高中數學會考知識點總結(超級經典)

1、數學學業(yè)水平復習知識點第一章集合與簡易邏輯1、 集合（ 1）、定義：某些指定的對象集在一起叫集合；集合中的每個對象叫集合的元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無序性；表示一個集合要用 。（ 2）、集合的表示法：列舉法（）、描述法（） 、圖示法（）；（ 3）、集合的分類：有限集、無限集和空集（記作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（ 4）、元素 a 和集合 A 之間的關系： aA，或 a A；（ 5）、常用數集：自然數集： N ；正整數集： N ；整數集： Z ；整數： Z ；有理數集： Q；實數集： R。2、子集（ 1）、定義： A 中的任何元素都屬于B，則 A叫B的子集；記作：

2、 AB，注意： A B 時， A 有兩種情況： A 與 A （ 2）、性質：、AA,A ；、若 AB, BC，則AC ；、若 AB,B A則A=B ；3、真子集（ 1）、定義： A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一個元素不屬于A ；記作： AB ；（ 2）、性質：、 A,A ；、若 AB, BC，則AC ；4、補集CU AA、定義：記作：CU A x | x U ,且 x A ；、性質： ACUA， ACUAU， C（CUA） A；U5、交集與并集AB（ 1）、交集： AB x | xA且 xB性質：、 AAA, A、若 ABB，則 BA（ 2）、并集： AB x | xA或 xBAB性質

3、：、 AAA, AA、若 ABB，則 AB6、一元二次不等式的解法：（二次函數、二次方程、二次不等式三者之間的關系）1判別式： =b2-4ac000yyy二次函數f (x) ax 2bx c(a 0)Ox1x2xxx的圖象Ox1=x 2O一元二次方程有兩相異實數根有兩相等實數根沒有實數根ax 2bx c 0(a 0) 的根x1, x2 ( x1x2 )x1x2b2a一元二次不等式 x | x x1 , xx2 bR x | xax 22abx c 0( a0) 的解集“”取兩邊一元二次不等式 x | x1 xx2 ax 2bx c 0(a0) 的解集“”取中間不等式解集的邊界值是相應方程的解含

4、參數的不等式ax 2 b x c>0 恒成立問題含參不等式 ax 2 b x c>0 的解集是 R；其解答分 a 0(驗證 bxc>0 是否恒成立 )、 a 0（ a<0 且 <0）兩種情況。7、絕對值不等式的解法： （“”取兩邊， “”取中間）（ ）、當a0時， | x |a 的解集是 x | xa, xa ， | x |a 的解集是 x |axa1（ 2）、當 c0時， | axb | cax bc, axb c ， | axb |ccaxb c（ 3）、含兩個絕對值的不等式：零點分段討論法：例：| x 3 | 2x1 |28、簡易邏輯：（ 1）命題： 可以判

5、斷真假的語句；邏輯聯(lián)結詞 ：或、且、非；簡單命題 ：不含邏輯聯(lián)結詞的命題；復合命題 ：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題；三種形式 ： p 或 q、 p 且 q、非 p；原命題互逆逆命題判斷復合命題真假 ：若 p 則 q若 q 則 p1 、思路：、確定復合命題的結構，互否為逆、判斷構成復合命題的簡單命題的真假，互互為否逆否互、利用真值表判斷復合命題的真假；否2 、真值表： p 或 q，同假為假，否則為真；否命題逆否命題若q 則 pp 且 q，同真為真；非p，真假相反。若 p 則 q互逆（ 2）、四種命題：2原命題 ：若 p 則 q； 逆命題 ：若 q 則 p；否命題 ：若p 則q；逆否命題 ：若

6、q 則p；互為逆否的兩個命題是等價的。原命題與它的逆否命題是等價命題。（ 3）、反證法步驟 ：假設結論不成立推出矛盾否定假設。（ 4）、充分條件與必要條件 ：若 p q ，則 p 叫 q 的充分條件；若 p q ，則 p 叫 q 的必要條件；若 p q ，則 p 叫 q 的充要條件；第二章函數1、映射： 按照某種對應法則f ，集合 A 中的任何一個元素，在B 中都有唯一確定的元素和它對應，記作 f： A B，若 aA,bB ，且元素 a 和元素 b 對應，那么 b 叫 a 的象， a 叫 b 的原象。2、函數：（ 1）、定義：設 A， B 是非空數集，若按某種確定的對應關系f，對于集合 A 中

7、的任意一個數 x，集合 B 中都有唯一確定的數f（ x）和它對應， 就稱 f：A B 為集合 A 到集合 B 的一個函數， 記作 y=f（ x），（ 2）、函數的三要素：定義域，值域，對應法則；自變量x 的取值范圍叫函數的定義域，函數值f（ x）的范圍叫函數的值域，定義域和值域都要用集合或區(qū)間表示；（ 3）、函數的表示法常用：解析法，列表法，圖象法（畫圖象的三個步驟：列表、描點、連線）；（ 4）、區(qū)間：滿足不等式 ax b的實數 x 的集合叫閉區(qū)間，表示為：a ，b滿足不等式 axb 的實數 x 的集合叫開區(qū)間，表示為： （ a，b）滿足不等式 axb 或 ax b 的實數 x 的集合叫半開半

8、閉區(qū)間，分別表示為：a ， b）或（ a ， b ；（ 5）、求定義域的一般方法：、整式：全體實數，例一次函數、二次函數的定義域為R；、分式：分母0 ， 0 次冪：底數10 ，例： y2 | 3x |、偶次根式：被開方式0，例： y25 x2、對數：真數0 ，例： ylog a (11 )x（ 6）、求值域的一般方法：、圖象觀察法：y0.2|x|、單調函數：代入求值法：ylog 2 (3x 1), x 1,33、二次函數：配方法： yx24x, x 1,5) ， yx 22x 23x、“一次”分式：反函數法：y2x12sin x、“對稱”分式：分離常數法：y2sin x、換元法：yx12x（

9、7）、求 f（ x）的一般方法：、待定系數法：一次函數f（ x），且滿足 3 f (x1)2 f (x1)2x17 ，求 f（x）、配湊法：、換元法：f ( x1 )x21, 求 f（ x）xx2f ( x 1)x 2 x ，求 f（ x）、解方程（方程組） ：定義在（ -1 ， 0）（ 0， 1）的函數 f（ x）滿足 2 f (x)1f (x)，求 f（ x）x3、函數的單調性：（ 1）、定義：區(qū)間 D 上任意兩個值 x, x，若 xx時有 f (x)f ( x ) ，稱f ( x)為 D 上增函數；121212若 x1x2 時有 f ( x1 )f ( x2 ) ，稱 f ( x) 為

10、D 上減函數。（一致為增，不同為減）（ 2）、區(qū)間 D 叫函數f ( x) 的單調區(qū)間，單調區(qū)間定義域；（ 3）、判斷單調性的一般步驟：、設，、作差，、變形，、下結論（ 4）、復合函數 y f h( x) 的單調性：內外一致為增，內外不同為減；4、反函數 ：函數 yf(x) 的反函數為 yf 1 ( x) ；函數 yf (x) 和 yf1 ( x) 互為反函數；反函數的求法： 、由 yf ( x) ，解出 xf1 ( y) ，、 x, y 互換，寫成 yf1 ( x) ，、寫出 y f 1 ( x)的定義域（即原函數的值域） ；反函數的性質：函數yf ( x) 的定義域、值域分別是其反函數yf

11、1()x 的值域、定義域；函數 yf ( x) 的圖象和它的反函數y f1 (x) 的圖象關于直線yx 對稱；點（ a，b）關于直線 yx 的對稱點為（ b，a）；5、指數及其運算性質： （ 1）、如果一個數的n 次方根等于 a（ n1, nN *），那么這個數叫 a 的 n 次方根；n a 叫根式，當 n 為奇數時， n a na ；當 n 為偶數時， n an| a |a( a0)a(a0)mnmm1（ 2）、分數指數冪：正分數指數冪：a naa n；負分數指數冪：ma n0 的正分數指數冪等于1， 0 的負分數指數冪沒有意義（0 的負數指數冪沒有意義） ；41（ 3）、運算性質：當 a0

12、,b 0, r, sQ 時： a ra sa rs ,(a r ) sars , (ab) ra r b r ， r aa r ；6、對數及其運算性質：（ 1）、定義：如果 abN ( a0,a1)，數 b 叫以 a 為底 N 的對數，記作 log a Nb ，其中 a 叫底數， N 叫真數，以 10 為底叫常用對數：記為lgN，以 e=2.7182828為底叫自然對數：記為lnN（ 2）、性質： ：負數和零沒有對數，、1 的對數等于0： log a 10，、底的對數等于1： log a a1 ，、積的對數： log a ( MN )log a Mlog a N ，商的對數： log aMlo

13、g a Mlog aN ，N1 log a M ，冪的對數： log a M nn log aM ，方根的對數： log anMn7、指數函數和對數函數的圖象性質函數指數函數對數函數定義yax（a且）y log a x （ a 0且 a1）0 a1a>10<a<1a>10<a<1x圖象yy=ay=axyyy=log axy（非奇非偶）x11O1xO1y=log axOxOx定義域值域性 單調性函 數 值變化質圖 定 點圖象象特征圖象關系（ -， +）（-， +）（ 0， +）（ 0， +）（ 0， +）（0， +）（ -， +）（ -， +）在（ -， +）

14、在（ -， +）在（ 0， +）在（ 0，+）上是增函數上是減函數上是增函數上是減函數1, x01, x00, x10, x1ax1, x0a x1, x0log a x 0, x1log a x 0, x11, x01, x00,0x 10,0x 1a01,過定點（ 0， 1）log a 10, 過定點（， ）1 0a x0,圖象在 x 軸上方x 0,圖象在 y 軸右邊yax 的圖象與ylog a x 的圖象關于直線yx 對稱5第三章數列（一）、數列：（ 1）、定義： 按一定次序排列的一列數叫數列；每個數都叫數列的項；數列是特殊的函數：定義域：正整數集N （或它的有限子集1 ， 2，3， n

15、 ），值域：數列本身，對應法則：數列的通項公式；（ 2）、通項公式 ：數列 an 的第 n 項 an 與 n 之間的函數關系式；例：數列1，2， n 的通項公式 an = n1， -1， 1， -1，的通項公式an = (1)n10， 1， 0， 1，0，的通項公式 an1( 1)n；2（ 3）、遞推公式 ：已知數列 an 的第一項，且任一項an 與它的前一項an 1 （或前幾項）間的關系用一個公式表示，這個公式叫遞推公式；例：數列 an ： a11 ， an11，求數列 an 的各項。an1（ 4）、數列的前 n 項和： Sn a1 a2a3an ； 數列前 n 項和與通項的關系： a na

16、1S1 (n1)SnSn 1(n2)（二）、等差數列：（ 1）、定義 ：如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d 表示。（ 2）、通項公式 ： ana1(n1)d（其中首項是a1 ，公差是 d ；整理后是關于 n 的一次函數） ，（ 3）、前 n 項和： 1 Snn(a1an )2.Snna1n(n1) d （整理后是關于n 的沒有常數項的二次函數）22abab（ 4）、等差中項： 如果 a ， A ，b 成等差數列， 那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。 即： A或 2A2 說明 ：在一個等差

17、數列中，從第2 項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。（ 5）、等差數列的判定方法：、定義法：對于數列an，若 an1and (常數 )，則數列an是等差數列。、等差中項：對于數列an ，若 2an 1anan2 ，則數列an是等差數列。（ 6）、等差數列的性質：、等差數列任意兩項間的關系：如果an 是等差數列的第n 項， am 是等差數列的第 m 項，且 mn ，公差為 d ，則有 anam( nm) d、等差數列an，若 nmpq ，則 anama paq 。a1 an也就是： a1ana2 a n

18、1a3a n2，如圖所示： a1 , a2 ,a3 ,an 2 ,an 1, ana2 an16、若數列an 是等差數列， Sn 是其前 n 項的和， kN * ，那么 Sk ， S2 k Sk ， S3k S2k成等差數列。S3k如下圖所示： a1a2a3akak 1a2 ka2k1a3kSkS2 kSkS3kS2 k、設數列an 是等差數列，S奇 是奇數項的和，S偶 是偶數項項的和，Sn 是前 n 項的和，則有：前 n 項的和SnS奇S偶， 當 n 為偶數時，S偶S奇n d2，其中 d 為公差；當 n 為奇數時，則S奇S偶S奇n 1 a中S偶n 1 a中（其中 a中 是等差數列的中間一項）

19、 。a中 ，2，2、等差數列an的前2n1項的和為 S2 n1 ，等差數列bn的前2n1'S2n 1 。項的和為 S2 n 1 ，則 anbnS2'n 1（三）、等比數列：（ 1）、定義 ：如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比 ，公比通常用字母 q 表示（ q0 ）。（ 2）、通項公式：ana1 q n 1 （其中：首項是a1 ，公比是 q ）na1 ,( q1)（ 3）、前 n 項和 Sna1an qa1(1qn ),(q1)（推導方法：乘公比，錯位相減）1q1qa (1qn )a1an q說明

20、： Sn1(q1)Sn(q1)1q21q3 當 q 1時為常數列，Snna1 ，非 0 的常數列既是等差數列，也是等比數列（ 4）、等比中項：如果在 a 與 b 之間插入一個數G ，使 a ， G ， b 成等比數列，那么G 叫做 a 與 b 的等比中項 。也就是，如果是的等比中項，那么Gb ，即 G 2ab （或 Gab ，等比中項有兩個）aG（ 5）、等比數列的判定方法：、定義法：對于數列an，若an1q(q0)，則數列an是等比數列。an、等比中項：對于數列an，若 an an 2an21 ，則數列an是等比數列。（ 6）、等比數列的性質：、等比數列任意兩項間的關系：如果an 是等比數列

21、的第n 項， am 是等比數列的第 m 項，且 mn ，公比為 q ，則有 ana mq n m、對于等比數列an ，若 nmuv ，則 anamauav7a1 an也就是： a1ana2 an1a3an2。如圖所示： a1 ,a2 ,a3 , an2 ,an 1, ana2 an 1、若數列an 是等比數列，Sn 是其前 n 項的和， kN *，那么 Sk ， S2kSk ， S3kS2k 成等比數列。S3k如下圖所示： a1a2a3akak 1a2 ka2k1a3kSkS2 k SkS3kS2 k（ 7）、求數列的前n 項和的常用方法：分析通項，尋求解法1 2 3nn(n 1)，13 5(

22、2n 1) n 2 ，122232n 21 n(n 1)(2n 1)26公式法：“差比之和”的數列：( 235 1 )(23 52)(2 35 n )、并項法： 12 34(1)n1 n、裂項相消法：11116( n 1) n21111122334nn1、到序相加法：、錯位相減法： “差比之積”的數列：12x3x 2nx n1第四章三角函數1、角 ：（ 1）、正角、負角、零角：逆時針方向旋轉正角，順時針方向旋轉負角，不做任何旋轉零角；（ 2）、與終邊相同的角，連同角在內，都可以表示為集合|k 360 ,kZ （ 3）、象限的角：在直角坐標系內，頂點與原點重合，始邊與x 軸的非負半軸重合，角的終

23、邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標軸上，這個角不屬于任何象限。2、弧度制 ：（ 1）、定義：等于半徑的弧所對的圓心角叫做（ 2）、度數與弧度數的換算：180弧度， 1 弧度（ 3）、弧長公式： l | r（是角的弧度數）扇形面積： S1 lr1| r 2221 弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。(180)57 18'yP（ x， y）x2y 2rr00x3、三角函數（1）、定義：（如圖）（ 2）、各象限的符號：y_y_y+Ox8OxOx_+_sincostansinytanysecrrxxcosxcotxcscrryy（ 3）、特殊角的三角函數值的角度0304560901

24、20135150180270360的弧度02353264323462sin01231321010222222cos13210123101222222tan031331300334、同角三角函數基本關系式（）平方關系：（）商數關系：（）倒數關系：sincossin2cos21ta nsint a nc o t1c o stancot11tan2sec2co tco ss i nc s c1sin1cot2csc2cossec1seccsc（ 4）同角三角函數的常見變形：（活用“ 1”）、 sin 21cos2，sin1cos2； cos21 sin 2， cos1 sin 2； tancotco

25、s2sin 22， cottancos2sin 22cos22 cot 2sincossin 2sincossin 2 (sincos)212 sincos1sin 2，1sin 2| sincos|5、誘導公式： （奇變偶不變，符號看象限）公式一：sin(k 360 )sincos(k 360 )costan(k 360 )tan公式二：公式三：公式四：公式五：9sin(180) sinsin(180)sinsin()sinsin(360)sincos(180)coscos(180)coscos() coscos(360)costan(180)tantan(180)tantan()tanta

26、n(360)tan33sin()cossin()cos)cossin()cossin(2222補充： cos()sincos(2)sincos(3)sincos(3)sin222tan()cottan(2)cottan(3)cottan(3)cot2226、兩角和與差的正弦、余弦、正切S()： sin()sincoscossinS() ： sin()sincoscossinC()： cos(a)coscossinsinC () ： cos(a)coscossinsinT()： tan()tantanT() ： tan()tantan1 tantan1tantanT()的整式形式為：tantan

27、tan()(1tantan)例：若 AB45 ，則 (1tan A)(1tan B)2（反之不一定成立）7、輔助角公式 ： a sin xb cos x2b2asin xbcosxaa2a2b2b2a2b2 (sin xcoscosxsin)a2b2sin(x)（其中稱為輔助角，的終邊過點 (a, b) ， tanb ） （多用于研究性質）a8、二倍角公式 ：（ 1）、 S2 ：sin 22sincos（ 2）、降次公式：（多用于研究性質）C 2：cos2cos2sin 2sincos1sin 2212 sin 22cos21sin 21cos21cos21222T2：ta2n2 ta ncos21cos21 cos211ta2 n222（ 3）、二倍角公式的常用變形：、1cos 22 | sin|，1cos 22 | cos | ；、 11 cos2| sin| ，11 cos 2| cos |2222、 sin 4cos412sin 2cos21sin 2 2；cos4sin 4cos2；21