數(shù)學(xué)必修1-5常用公式及結(jié)論word版 2

1、數(shù)學(xué)必修1-5常用公式及結(jié)論必修1： 一、集合1、含義與表示：（1）集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性（2）集合的分類；有限集，無限集 （3）集合的表示法：列舉法，描述法，圖示法2、集合間的關(guān)系：子集：對任意，都有 ，則稱A是B的子集。記作 真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一個元素不屬于A，則A是B的真子集， 記作AB 集合相等：若：,則3. 元素與集合的關(guān)系：屬于 不屬于： 空集：4、集合的運算：并集：由屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫并集，記為 交集：由集合A和集合B中的公共元素組成的集合叫交集，記為 補集：在全集U中，由所有不屬于集合A的元素組成的集合叫補集，記為5

2、集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有1個；非空子集有 1個； 6.常用數(shù)集：自然數(shù)集：N 正整數(shù)集： 整數(shù)集：Z 有理數(shù)集：Q 實數(shù)集：R二、函數(shù)的奇偶性1、定義： 奇函數(shù) <=> f ( x ) = f ( x ) ，偶函數(shù) <=> f (x ) = f ( x )（注意定義域）2、性質(zhì)：（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形；（3）如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；（4）如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)二、函數(shù)的單調(diào)性1、定義：對于定義域為D的函數(shù)f ( x )，若任意的x1, x2D，且

3、x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函數(shù) f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是減函數(shù)2、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性: 同增異減三、二次函數(shù)y = ax2 +bx + c（）的性質(zhì)1、頂點坐標公式：， 對稱軸：，最大（小）值：2.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式; (2)頂點式;(3)兩根式.四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1、冪的運算法則：（1）a m a

4、 n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n b n（5） （6）a 0 = 1 ( a0)（7） （8）（9）2、根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，； 當(dāng)為偶數(shù)時，.4、指數(shù)函數(shù)y = a x (a > 0且a1)的性質(zhì)：（1）定義域：R ； 值域：( 0 , +) （2）圖象過定點（0，1）Y0X1a > 10YX10 < a < 15.指數(shù)式與對數(shù)式的互化： .五、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的運算法則：（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）l

5、og a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M - log a N（8）log a N b = b log a N （9）換底公式：log a N = （10）推論 (,且,且, ).（11）log a N = （12）常用對數(shù)：lg N = log 10 N （13）自然對數(shù)：ln A = log e A （其中 e = 2.71828） 2、對數(shù)函數(shù)y = log a x (a > 0且a1)的性質(zhì)：（1）定義域：( 0 , +) ； 值

6、域：R （2）圖象過定點（1，0）X0Y10 < a < 10YX1a >1六、冪函數(shù)y = x a 的圖象:（1） 根據(jù) a 的取值畫出函數(shù)在第一象限的簡圖 .a < 00 < a < 1a > 1例如： y = x 2 七.圖象平移：若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象； 規(guī)律：左加右減，上加下減八. 平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.九、函數(shù)的零點：1.定義：對于，把使的X叫的零點。即 的圖象與X軸相交時交點的橫坐標。2.函數(shù)零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并有，

7、那么在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個C就是零點。3.二分法求函數(shù)零點的步驟：（給定精確度） （1）確定區(qū)間，驗證;(2)求的中點 （3）計算若，則就是零點；若，則零點 若，則零點； （4）判斷是否達到精確度，若，則零點為或或內(nèi)任一值。否 則重復(fù)（2）到（4）必修2：一、直線與圓 1、斜率的計算公式：k = tan= （ 90°，x 1x 2）2、直線的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）點斜式 y y 0 = k ( x x 0 ) ，k存在；（3）兩點式 （） ；4）截距式 （）（5）一般式3、兩條直線的位置關(guān)系： l1：y = k1 x + b1 l2：y

8、 = k 2 x + b2l1： A1 x + B1 y + C1 = 0l2： A2 x + B2 y + C2 = 0重合k1= k 2且b1= b2平行k1= k 2且b1 b2垂直k1 k 2 = 1A1 A2 + B1 B2 = 04、兩點間距離公式：設(shè)P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，則 | P1 P2 | =5、點P ( x 0 , y 0 )到直線l ：A x + B y + C = 0的距離：7、圓的方程圓的方程圓心半徑標準方程x 2+ y 2= r 2（0，0）r(x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2（a，b）r一般方程x

9、 2 + y 2 +D x + E y + F = 08.點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系有三種若，則 點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).9.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d)直線與圓的位置關(guān)系有三種:;.10.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;.11.圓的切線方程(1)已知圓若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過圓上的點的切線方程為;斜率為

10、的圓的切線方程為二、立體幾何 （一）、線線平行判定定理：1、平行于同一條直線的兩條直線互相平行。2、垂直于同一平面的兩直線平行。3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。4、如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。（二）、線面平行判定定理1、若平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。2、若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一個平面平行。（三）、面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（四）、線線垂直判定定理：若一直線垂直于一平面，則這條直線垂

11、直于這個平面內(nèi)的所有直線。（五）、線面垂直判定定理1、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。2、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（六）、面面垂直判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（七）證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.（八）證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.（九）證明平面與平面

12、平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.（十）證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）利用三垂線定理或逆定理；（十一）證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；CBAPDO（十二）證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.三、空間幾何體（一）、正三棱錐的性質(zhì)1、底面是正三角形，若設(shè)底面正三角形的邊長為a，則有圖形外接圓

13、半徑內(nèi)切圓半徑面積正三角形DOBA2、正三棱錐的輔助線作法一般是：作PO底面ABC于O，則O為ABC的中心，PO為棱錐的高，取AB的中點D，連結(jié)PD、CD，則PD為三棱錐的斜高，CD為ABC的AB邊上的高，且點O在CD上。POD和POC都是直角三角形，且POD =POC = 90°（二）、正四棱錐的性質(zhì)PDACBOE1、底面是正方形，若設(shè)底面正方形的邊長為a，則有圖形外接圓半徑內(nèi)切圓半徑面積正方形OABOB =OA = S = a 22、正四棱錐的輔助線作法一般是：作PO底面ABCD于O，則O為正方形ABCD的中心，PO為棱錐的高，取AB的中點E，連結(jié)PE、OE、OA，則PE為四棱錐

14、的斜高，點O在AC上。POE和POA都是直角三角形，且POE =POA = 90°（三）、長方體長方體的一條對角線長的平方等于這個長方體的長、寬、高的平方和。特殊地，若正方體的棱長為a ，則這個正方體的一條對角線長為a 。（四）、正方體與球A1B1C1D1ABCD1、設(shè)正方體的棱長為a，它的外接球半徑為R1，它的內(nèi)切球半徑為R2，則O（五）幾何體的表面積體積計算公式 1、圓柱: 表面積:2+2Rh 體積:R²h 2、圓錐: 表面積:R²+RL 體積: R²h/3 (L為母線長)3、圓臺：表面積: 體積：Vh(R²Rrr²)/34、球：

15、S球面 = 4R2 V球 = R3 （其中R為球的半徑）5、正方體： a邊長， S6a² ，Va³6、長方體 a長 ,b寬 ,c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 7、棱柱：全面積=側(cè)面積+2X底面積 VSh 8、棱錐：全面積=側(cè)面積+底面積 VSh/3 9、棱臺：全面積=側(cè)面積+上底面積+下底面積 四、三視圖 1.投影：把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影。把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種。 2、光線從幾何體的前面向后面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的正視圖(也叫主視圖)；光

16、線從幾何體的上面向下面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的俯視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖(或左視圖)3、“長對正,高平齊,寬相等”是三視圖之間的投影規(guī)律,是畫圖和讀圖的重要依據(jù).畫幾何體的三視圖時,能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示。必修3: 第一章 算法初步1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2、構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸

17、入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。(結(jié)構(gòu)圖請看教材)4、（1）、輾轉(zhuǎn)相除法：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)做上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，這個較小的數(shù)就是最大公約數(shù)。（2）、更相減損術(shù)。以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等

18、為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。（3）進位制 以k為基數(shù)的k進制換算為十進制： 十進制換算為k進制：除以k取余，倒序排列第二章 統(tǒng)計 1總體和樣本：在統(tǒng)計學(xué)中 , 把研究對象的全體叫做總體把每個研究對象叫做個體把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：， ， ， 研究，我們稱它為樣本其中個體的個數(shù)稱為樣本容量2、簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同。（總體個數(shù)較少）3、簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機數(shù)表法；計算機模擬法；4、系統(tǒng)抽樣（等

19、距抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（總體個數(shù)較多）K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）5、分層抽樣：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）6、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表數(shù)據(jù)詳實頻率分布直方圖分布直觀 頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度

20、曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。 個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)重復(fù)寫。7、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（s 為標準差）（1）、平均值：（2）、8、兩個變量的線性相關(guān)（1）、概念:（1）回歸直線方程：（2）回歸系數(shù)：，（3）應(yīng)用直線回歸時注意：回歸分析前,最好先作出散點圖；第三章 概率一、概念 1、事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不

21、可能事件；（3）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；古典概型的特點：基本事件可列舉；每個基本事件都是等可能發(fā)生概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事 件，則事件A發(fā)生的概率3、幾何概型：特點：所有的基本事件是無限個；每個基本事件都是等可能發(fā)生。幾何概型概率計算公式： 。4、若AB=，即不可能同時發(fā)生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互斥；5、若AB為不可能事件，AB為必然事件，即不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；二、概率的基

22、本性質(zhì)：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0P(A)1；2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件是互

23、斥事件的特殊情形。必修4 一、三角函數(shù)與三角恒等變換1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象定義域RRx| x+k,kZ值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間-+2k,+2k減區(qū)間+2k, +2k增區(qū)間-+2k, 2k減區(qū)間2k,+2k( kZ )增區(qū)間(-+k,+k)( kZ )對稱軸x = + k( kZ )x = k ( kZ )無對稱中心( k,0 ) ( kZ )(+ k,0 )( kZ )( k,0 ) ( kZ )2、同角三角函數(shù)公式 sin 2+ cos 2= 1 tancot=13、二倍角的三角函數(shù)公式sin2= 2sincos

24、cos2=2cos2-1 = 1-2 sin2= cos2- sin2 4、降冪公式 5、升冪公式 1±sin2= (sin±cos) 2 1 + cos2=2 cos2 1- cos2= 2 sin26、兩角和差的三角函數(shù)公式sin (±) = sincos土cossin cos (±) = coscos干sinsin 7、兩角和差正切公式的變形：tan±tan= tan (±) (1干tantan)= tan (+) = tan (-)8、兩角和差正弦公式的變形（合一變形） （其中）9、半角公式： 10、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 “奇變

25、偶不變，符號看象限?！眘in () = sin， cos () = cos， tan () = tan；sin (+) = sin cos (+) = cos tan (+) = tan sin (2) = sin cos (2) = cos tan (2) = tan sin () = sin cos () = cos tan () = tan sin () = cos cos () = sin tan () = cot sin (+) = cos cos (+) = sin tan (+) = cot 11.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，

26、(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.二、平面向量 （一）、向量的有關(guān)概念1、向量的模計算公式：（1）向量法：| =；（2）坐標法：設(shè)=（x，y），則| =2、單位向量的計算公式：（1）與向量=（x，y）同向的單位向量是；（2）與向量=（x，y）反向的單位向量是；3、平行向量規(guī)定：零向量與任一向量平行。設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），為實數(shù)向量法：（）<=> = 坐標法：（）<=> x1 y2 x2 y1 = 0 <=> （y1 0 ，y 2 0）4、垂直向量規(guī)定：零向量與任一向量垂直。設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2）向量法：<=>

27、83;= 0 坐標法：<=> x1 x 2 + y1 y 2 = 05.平面兩點間的距離公式 =(A，B).（二）、向量的加法（1）向量法：三角形法則（首尾相接首尾連），平行四邊形法則（起點相同連對角）（2）坐標法：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則+=（x1+ x2 ，y1+ y2）（三）、向量的減法（1）向量法：三角形法則（首首相接尾尾連，差向量的方向指向被減向量）（2）坐標法：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則-=（x1 - x2 ，y1- y2）（3）、重要結(jié)論：| | - | | |±| | + |（四）、兩個向量的夾角計算公式：（1）向量法：cos

28、 = （2）坐標法：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則cos =（五）、平面向量的數(shù)量積計算公式：（1）向量法：·= | | cos （2）坐標法：設(shè)=（x1，y1），=（x2，y2），則·= x1 x2 + y1 y2 （3） a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積（六）.1、實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè)、為實數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的數(shù)量積的運算律：(1) a·b= b·a （交換

29、律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.3.平面向量基本定理：如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底（七）.三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點的坐標分別為、,則ABC的重心的坐 標是必修5 一、解三角形：ABC的六個元素A, B, C, a , b, c滿足下列關(guān)系：1、角的關(guān)系：A + B + C = ，特殊地，若ABC的三內(nèi)角A, B, C成等差數(shù)列，則B = 60º，A +C = 120º2、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = -cosC , sin () = cos , cos () = sin3、邊的關(guān)系：a + b > c , a b < c（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。）4、邊角關(guān)系：（1）正弦定理： （R為ABC外接圓半徑） a : b : c = sinA : sinB : sinC 分體型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , （2）余弦定理：