第六章 常微分方程數(shù)值解(歐拉方法)

1、6 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法常微分方程常微分方程歐拉方法歐拉方法龍格龍格-庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法一階線性常微分方程初值問(wèn)題一階線性常微分方程初值問(wèn)題 數(shù)值方法的基本思想數(shù)值方法的基本思想 在解的存在區(qū)間上取在解的存在區(qū)間上取n + 1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 012naxxxxb利用數(shù)值計(jì)算方法尋求利用數(shù)值計(jì)算方法尋求y(x)在節(jié)點(diǎn)上的近似值：在節(jié)點(diǎn)上的近似值：y0, y1, . yn連續(xù)連續(xù) 離散離散 一階線性常微分方程初值問(wèn)題一階線性常微分方程初值問(wèn)題 012,nbaaxxxxbhnx0 x1x2xixi+1xn6.1 歐拉方法與歐拉方法與Runge-Kutta法法一、歐拉一、歐拉(Euler)

2、方法方法xn=x0+nh，h為步長(zhǎng)1. 差分方法差分方法幾何意義：幾何意義：用折線近似曲線y=y(x), 歐拉法又稱(chēng)為折線法折線法已知初值y0,依據(jù)遞推公式逐步算出y1,y2, , yn,yn+1 , 遞推公式又稱(chēng)為差分格式或差分方程，它與常微方程的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差2. 數(shù)值積分方法（也可導(dǎo)出歐拉公式）數(shù)值積分方法（也可導(dǎo)出歐拉公式）（1）顯式差分格式）顯式差分格式（單步）顯式格式（單步）顯式格式左矩形公式左矩形公式由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）y，但等式的等號(hào)左右都有：隱式，但等式的等號(hào)左右都有：隱式如如還有一種隱式：積分用梯形公式還有一種隱式：積分用梯形公式也是隱式也

3、是隱式預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)-校正公式校正公式也叫預(yù)報(bào)也叫預(yù)報(bào)-校正公式校正公式改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式二、歐拉方法的局部截?cái)嗾`差與精度二、歐拉方法的局部截?cái)嗾`差與精度前提：一個(gè)假前提：一個(gè)假設(shè)（重要！即設(shè)（重要！即所謂的局部）所謂的局部）一階精度，看書(shū)上一階精度，看書(shū)上泰勒公式：泰勒公式：類(lèi)似地，梯形公式類(lèi)似地，梯形公式/改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式-局部局部截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差有二階精度有二階精度參考第參考第5章章5.1節(jié)節(jié)P66頁(yè)頁(yè)例例 用歐拉法求初值問(wèn)題 補(bǔ)例子：歐拉補(bǔ)例子：歐拉(Euler)方法方法當(dāng)當(dāng)h = 0.02時(shí)在區(qū)間時(shí)在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解上的數(shù)值解 歐拉歐拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021再補(bǔ)例子：再補(bǔ)例子：例例 在區(qū)間在區(qū)間0, 1.5上，取上，取h = 0.1。 （