 M，交 BC于 N，交 CD于 P，交 DA于 Q，求證： MQNP。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載二、利用平行線截線段成比例逆定理4在 ABC中， AM是 BC邊上的中線， AD是 BAC的平分線，作BGAD，分別交 AM和AD的延長線于 F、G，求證： FDAB。三、利用別的線作中介（ （1）平行于同一直線的兩直線平行； （2）垂直于同一直線的兩直線平行，（平面內(nèi)）5四邊形 ABCD對角線 AC的中點(diǎn)為 O，連接 OB、OD，過 O作 ACB， BOC， COD和 DOA的平分線分別交 AB、BC、 CD、DA于點(diǎn) E

9、、F、G、 H，求證： EF GH優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載6設(shè) A、B、C、D是同一圓上順次四點(diǎn)， L、M、N分別是 AB,BC ,CD 的中點(diǎn)，弦 AM與 CL 相交于 P，弦 BN與 DM相交于 Q，求證： PQ LN。四、利用平行四邊形等特殊圖形的性質(zhì)7在 ABC中， D、E、F 分別為 BC、CA、AB的中點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線分別交 DE及 FD的延長線于點(diǎn) G、H，求證： CGBH。五、利用面積法8若四邊形 ABCD一雙對邊 BC、AD中點(diǎn) M、N的直線將這四邊形面積二等分，則ADBC。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載9在 ABC中，M為 BC的中點(diǎn)， P、R分別在 AB、AC上，Q為 AM與 PR的交點(diǎn)，且 PQ=QR，求證： PRBC。六、利用同一法10在 ABC中， A=900 ，以 AB為直徑作圓， D在這圓上， CD是切線， E在線段 AB上，DE與 BC相交于 M，且 DM=ME，求證： DE AC。11已知 ABC的外接圓上三點(diǎn) P、Q、R分別是圓弧 BC、AC、AB的中點(diǎn)，弦 PR交 AB于D，弦 PQ交 AC于 E，求證： DEBC。優(yōu)秀學(xué)習(xí)