高中數(shù)學選修2-12.4.1《拋物線及其標準方程》教學設計

1、課題：選修（2-1）拋物線及其標準方程三維目標：1、 知識與技能（1）掌握拋物線的定義及拋物線的四種標準方程和對應的圖形；（2）掌握拋物線的標準方程，會根據(jù)所給的條件確定拋物線的標準方程；（3）理解拋物線標準方程的推導過程并了解求拋物線的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法；（4）學會用待定系數(shù)法與定義法求拋物線的方程并要求學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力2、過程與方法（1）通過構設情景：回憶平面內與一個定點 F 的距離和一條定直線 l 的距離的比是常數(shù) e 的軌跡，當 0e1 時是橢圓，當 e1 時是雙曲線，那么當 e=1 時，它又是什么曲線？從而

2、引領學生自主學習、合作探究出拋物線的圖形和方程。在這一過程中，培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、交流等數(shù)學活動能力，同時培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力；（2）通過合作交流，不斷體會歸納、概括思想方法的重要性和實用性。（3）通過解決問題從本質上認識用待定系數(shù)法與定義法求拋物線的方程的思想。3、情態(tài)與價值觀（1）通過學生的積極參與、學習拋物線和方程的知識，培養(yǎng)學生思維的科學性、嚴密性，不斷認識數(shù)形結合和等價轉化的數(shù)學思想；(2) 通過對拋物線和方程知識的學習，不斷培養(yǎng)自主學習、合作交流、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（3）通過形象具體的軌跡問題，激

3、發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，并對學生進行運動、變化、對立、統(tǒng)一以及理論來源于實踐的辯證唯物主義思想教育，從而體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想，。體驗在學習中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。教學重點：拋物線的定義和標準方程及用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程。教學難點：拋物線標準方程的推導過程。教具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸科學導入：前面我們學習了橢圓和雙曲線及其性質，其中有一種軌跡問題能把這兩種曲線統(tǒng)一起來：到定點的距離和到定直線的距離之比等于常數(shù)的點的軌跡問題。

4、同學們回顧一下這個問題（用具體的點線來體現(xiàn)）1、設 M x ,y與定點 F 4,0 的距離和它到直線 l ：x25 的距離的比是常數(shù) 4 ，點45M 的軌跡為。歸納：平面內點 M 與一定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù) e (0e1)，這個點 M 的軌跡是橢圓。2、設 M x, y 與定點 F（5，0）的距離和它到直線 l ：x16 的距離的比是常數(shù) 5 ，54點 M 的軌跡方程為。歸納：平面內點 M 與一定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù) e (e >1)，這個點 M 的軌跡是雙曲線。思考：若上述比值變?yōu)?1 呢？今天，我們來探索這個問題二、 創(chuàng)設情境合作探究 ：之一：在這

5、里可用多媒體展示一下，使學生有一個直觀的感性認識之二：可先做一個簡單實驗：把一根直尺固定在畫圖板內直線 l 的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點 A，截取繩子的長等于 A 到直線 l 的距離 AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點 F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結【引領學生總結出拋物線的定義】平面內與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離的點的軌跡叫拋物線。定點 F 叫做拋物線的，定直線

6、 l 叫做拋物線的。【引領學生推導拋物線的標準方程】有三種建系的思路，可分組分別探究，最后找出最佳方案：方案1方案2方案 3OFOl(xp ) 2y2| xp | y22px (p 0)22(x p) 2y2| x |22pxp2y(p0)x 2y 2| xp |y22pxp2(p0)通過比較可以看出：方案 1 得出的方程不僅具有較簡的形式，而且方程中一次項的系數(shù)是焦點到準線距離的 2 倍。這個方程方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標準方程它表示焦點在 x 軸的正半軸上，焦點坐標 F（ p ，0），準線方程為 xp 。22點評：拋物線方程中參數(shù) p 的幾何意義焦點到準線的距離，永遠大于零。

7、由于拋物線的標準方程中只有一個參數(shù) p，所以只需一個條件，就可以求出拋物線的標準方程【引領學生探究出拋物線的另外三種標準方程 】在建立拋物線、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系，我們得到了不同的標準方程。那么，拋物線的標準方程有哪些不同的形式？y圖形OFyyylOxFxFOxFOxlll標準方程焦點坐標準線方程點評：根據(jù)這個表，滲透“數(shù)形結合”的思想，讓學生把握拋物線四類標準方程的圖形、焦點和準線的位置，識別它們之間的差異，反復體會“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的思想方法。達到熟練運用標準方程的技能技巧小結：（1）四種形式的相同點 ： 頂點為原點； 對稱軸為坐標軸；頂點到焦點的距離等于頂點到準線

8、的距離，其值為 p(p0) 。焦點坐標中橫（縱）坐標的值是一次項系數(shù)的倍，準線方程中的數(shù)值是一次項系數(shù)的倍。（2）四種形式的不相同點 ：一次項變量為 x（或 y），則焦點在 x（或 y）軸；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上，系數(shù)為負，則焦點在負半軸上； 焦點在 x（或 y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在 x（或 y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。【小試牛刀】1求下列拋物線的焦點坐標和準線方程（1）y28x（2）x24y（3）2 y23x0（4） y1 x262根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程（1）焦點是 F（3，0）1（2）準線方程是 x4（3）焦點到準線的距離是 2（4）經(jīng)過點 A（6

9、，2）3（1）.拋物線 y22 px( p0) 上一點 M 到焦點距離是 a(ap )2，則點 M 到準線的距離是，點 M 的橫坐標是。（2）拋物線 y212x 上與焦點的距離等于 9的點的坐標是。4. 拋物線 x24y 上的點 P到焦點的距離是 10，求 P點坐標三、互動達標 鞏固所學：關于拋物線的基本問題問題.1（1）已知拋物線的標準方程是 y26x，求它的焦點坐標和準線方程（2）已知拋物線的標準方程是 y-6 x2，求它的焦點坐標和準線方程（3）已知拋物線的焦點坐標是 F（0，-2 ），求它的標準方程?！痉治觥恳阎獟佄锞€的標準方程，求拋物線的焦點與準線方程，關鍵要確定軸向。已知焦點或準線

10、方程求拋物線標準方程的基本方法：關鍵是：定軸向求 p值寫方程；【解析】（1）因為 p 3，所以焦點坐標 ( 3 ,0) ，準線方程是 x322（2）因為 p1，所以焦點坐標 (0,1 ) ，準線方程是 y161212（3）因為焦點在 y 軸的負半軸， p2，所以拋物線方程是 x2=-8y2【點評】這是關于拋物線標準方程的基本例題，關鍵是（ 1）根據(jù)題意確定屬于哪類標準形式，（2）求出參數(shù) p 的值同時，在例題的基礎上設置一些“變式練習題”進行深化。如（：1）的變式：拋物線的方程 y2=6x（y=6x2 等）（2）的變式：寫出拋物線的標準方程：(1)焦點是 F(3，0)；(3)焦點到準線的距離是

11、 2。讓學生在熟悉知識的同時，進一步領悟“數(shù)形結合”的思想。問題.2 求經(jīng)過點 A（2，3）的拋物線的標準方程【分析】拋物線的標準方程中只有一個參數(shù) p，因此，只要確定了拋物線屬于哪類標準形式，再求出 p 值就可以寫出其方程，但要注意兩解的情況【解析】設焦點在 x 軸正半軸的拋物線方程為 y 22 px ，代入 A 點坐標得， p9 ，所以拋物線方程為 y 2 9 x 。422 ，所以設焦點在 y 軸負半軸的拋物線方程為 x22 py ，代入 A點坐標得， p3拋物線方程為 x 24 y 。3【點評】解決此種問題，首先要根據(jù)題意確定拋物線的類型，合理設出標準方程，有時可有多種情形。關于拋物線的

12、實際問題問題.3 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m,深度為 0.5 m。試建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的標準方程和焦點坐標?！痉治觥勘绢}是一個關于拋物線應用的實際問題，首先應建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設拋物線的標準方程，然后利用用待定系數(shù)法求相關的值即可【解析】如圖，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合。設拋物線的標準方程是 y22 px ( p0) ，由已知條件可得，點 A 的坐標是 ( 0.5, 2.4 ) ，代入方程，得 2.422

13、p 0.5即 p 5.76，所以，所求拋物線的標準方程是 y211.52 x ，焦點坐標是 ( 2.88,0 ) ?！军c評】解決這種實際問題，一般要先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，然后根?jù)題意設出方程求方程或利用拋物線方程解決與實際相關的性質問題四、思悟小結：知識線：（1）拋物線的定義及相關（如：焦點、準線）的概念；（2）拋物線的標準方程。思想方法線：（1）待定系數(shù)法；（2）代入法；（3）公式法；（4）數(shù)形結合思想與等價轉化思想；題目線：（1）關于拋物線概念的基本問題；（2）求拋物線的標準方程；（3）關于拋物線的實際問題。五、針對訓練鞏固提高：21 、（ 1 ） M（x0 , y0 ) 是拋物線 y2

14、 px( p0)上一點，則點M到準線的距離是，點 M 到焦點的距離是。（ 2 ） M（ x0 , y0 ) 是拋物線y22 px( p0) 上一點，則點M到焦點的距離是。（ 3 ） M（ x0 , y0 ) 是拋物線x22 py( p0) 上一點，則點M到焦點的距離是。（ 4） M（ x0 , y0 ) 是拋物線x22 py( p0) 上一點，則點M到焦點的距離是。2過（0，1）作直線，它與拋物線 y 2A1 條B2 條C3 條4x 僅有一個公共點，這樣的直線有（D4 條）3若拋物線y22 px( p0) 上三點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，那么這三點的焦半徑的關系是（）A成等差數(shù)列B成等比數(shù)列C既成等差又成等比數(shù)列D既不成等差又不成等比數(shù)列4已知A、B是拋物線 y22 px( p0) 上兩點，O 為坐標原點，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是