中考數(shù)學(xué)幾何證明題集

1、1、如圖，在梯形 ABCD 中， AB CD， BCD=90 ° ,且 AB=1 ， BC=2， tan ADC=2.(1)求證： DC=BC;(2)E 是梯形內(nèi)一點(diǎn)， F 是梯形外一點(diǎn)，且EDC= FBC ，DE=BF ，試判斷 ECF 的形狀，并證明你的結(jié)論；(3) 在（ 2）的條件下，當(dāng)BE： CE=1 ：2， BEC=135 °時(shí)，求 sin BFE 的值 .AB解析 （ 1）過 A 作 DC的垂線 AM交 DC于 M,則 AM=BC=2.E2又 tan ADC=2,所以 DM1. 即 DC=BC.2(2) 等腰三角形 .F證明：因?yàn)?DEDF ,EDCFBC,DC

2、 BC .DC所以， DEC BFC所以， CECF , ECDBCF .所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD 90即 ECF 是等腰直角三角形 .（3）設(shè) BEk ,則 CECF2k ，所以 EF2 2k.因?yàn)?BEC135 ，又 CEF45 ，所以BEF90 .所以 BFk2(2 2k)23k所以 sinBFEk13k.32、已知：如圖，在 ABCD中， E、F 分別為邊 AB 、CD 的中點(diǎn)， BD 是對角線， AG DB交 CB 的延長線于 G（1）求證： ADE CBF ；（2）若四邊形BEDF 是菱形，則四邊形 AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論 解析 （ 1）四邊形

3、ABCD 是平行四邊形， 1 C，AD CB，AB CD 點(diǎn) E 、 F 分別是 AB 、CD 的中點(diǎn)， AE 1 AB ，CF 1 CD 22 AECF ADE CBF （ 2）當(dāng)四邊形 BEDF 是菱形時(shí)，四邊形 AGBD 是矩形四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD BC AGBD ，四邊形AGBD是平行四邊形四邊形BEDF 是菱形， DE BE AEBE ， AEBEDE 1 2， 3 4 1 2 3 4180°， 2 2 2 3180° 2 3 90°即 ADB 90°四邊形 AGBD 是矩形3、如圖 13 1，一等腰直角三角尺GEF 的兩條直

4、角邊與正方形ABCD 的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正方形ABCD 保持不動，將三角尺GEF 繞斜邊 EF 的中點(diǎn) O（點(diǎn) O 也是 BD 中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（ 1）如圖 13 2，當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M，GF 與 BD 相交于點(diǎn) N 時(shí)，通過觀察或測量 BM， FN 的長度，猜想 BM， FN 滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（ 2）若三角尺 GEF 旋轉(zhuǎn)到如圖 13 3 所示的位置時(shí)，線段 FE 的延長線與 AB 的延長線相交于點(diǎn) M，線段 BD 的延長線與 GF 的延長線相交于點(diǎn) N，此時(shí)，（ 1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由D(F)FNCDCDCONO

5、FOGAM BEA(G)B(E)ABMEG圖 131圖 132圖 133解析 （1）BM=FN證明： GEF 是等腰直角三角形，四邊形ABCD 是正方形， ABD =F =45°， OB = OF又 BOM = FON ， OBM OFN BM=FN（2）BM=FN 仍然成立（3）證明： GEF 是等腰直角三角形，四邊形ABCD 是正方形， DBA = GFE=45°， OB=OF MBO = NFO =135°又 MOB = NOF ， OBM OFN BM=FN4、如圖，已知O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于 E，連結(jié) AD 、 BD 、 OC、 OD，且

6、OD 5。（ 1）若 sin BAD3 ，求 CD 的長；5（ 2）若 ADO ： EDO 4：1，求扇形 OAC （陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。解析 （1）因?yàn)?AB 是 O 的直徑， OD5所以 ADB 90°， AB 10在 RtABD 中， sin BADBDAB又 sin BAD3 ，所以 BD3，所以 BD 65105ADAB2BD 2102628因?yàn)?ADB 90°， AB CD所以 DE·ABAD·BD，CEDE所以DE1086所以 DE245所以 CD2DE485（ 2）因?yàn)?AB 是 O 的直徑， AB CD所以CBBD， ACAD

7、所以 BAD CDB ， AOC AOD因?yàn)?AO DO ，所以 BAD ADO所以 CDB ADO設(shè) ADO 4x，則 CDB 4x由 ADO ： EDO 4： 1，則 EDO x因?yàn)?ADO EDO EDB 90°所以 4 x4xx90所以 x 10°所以 AOD 180°（ OAD ADO ） 100°所以 AOC AOD 100°S10052125扇形 OAC360185、如圖，已知：B 點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)C是以 ABD，E 為 CH為直徑的半圓中點(diǎn)，連接O 上一點(diǎn)，AE 并延長交CH ABBD 于點(diǎn)于點(diǎn) H ，直線 ACF，直線 CF

8、交直線與過AB于點(diǎn) G.（ 1）求證：點(diǎn) F 是 BD 中點(diǎn)；（ 2）求證： CG 是 O 的切線；（ 3）若 FB=FE=2 ，求 O 的半徑 解析 (1)證明： CH AB ， DB AB ， AEH AFB ， ACE ADF EHAECE ， HE EC， BF FDBFAFFD(2) 方法一：連接 CB、 OC，AB 是直徑， ACB 90° F 是 BD 中點(diǎn)， BCF= CBF=90 ° - CBA= CAB= ACO OCF=90 ° , CG 是 O 的切線 -6 方法二：可證明OCF OBF( 參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分 )(3) 解：由 FC=FB=

9、FE 得： FCE= FEC可證得： FA FG，且 AB BG由切割線定理得： （ 2 FG） 2 BG × AG=2BG 21在 Rt BGF 中，由勾股定理得： BG22BF22FG122-4FG-12=0由 、 得： FG解之得： FG1 6， FG2 2（舍去）AB BG 42O半徑為 226、如圖，已知O 為原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（4， 3），A 的半徑為 2過 A 作直線 l 平行于 x 軸，點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動（）當(dāng)點(diǎn) P 在 O 上時(shí)，請你直接寫出它的坐標(biāo)；（）設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 12，試判斷直線OP 與 A 的位置關(guān)系，并說明理由解析 解: 點(diǎn) P 的坐標(biāo)

10、是（ 2,3）或（ 6,3）作 AC OP, C 為垂足 . ACP= OBP= 90 , 1= 1 ACP OBP ACAPOBOP153, 又 AP=12 -4=8, AC8在 RtOBP 中, OPOB2BP23153 AC= 24153 1.94 1.94<2OP與A 相交.7、 如圖，延長 O 的半徑 OA 到 B，使 OA=AB，CDE 是圓的一條切線， E 是切點(diǎn)，過點(diǎn) B 作 DE 的垂線，垂足為點(diǎn) C.E求證 ： ACB= 1 OAC.D3OAB解析 證明：連結(jié) OE、 AE，并過點(diǎn) A 作 AF DE 于點(diǎn) F，（3 分） DE 是圓的一條切線，E 是切點(diǎn)，OEDC，

11、又 BC DE,OE AF BC. 1=ACB， 2= 3. OA=OE ，4= 3.4= 2.又點(diǎn) A 是 OB 的中點(diǎn)，點(diǎn) F是 EC的中點(diǎn) . AE=AC .1= 2.4= 2= 1.即 ACB= 1 OAC.38、如圖，一架長4 米的梯子AB 斜靠在與地面OM 垂直的墻壁ON 上，梯子與地面的傾斜角 為 60 求 AO 與 BO 的長；若梯子頂端A 沿 NO 下滑，同時(shí)底端B 沿 OM 向右滑行 .如圖 2，設(shè) A 點(diǎn)下滑到C 點(diǎn)， B 點(diǎn)向右滑行到D 點(diǎn)，并且AC:BD=2:3 ，試計(jì)算梯子頂端A 沿NO下滑多少米；如圖，當(dāng)A 點(diǎn)下滑到A點(diǎn)， B 點(diǎn)向右滑行到B 點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)

12、P 也隨之運(yùn)動到P點(diǎn)若POP15，試求AA 的長解析 Rt AOB 中 , O= 90 , = 60, OAB=，又 4 米，30 OB1 AB 2米.23OA AB sin 60422 3 米 . - (3分 )設(shè) AC 2x, BD3x, 在 RtCOD 中,OC 2 3 2x,OD 23x, CD4根據(jù)勾股定理 :OC2OD 2CD 22242 - (5 2 3 2x23x分 ) 13x2128 3 x0 x 013x 12 83 08312- (7 分 ) x1316324AC=2x=13即梯子頂端 A 沿 NO 下滑了 16 324 米.13- (8 分 )點(diǎn) P 和點(diǎn) P 分別是

13、RtAOB 的斜邊AB 與 RtA'OB ' 的斜邊 A'B '的中點(diǎn) PA PO ， P'A'P' O- (9分 )PAOAOP,P A OA OP - (10分)P A OPAOA OPAOPP A OPAOPOP15 PAO 30 PAO45-(11分 ) A OA Bcos 4542(12分 )2 2 -2 AAOAAO (232 2) 米 . -(13分 )9. （重慶，10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0， 6）、點(diǎn)B（ 8，0），動點(diǎn)P 從點(diǎn) A 開始在線段AO上以每秒1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從

14、點(diǎn)B 開始在線段 BA上以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A 移動 , 設(shè)點(diǎn) P、Q移動的時(shí)間為 t 秒(1) 求直線 AB 的解析式； (2) 當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ與 AOB相似？24(3)當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ的面積為5 個(gè)平方單位？解：（ 1）設(shè)直線AB的解析式為y kx bb=6解得k3由題意，得48k b0b6所以，直線AB 的解析式為y 3 x 64（ 2）由 AO 6， BO 8 得 AB 10所以 AP t， AQ 10 2t1° 當(dāng) APQ AOB 時(shí)， APQ AOB所以t 6102t3010 解得 t 11 ( 秒)2° 當(dāng) AQP AOB

15、時(shí)， AQP AOB所以t 102t解得t 50 ( 秒 )10613（ 3）過點(diǎn) Q作 QE垂直 AO于點(diǎn) E在 RtAOB中， Sin BAO BO 4AB5在 RtAEQ 中， QEAQ·Sin BAO (10-2 t ) · 488t所以， SAPQ 1AP·QE5521 t ·(8 8 t )2542解得 t 2（秒）或 t 3（秒） 5t 4t 245（注：過點(diǎn)P 作 PE垂直 AB于點(diǎn) E 也可，并相應(yīng)給分）點(diǎn)撥 ：此題的關(guān)鍵是隨著動點(diǎn)P 的運(yùn)動， APQ的形狀也在發(fā)生著變化，所以應(yīng)分情況： APQ AOB 90 APQ ABO這樣，就得到了兩個(gè)時(shí)間限制同時(shí)第（3）問也可以過 P 作 PE AB10（南充， 10 分）如圖 2 5 7，矩形中， 8， 6，對角線上有一個(gè)動點(diǎn)ABCDABBCAC（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)）設(shè)，四邊形的面積為yPCAP xPBCD（1）寫出 y與 x 的函數(shù)關(guān)系，并確定自變量x 的范圍（ 2）有人提出一個(gè)判斷：“關(guān)于動點(diǎn) P， PBC面積與 PAD面積之和為常數(shù)”請你說明此判斷是否正確，并說明理由解：（ 1）過動點(diǎn) P 作 PE BC于點(diǎn) E在 Rt ABC中， AC10， PC AC AP 10 x PE BC， AB BC，