等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

1、等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1. 1.將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d00時(shí)時(shí),S,Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)21()22nddSnan則則 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何

2、值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.則則Sn的圖象如圖所示的圖象如圖所示又又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為所以圖象的對(duì)稱軸為31172n 7n113Sn等差數(shù)列的

3、前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=

4、0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0時(shí)時(shí), 此時(shí)此時(shí)Sn有有,其其n的的值由值由an0且且an+10求得求得.當(dāng)當(dāng)a10時(shí)時(shí), 此時(shí)此時(shí)Sn的的,其其n的的值由值由an 0且且an+1 0求得求得.練習(xí)練習(xí):已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大,則則n的值為的值為( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C2.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列, 公差為公差為 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中

5、中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有n2d性質(zhì)性質(zhì)1: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSn 性質(zhì)性質(zhì)3:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 2121nnST （2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn 性質(zhì)性質(zhì)5:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p= (m+p) 性質(zhì)性質(zhì)6:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=0性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2

6、n)=n(an+an+1) (an,an+1為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,nd SS 奇奇偶偶1nnaa 例例1.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,若若S3=9,S6=36,則則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例例3.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100,前前1

7、00項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為10,則它的前則它的前110項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為 .110例例4.兩等差數(shù)列兩等差數(shù)列an 、bn的前的前n項(xiàng)和分項(xiàng)和分別是別是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例例5.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)的和之比為的和之比為32:27,則公差為則公差為 .例例6.(09寧夏寧夏)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為Sn,已知已知am-1

8、+am+1-am2=0,S2m-1=38,則則m= .例例7.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .510153等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例例8.設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn圖象的對(duì)稱軸為圖象的對(duì)稱軸為5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得5121362

9、2d1362n即即由于由于n為正整數(shù)為正整數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng)n=6時(shí)時(shí)Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.練習(xí)練習(xí)1 1已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為Sn, ,求使得求使得Sn最大的序號(hào)最大的序號(hào)n的值的值. .練習(xí)練習(xí)2:2:求集合求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和. .60, 12mNnnmmM練習(xí)練習(xí)3：已知在等差數(shù)列：已知在等差數(shù)列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn為其前為其前n項(xiàng)和項(xiàng)和. .（1 1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？（2 2）

10、求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數(shù)的最小的正整數(shù)n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|an n| |的值的值1.1.根據(jù)數(shù)列前根據(jù)數(shù)列前n n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式. .1112nnnanaSSn 2 2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 =An+Bn =An+Bn 的最值的最值. .ndandSn)2(2122.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列, 公差為公差為 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有n2d性質(zhì)性質(zhì)1: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSn 性質(zhì)性質(zhì)3:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 2121nnST （2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn