高中數(shù)學關于求圓錐曲線方程的方法復習

1、關于求圓錐曲線方程的方法高考要求求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法重難點歸納一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置定式根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m 0,n 0)定量由題設

2、中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小典型題例示范講解例 1 某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部C'18 mC其中軸 (即雙曲線的虛軸 )旋轉所成的曲面， 其中 A、A是的頂點， C、 C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、 BA'20 m直徑的兩個端點，已知 AA =14 m ，CC=18 m,BB =2214 m A20 m建立坐標系并寫出該雙曲線方程分 ， 繞雙 曲 線是 下 底m, 塔 高命題意圖本題考查選擇適當?shù)淖鴺讼到⑶€方22 m程 和 解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法B'B解 決 實際問題的能力知識依托待

3、定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積錯解分析建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關鍵技巧與方法本題是待定系數(shù)法求曲線方程解 如圖，建立直角坐標系 xOy,使 AA在 x 軸上，AAy的 中點為坐標原點 O， CC與 BB平行于 x 軸C'C設雙曲線方程為x 2y 2=1(a 0,b 0),則 a= 1 AA =7A'oxa2b2A2又設 B(11,y1),C(9,x2 )因為點 B、 C 在雙曲線上，所以有112y121, 92y2 2B'B172b272b2由題意，知 y2 y1=20,由以上三式得y1=12,y2=8,b=72故雙曲線方程為x 2y

4、 2=14998例 2 過點 (1， 0)的直線 l 與中心在原點，焦點在x 軸上y1且2 的橢圓 C 相交于 A、B 兩點，直線 y= 1Ay=x離心率為x 過線2段22AB 的中點，同時橢圓C 上存在一點與右焦點關于直線l 對o1x 稱，試求直線 l 與橢圓 C 的方程B命題意圖本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強知識依托待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題錯解分析不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關鍵技巧與方法本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B 兩點坐標代入圓錐曲線方程，

5、兩式相減得關于直線AB 斜率的等式解法二，用韋達定理解法一c2a2b2122由 e=2,得2,從而 a =2b ,c=baa2設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B( x2,y2)在橢圓上2222222222y1y2x1x2.則 x1+2y1 =2b ,x2+2y2=2b ,兩式相減得，(x1 x2)+2( y1y2)=0,x22( y1y2 )x1設 AB 中點為 (x0,y0),則 kAB= x0,又 (x0,y0)在直線 y=1x 上，y0 =1x0,于是x0 = 1,kAB=2 y0222 y0 1,設 l 的方程為 y=x+1右焦點 (b,0)關于 l 的對稱點設為(

6、x,y ),y1x1則 xb解得x by1by122由點 (1,1 b)在橢圓上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2=9, a29168所求橢圓C 的方程為8x2162=1,l 的方程為 y= x+19y9解法二c2得a 2b2122由 e=,a 22,從而 a=2b ,c=ba2設橢圓 C 的方程為 x2 +2y2 =2b2,l 的方程為 y=k(x 1),將 l 的方程代入222224k2,y1+y2=k(x1C 的方程，得 (1+2k)x 4k x+2k 2b=0,則 x1+x2=12k21)+k(x21)= k(x1+x2) 2k=2k12k2直線 ly=1x1x2,y1y2),則k

7、21 2k 22 ,解得 k=0，或 k=x 過 AB 的中點 (2212k212k21若 k=0,則 l 的方程為 y=0,焦點 F(c,0)關于直線 l 的對稱點就是F 點本身，不能在橢圓 C 上，所以 k=0 舍去，從而 k= 1，直線 l 的方程為 y= (x 1),即 y= x+1, 以下同解法一例 3 如圖， 已知 P12 的面積為27 ，P 為線段P 1P1 2的一個三等OP4P分點，求以直線OP1、OP2 為漸近線且過點P 的離心率為13 的雙曲P2oP 2線方程命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力知識依托定比分點坐標公式；三角

8、形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程錯解分析利用離心率恰當?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正確地表示出 P1OP2 的面積是學生感到困難的技巧與方法利用點 P 在曲線上和 P1 OP2 的面積建yP1立關于參數(shù) a、 b 的兩個方程，從而求出a、 b 的值解 以 O 為原點， P1OP2 的角平分線為x 軸建立如圖的直角坐標系P設雙曲線方程為x 2y 2a 2b2 =1(a 0,b 0)由 e2= c 21 ( b )2( 13 ) 2 ，得 b 3a 2a2a 2oxP 2兩漸近線 OP 、OP2方程分別為 y=3x 和 y=3x122設點 P1(x1,3x1),P2(x2,

9、 3x2)(x10,x20),則由點 P 分 P1 P2 所成的比 =P1P=2,得 P 點坐標22PP2為 (x1 2x2x12x2),又點 P 在雙曲線x24 y 2( x1 2x2 ) 2( x1 2x2 ) 23,2a29a2=1 上，所以9a29a2=1,即 (x1+2x2)2 (x1 2x2)2 =9a2,整理得 8x1x2=9 a2又2921329213x14x12x1 ,| OP |x24 x22x2|OP1 |2 tan P1Ox2312sin P1OP221tan2 P1Ox19134SP OP1 |OP | |OP| sin P OP113 x x21227 ,21212

10、24113412即 x1x2= 92由、得 a2=4,b2=9故雙曲線方程為x 2y 2=149例 4x 2y2為雙曲線上一點，|OP|雙 曲 線4b2 =1( b N) 的 兩 個 焦 點 F1 、 F2 ， P5,|PF 1|,|F 1F 2|,| PF 2|成等比數(shù)列，則b2=_解析設 F1( c,0）、 F2(c,0)、 P(x,y),則222222|PF 1| +|PF2| =2(| PO| +|F 1O| ) 2(5 +c ),即|PF 1|2+|PF 2|2 50+2 c2,222又 |PF 1| +|PF2 | =(|PF 1| |PF 2|) +2|PF1 |· |

11、PF 2|,依已知條件有 |PF 1|· |PF2|=|F1 F2 |2=4c2 16+8 c2 50+2c2,c2 17 ,3又 c2=4+ b2 17, b2 5 , b2=133答案 1學生鞏固練習1已知直線 x+2y 3=0 與圓 x2+y2+x 6y+m=0 相交于 P、Q 兩點， O 為坐標原點，若 OP OQ ，則 m 等于 ()A3B 3C1D 12中心在原點，焦點在坐標為(0，± 52 )的橢圓被直線3xy 2=0 截得的弦的中點的橫坐標為 1 ，則橢圓方程為 ()2A.2x 22 y212x 22 y 212575B.2575C. x2y 21D. x

12、2y212575752512x2 4y2=3 的焦點作3直線 l 的方程為 y=x+3,在 l 上任取一點 P，若過點 P 且以雙曲線橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_4已知圓過點 P(4， 2)、Q( 1，3)兩點，且在 y 軸上截得的線段長為 4 3 ，則該圓的方程為 _5已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x 軸上，它的一個焦點為F ，M 是橢圓上的任意點， |MF |的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x 為軸的對稱點 M1 和 M2，且 |M1M2 |= 4 10 ，試求橢圓的方程36某拋物線形拱橋跨度是20 米，拱高 4 米，在建橋時每隔 4米需用一支柱支撐，求

13、其中最長的支柱的長7已知圓 C12220,橢圓 C2 的方 程 為的方程為 (x 2) +( y 1) =3ACDEFBx 2y22，如果 C1 與 C2相 交 于a 2b2=1( a b 0)， C2 的離心率為2A、 B 兩點，且線段AB 恰為圓 C1 的直徑，求直線AB 的方程和橢圓C2 的方程參考答案 :1 解析 將直線方程變?yōu)?x=3 2y,代入圓的方程 x2+y2+x 6y+m=0, 得 (3 2y)2+y2+(3 2y)+m=0整理得 5y220y+12+m=0, 設 P(x1,y1)、 Q(x2 ,y2)則 y1y2= 12m ,y1+y2=45又 P、 Q 在直線 x=3 2

14、y 上， x1x2=(3 2y1)(3 2y2 )=4y1y2 6(y1+y2)+9故 y1y2+x1 x2=5 y1y2 6(y1+y2)+9= m3=0 ，故 m=3答案 A2 解析由題意，可設橢圓方程為y 2x222a2b2=1,且 a =50+b ,即方程為y2x250 b2b2 =1將直線 3x y 2=0 代入，整理成關于x 的二次方程由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75答案 C3 解析 所求橢圓的焦點為 F 1( 1,0),F 2(1,0),2a=|PF 1|+|PF2|欲使 2a 最小，只需在直線 l 上找一點P使 |PF 1|+|PF 2|最小，利用對稱性可解x

15、 2y2答案45=14 解析設所求圓的方程為 (x a)2+( yb)2=r 2(4 a) 2( 2 b) 2r 2a 1a 5則有 ( 1 a) 2( 3 b) 2r 2b 0或 b 4| a |2(2 3)2r 2r 213r 227由此可寫所求圓的方程答案x2+y2 2x 12=0 或 x2+y2 10x 8y+4=05解|MF |max=a+c,|MF |min=a c,則 (a+c)(a c)=a2 c2=b2,2x2y 2 b =4,設橢圓方程為1a24設過 M1 和 M 2 的直線方程為 y= x+m將代入得(4+a2)x2 2a2mx+a2m2 4a2=0設 M1(x1,y1)

16、、 M2(x2,y2),M1M 2 的中點為 (x0,y0),1a 2m4m則 x0= ( x1+x2)=4 a2 ,y0= x0+m=4 a222m4my代入 y=x,得a2 ,4a24 aD' oE'C'F'x2由知4a22 ,由于 a 4, m=0,x1+x2=0,x1 x2=a4x2 ) 24 10,ACDEFB又 |M1M2 |= 2 ( x14 x1 x232x2y 2代入 x1+x2,x1x2 可解 a =5,故所求橢圓方程為=1546 解以拱頂為原點，水平線為x 軸，建立坐標系，如圖，由題意知，、|AB|=20，|OM|=4， AB 坐標分別為 ( 10， 4）、(10， 4）設拋物線方程為 x2=2py,將 A 點坐標代入，得100= 2p× (4),解得 p=12 5,于是拋物線方程為 x2= 25y由題意知 E 點坐標為 (2， 4)，E點橫坐標也為2，將 2 代入得 y= 0 16,從而 |EE |=( 0 16) ( 4)=3 84 故最長支柱長應為 3 84 米7解由 e=2,可設橢圓方程為x2y 2=1,22b2b2又設 A(x1,y1)、 B(x2,y