高中數(shù)學(xué)難點解析教案32極限及其運算

1、高中數(shù)學(xué)難點解析難點 32極限及其運算極限的概念及其滲透的思想，在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.舊教材中原有的數(shù)列極限一直是歷年高考中重點考查的內(nèi)容之一.本節(jié)內(nèi)容主要是指導(dǎo)考生深入地理解極限的概念，并在此基礎(chǔ)上能正確熟練地進行有關(guān)極限的運算問題.難點磁場( )求 lima n2n1.2nan1n案例探究例 1已知 lim( x2x 1 ax b)=0,確定 a 與 b 的值 .x命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運算法則中，都有應(yīng)遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統(tǒng)掌握能力.屬級題目 .知識依托： 解決本題的閃光點

2、是對式子進行有理化處理，這是求極限中帶無理號的式子常用的一種方法 .錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯.技巧與方法：有理化處理 .解： lim ( x2x1axb)( x2x1)(axb) 2limx2x1axbxx(1 a2 ) x2(12ab) x(1 b2 )limx2x1axbx2要使上式極限存在，則1 a =0,當 1a2 =0 時，1b 2上式(12ab) x(1b2 )lim(12ab)x 2(12ab)lim2x1axb11b1axxx1ax 2xx由已知得(12ab)01a1a 20a1(12ab)0解得b11a2例 2設(shè)數(shù)列a1 ,a2 ,an,的

3、前 n 項的和 Sn 和 an 的關(guān)系是Sn=1ban1n ,其中(1b)b 是與 n 無關(guān)的常數(shù)，且b 1.(1)求 an 和 an 1 的關(guān)系式；(2)寫出用 n 和 b 表示 an 的表達式；(3)當 0 b 1 時，求極限lim Sn.n命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前n 項和系.有時題目是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前n 項和題考查學(xué)生的綜合能力.屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系.錯解分析：本題難點是第(2) 中由 (1) 中的關(guān)系式猜想通項及n=1 與 n=2Sn 等有緊密的聯(lián) Sn 再求極限，本時的式子不統(tǒng)

4、一性.技巧與方法：抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋找規(guī)律.解： (1)an=Sn Sn1 = b(an an 1)11= b(an an 1)+b(n 2)(1b)n(1b) n1b)n(1解得 an=ban1b(n2)1(1b) n 1b( 2) a1S1 1 ba11, a1b1 b(1b)2an1b b an 2(1b(11( b ) 2 an 2b2bb1bb) nb) n11b(1b) n 1(b)2ban3bbb2b1(1b) n 1(1b) n 11b(b)2 an3bb2b3,b(1b)n11由此猜想 an(b)n 1a1b b2b3b n 1b(1b) n 11把 a1b代入上式

5、得(1b)2b2bnbbn11 ( b1)anbb) n1(1b)(1b) n(1n(b1)2n1(3)Sn1ban11bbbn11(1b) n(1 b)(1b) n1(1b)n11b(bbn 1 )1)n1(b1),(1b)n1b(1b0b1時,lim b n0, lim (1) n0,lim Sn1.nn1bn錦囊妙計1.學(xué)好數(shù)列的極限的關(guān)鍵是真正從數(shù)列的項的變化趨勢理解數(shù)列極限.學(xué)好函數(shù)的極限的關(guān)鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點的變化趨勢理解函數(shù)極限.2.運算法則中各個極限都應(yīng)存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接

6、求極限.3.注意在平時學(xué)習(xí)中積累一些方法和技巧，如：lim( 1) n0, lim an0(| a | 1)nnna0當l時b0, ka0 x ka1x k 1aklim當kl時b0 xlb1 xl 1b10,n不存在 當kl時,殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題n是(1+ x)n 展開式中含x2 的項的系數(shù)，則lim(111 )等于 ()1.( ) aa1a2annA.2B.0C.1D. 12.( )若三數(shù) a,1,c 成等差數(shù)列且22ac n的值是a ,1,c 又成等比數(shù)列，則 lim (2c2 )na()A.0B.1C.0或 1D.不存在二、填空題3.( )lim (xxxx )=_.n4.( )若

7、 lim (a2n2n1nb) =1,則 ab 的值是 _.n三、解答題5.( )在數(shù)列 an 中，已知 a1=3,a2=31,且數(shù)列 an+1 1an 是公比為1 的等5100102比數(shù)列，數(shù)列 lg( an+1 1an 是公差為 1 的等差數(shù)列 .2(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)Sn =a1 +a2+ +an( n 1),求 lim Sn.nf ( x)limf ( x)=1, 試求 limf ( x )6.( )設(shè) f(x)是 x 的三次多項式， 已知 lim2ax3an2a xn4a x 4an的值 .(a 為非零常數(shù) ).7.( )已知數(shù)列 an, bn 都是由正數(shù)組成的等比

8、數(shù)列，公式分別為p、 q,其中 pq,且 p 1,q 1,設(shè) cn=an+bn,Sn 為數(shù)列 cn 的前 n 項和，求 limSn的值 .nSn 18.( )已知數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列， d 0且 a1=0,bn=2 an( nN * ),Sn 是 bn 的前 n 項和， Tn=Sn*(nN ).bn(1)求 Tn 的通項公式；(2)當 d 0 時，求 lim Tn.n參考答案難點磁場12n 1解:當a或時an2n1lim1a( a)2a2, lim2na n12nn(na)aan1當2a2時, liman2n 1lim(2)21;2nan 1an4nn2a()21;a當時, l

9、ima n2 n 1a 22nan 1n當時an2n 1a2,2na n 12 n2n 12n 12 n2n13 2n2n2n13 2n 12n2n12n殲滅難點訓(xùn)練一、 1.解析： anCn2lim3 2n 11 ;n6 2n 12( 2)n2n12n(2) n11 (n為奇數(shù) )63 ( n為偶數(shù) )2n( n 1),12(11) ，2ann1nlim ( 111 )lim 2(11 )2na1a2annn答案： Aac2ac2ac22.解析：2 c 21, 得2c22或2c 26aaa答案： C二、 3.解析： lim (xx xx )xxlimxxxx11limx1 .x112113x

10、x 2答案： 1x xx x24.解析：原式 = lima2 ( 2n 2n 1) n2b2lim(2a 2b 2 ) n2a2n a2221na2nn 1 nbna2nn1nb2a 2b20a222b1b4 a· b=8 2答案：8 2三、 5.解： (1)由 an+11 an 是公比為1 的等比數(shù)列，且a1= 3 ,a2=31 ,1025100 an+11an=(a211)n-13131 1)n-1=1 1n 1110a1)(=(5×10)()2n 1 ,1021002421 an+1= 1 an+102n 1又由數(shù)列 lg( an+1 1an) 是公差為 1 的等差數(shù)

11、列，且首項lg( a2 1a1)22=lg(31 1 × 3 )= 2,10025其通項 lg( an+1 1an)= 2+( n 1)( 1)= (n+1),2 a 1 (n+1)1 (n+1)n+1an =10,即 an+1= an+1022聯(lián)立解得 an=5(1)n+1 (1)n +12210n(2)Sn =k 1lim Snnak5 25 n2 k 1(1)2 21 12( 1 )k 1n1 ) k 1 (2k 110(1) 2116191106.解：由于 limf ( x)=1，可知， f(2a)=0x 2 a x 2a同理 f(4a)=0由可知 f( x)必含有 (x2a

12、)與 (x4a)的因式，由于 f(x)是 x 的三次多項式，故可設(shè)f(x)= A(x 2a)(x 4a)(x C),這里 A、C 均為待定的常數(shù)，f ( x)A( x2a )( x4a )( xC)A( x 4a)( x C )1,由 lim1,即 limx2alimx 2a x 2ax2ax 2 a得 A( 2a 4a)( 2a C)1,即24a A 2aCA= 1同理，由于 limf ( x)=1, 得 A(4a2a)(4a C)=1,即 8a2A 2aCA=1x 4a x4a由得 C=3a,A=12 ,因而 f(x)=12 (x 2a)(x 4a)(x 3a),2a2alimf ( x)

13、lim12(x 2a)( xx 3a x3ax 3 a 2a4a)1a ( a)12a227.解 : SnSnSn 1a1 (1a1 (1a (1p n )b (1qn )111p1qa(1p n )b (1q n )111p1qa1(1 pn 1 ) b (1 q n 1 )11p1qq)b1 (1p)a1 (1q) p nq)b (1p)a (1q) p n 111b1(1p)q nb (1p)q n11由數(shù)列 an 、 bn 都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p 0,q 0a (1q)b (1 p)a (1q) pnb (1 p)q1111當p時Snlimpn1limSn 1b1 (1 p)qnna1 (1 q) b1 (1 p) a1 (1 q) p n 1pna1(1q)b1(1p)a1 (1q)b1 (1q)npnp)(limpa1 (1 q)b1 (1p)1p)( q ) n 1 1na(1q)b (1p n11p1ppnn 10a1 (1q)0q) 1p.0a1 (10p當 p1 時 ,q 1,lim pnlim p n 1lim qnlim q n 10nnnnlimSn1Sn 1n8.解： (1)an=(n 1)d,b