用MATLAB求解微分方程

1、1. 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 結(jié) 果：u = tan(t-c)用用MATLAB求解微分方程求解微分方程解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x

2、) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2. 用用Matlab求常微分方程的數(shù)值解求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫(kù)塔-芬

3、爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差. 1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意注意:解解: 令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(

4、2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，

5、tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、結(jié)果如圖024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一解法一（解析法）由(1),(2

6、)消去t整理得模型:(3) 151)1 (2yyx解法二解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦）處擊中乙艦2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y,y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組。解法三解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解) 設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t4. 解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t