矢量場與標(biāo)量場以及計(jì)算方法PPT課件

1、1 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 01.矢性函數(shù)矢性函數(shù) 在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P， 它是一個(gè)既存在它是一個(gè)既存在大小大小(或稱為?；蚍Q為模)又有方向特性的量，故稱為又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量實(shí)數(shù)矢量，一般用，一般用黑體黑體A表示。表示。 若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有箭頭的若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢的模，箭頭的指向表示該矢量量A的方向。的方向。 矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，矢量一旦被賦予物理單位，便

2、成為具有物理意義的矢量， 如電場強(qiáng)度如電場強(qiáng)度E、磁場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度H、速度、速度v等等。等等。第1頁/共60頁 而在實(shí)際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)而在實(shí)際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢變矢，如沿著某一曲線，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。等。 )(tAA 若某一矢量的模和方向都保持不變， 此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。 設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間Ga, b內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t, A都有一個(gè)確定的矢量A (t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為 第2頁/共60

3、頁 而而G為為A的定義域。矢性函數(shù)的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函，則矢性函數(shù)數(shù)A (t)也可用其坐標(biāo)表示為也可用其坐標(biāo)表示為 zzyyxxetAetAetAA)()()(其中其中ex、ey、ez為為x軸、軸、y軸、軸、z軸正向單位矢量。軸正向單位矢量。 終點(diǎn)一般稱為矢性函數(shù)終點(diǎn)一般稱為矢性函數(shù)A(t)的矢端曲線。的矢端曲線。第3頁/共60頁圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影 P(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxayxAzAyA第4頁/共60頁Bco

4、sAB 1） 標(biāo)量積標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量任意兩個(gè)矢量A與與B的標(biāo)量積的標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量，是一個(gè)標(biāo)量， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，所示， 記為記為 圖圖1-2 標(biāo)量積標(biāo)量積02. 矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。AB=AB cos第5頁/共60頁 任意兩個(gè)矢量任意兩個(gè)矢量A與與B的矢量積（的矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量其

5、方向垂直于矢量A與與B組成的平面，組成的平面， 如圖如圖1-3所示，記為所示，記為 矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律AB= -BA 2） 矢量積 C=AB=enAB sin en=eAeB （右手螺旋）第6頁/共60頁CBAanaBaAOC ABBA(a)(b) 圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋AeneBe第7頁/共60頁1. 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場 場場： 如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場。的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該

6、物理量的一個(gè)場。換句話說，換句話說， 在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場，在空間電一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場。（物理量的值可相等）位的分布確定了一個(gè)電位場。（物理量的值可相等）場的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間場的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，域內(nèi)， 除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的的。若該物理量與時(shí)間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場； 若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場稱為動(dòng)態(tài)場或稱為時(shí)變

7、場。第8頁/共60頁 場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如，在直角坐標(biāo)下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 標(biāo)量場在研究物理系統(tǒng)中溫度、 壓力、 密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來描述， 這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場為標(biāo)量場， 如溫度場T(x, y, z)、電位場(x, y, z)、高度場等。第9頁/共60頁zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量場 然而在許多物理系統(tǒng)中， 其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量場來描述。例如電場、磁場、流速場等等。 第10頁/共60頁

8、( , )cx y z其方程為:圖0.1.1 等高線(1) 標(biāo)量場-等值線(面)形象描繪場分布的工具場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？2.標(biāo)量場的等值面該曲面上任一點(diǎn)的函數(shù)值相等該曲面上任一點(diǎn)的函數(shù)值相等等值面充滿了場所在的空間等值面充滿了場所在的空間是單值函數(shù)，因此等值面不相交是單值函數(shù)，因此等值面不相交第11頁/共60頁zAyAxAzyxddd三維場三維場二維場二維場yAxAyxdd圖圖0.1.2 矢量線矢量線3 3矢量場矢量場-矢量線（力線）矢量線（力線）0d lA其方程為：其方程為：在直角坐標(biāo)下：在直角坐標(biāo)下：目的：形象地描繪矢量場目的：形象地描繪矢量場A A的分布的分布特點(diǎn)

9、特點(diǎn)：(1)(1)它上面每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場在該點(diǎn)的它上面每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場在該點(diǎn)的方向相同方向相同(2)(2)矢量場中的矢量線也充滿了整個(gè)場域，但它們互矢量場中的矢量線也充滿了整個(gè)場域，但它們互不相交不相交第12頁/共60頁圖圖 1-4 矢量場的矢量線矢量場的矢量線 物理意義：矢量線和場量的變化方向一致物理意義：矢量線和場量的變化方向一致矢量管：矢量管：通過場域某一曲面通過場域某一曲面s上的所有點(diǎn)的矢量上的所有點(diǎn)的矢量線的全體構(gòu)成的管狀區(qū)域。線的全體構(gòu)成的管狀區(qū)域。圖 1-5 矢量管 第13頁/共60頁0.2 標(biāo)量場的梯度 Gradient of Scalar Field1

10、.1.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) (x，y，z)，若函數(shù) 在點(diǎn) P 可微，則 在點(diǎn)P 沿任意方向 l l 的變化率稱為方向?qū)?shù)，即coscoscoscoscoscosxyzxyzlxyzxyz（） （）eeeeee,xyzxyzgeeecoscoscoslxyzeeee設(shè) 式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角l第14頁/共60頁),cos(|llleggeg則有：當(dāng) ， 最大0) , (lg el標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 沿沿l方向的方向?qū)?shù)就是矢量方向的方向?qū)?shù)就是矢量g在在l上的投影。上的投影。表明：表明：也就是只有當(dāng)也就是只有當(dāng)l的方向和的方向和g的方向一致時(shí)，方向?qū)?/p>

11、數(shù)才取得最的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)才取得最大值。大值。l的方向和的方向和g的方向垂直時(shí)，方向?qū)?shù)為零的方向垂直時(shí)，方向?qū)?shù)為零l的方向和的方向和g的方向相反時(shí)，方向?qū)?shù)為的方向相反時(shí)，方向?qū)?shù)為-1，取得最小值，此，取得最小值，此時(shí)時(shí) 減小的最快減小的最快第15頁/共60頁gradxyzgxyz eee梯度(gradient)哈密頓算子xyzeeexyz 式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義2. 梯度讀作“del(代爾)”或“nabla(那勃拉)”)第16頁/

12、共60頁 標(biāo)量場的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場與矢量場的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通過標(biāo)量函數(shù)來研究，或者說標(biāo)量場可以通過矢量場的來研究。 標(biāo)量場的梯度垂直標(biāo)量場的梯度垂直 于通過該點(diǎn)的等值于通過該點(diǎn)的等值 面（或切平面）面（或切平面）第17頁/共60頁例 0.2.1 電位場的梯度圖0.2.2 電位場的梯度電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。第18頁/共60頁 解：點(diǎn)解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx

13、或或 例1-1 求數(shù)量場 =(x+y)2- z 通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。第19頁/共60頁例例 ：試證明在點(diǎn)電荷：試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場中，電位函數(shù)的負(fù)梯度產(chǎn)生的靜電場中，電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場強(qiáng)度等于電場強(qiáng)度E.0111( )( )( )()4xyzqrrrGeeexyz222 3/2222 3/2222 3/202004()()()44yxzryexezeqGxyzxyzxyzqeqrrr解：電荷解：電荷q所產(chǎn)生的電位為所產(chǎn)生的電位為04qr22222222231121()( )2()xxyzxyzxrxxxyzr 第20頁/共60頁0.3 矢量場的通量與散度1 通

14、量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面積分dSnSA dS =AS若 S 為閉合曲面 dS ASFlux and Divergence of Vector圖0.3.1 矢量場的通量 （設(shè)曲面（設(shè)曲面S的單位法向矢量的單位法向矢量en），），An為為A在在en上的投影上的投影下 返 回外側(cè)外側(cè)所研究所研究的一側(cè)的一側(cè)第21頁/共60頁 0 0 (有正源有正源) 0 0 (有負(fù)源有負(fù)源) = = 0 0 (無源無源)圖圖0.3.2 矢量場通量的性質(zhì)矢量場通量的性質(zhì) 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ，可以根據(jù)，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì): :s

15、dsE第22頁/共60頁2 散度 ( Divergence ) 如果包圍點(diǎn) P 的閉合面 S 所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小到點(diǎn) P 時(shí)：100dlimdlim=divVVVVdVASA散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv通量可看成通量可看成V內(nèi)各點(diǎn)處的發(fā)散強(qiáng)度的體積分內(nèi)各點(diǎn)處的發(fā)散強(qiáng)度的體積分根據(jù)奧式公式根據(jù)奧式公式d()()yxzxyzSSVAAAA dydzA dzdxA dxdydVxyzAS第23頁/共60頁散度的意義 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場中處處 A=0 ，稱之為無源場。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的

16、函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。 (無源）0 A (正源) A (負(fù)源) A圖0.3.3 散度的物理意義 第24頁/共60頁0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )10limdVVSAAS圖0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯定理 VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。第25頁/共60頁0.4 矢量場的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量dcosLlAdlAl 環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。Circulation and Rotation of V

17、ector Field圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算P第26頁/共60頁水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無渦旋運(yùn)動(dòng)。圖0.4.2 流速場流體做渦旋運(yùn)動(dòng)， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。例：流速場力場中，環(huán)量力場中，環(huán)量LF dl表示力表示力F沿閉合路徑所做的功沿閉合路徑所做的功第27頁/共60頁1. 環(huán)量密度 過點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限LSSSl d1limdd0環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。注意：環(huán)量密度與所選曲面元的法線方向有關(guān)！2 旋度 ( Rotation )第28頁/共60頁2. 旋度xxyyzzAAA

18、Aeeexyzddxdydzleee設(shè)d()()()()xyzLLyyxxzzsA dxA dyA dzAAAAAAdydzdzdxdxdyyzzxxy Al得 ()()()yyxxzzxyzAAAAAArotAyzzxxyeee稱為A的旋度旋度記作rotAA 上式右面的積分可以看成是矢量上式右面的積分可以看成是矢量 穿過曲面穿過曲面s的通量，的通量，s是以曲線是以曲線l為周界的曲面。為周界的曲面。()()()yyxxzzxyzAAAAAAyzzxxyeee第29頁/共60頁 設(shè)P為矢量場中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元S，其周界為l，它的正向與面元S的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如圖所示)

19、。則矢量A沿l方向的環(huán)量為： rotnA為旋度矢量rotA在n方向的投影，利用中值定理 M為 中的某一點(diǎn)，令 向p點(diǎn)收縮，則有旋度定義的極限形式：旋度的物理意義nd(rotd(rotSSl AlA)S =A)dsnn(rotrotSSMA)ds = (A)SSPlnrotA旋渦面第30頁/共60頁旋度小結(jié)：矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。它的方向就是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值時(shí)曲面S的方向的方向其模等于環(huán)量密度的最大值。在矢量場中，若 A=J 0 稱之為旋度場（或渦旋場），J 稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處 A= 0 ，稱之為無旋場。 由此可見，由此可見， rotnA表示矢量場表示矢量

20、場A在在P點(diǎn)的環(huán)量密度，它與該點(diǎn)的環(huán)量密度，它與該點(diǎn)的曲面元的法線方向有關(guān)。當(dāng)旋度點(diǎn)的曲面元的法線方向有關(guān)。當(dāng)旋度rotA與與n的方向相同時(shí)，的方向相同時(shí)，環(huán)量密度取得最大值。環(huán)量密度取得最大值。n00rotlimlimlSSA dldSSds A=第31頁/共60頁AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeA在直角坐標(biāo)下:4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )SA)lAd(dSl矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。 在電磁場理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個(gè)非常重要的公式。第32頁/共60頁 例1-12 求矢量場A=x(z-y) ex+y(x-z)

21、ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。 解： 矢量場A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(第33頁/共60頁在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度 zyxMeeeA2n方向的單位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM第34頁/共60頁六、無源場和無旋場六、無源場和無旋場 1、無源場 矢量場A中，在場域中的每一點(diǎn)處恒有：A =0性質(zhì)1：無源場中穿過場域V中任一個(gè)矢量管的所有截面的通

22、量都相等。（證明略）性質(zhì)2：無源場存在矢勢由恒等式：0F（矢量場的旋度必為無散場）可知存在一矢量場F滿足：AF F稱為A的矢勢第35頁/共60頁=0A 2、無旋場 矢量場A中，在場域中的每一點(diǎn)處恒有：A =0性質(zhì)1：無旋場中A沿場域V中任意閉合路徑l的環(huán)量等于零。0LA dl性質(zhì)2：無旋場必可以表示為某一標(biāo)量場的梯度由恒等式：可知存在一標(biāo)量場 滿足：矢量場矢量場A稱為位勢場，稱為位勢場， 稱為位函數(shù)稱為位函數(shù)第36頁/共60頁調(diào)和場調(diào)和場散度和旋度都等于零的矢量場。散度和旋度都等于零的矢量場。為調(diào)和場為調(diào)和場A的位函數(shù)，則有的位函數(shù)，則有22222220 xyz 上式稱為拉普拉斯方程，滿足該方

23、程的解且具有上式稱為拉普拉斯方程，滿足該方程的解且具有兩階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)兩階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)如果矢量場僅為無旋場，則是兩場的位函數(shù)滿足如果矢量場僅為無旋場，則是兩場的位函數(shù)滿足泊松方程。泊松方程。如：2 第37頁/共60頁0.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理的簡單表達(dá)是：若矢量場亥姆霍茲定理的簡單表達(dá)是：若矢量場F F在無限空在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場由其散度和旋度唯一確定，限空間區(qū)域中，則矢量場由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯

24、度和一個(gè)矢量函并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和。數(shù)的旋度之和。Hymherze Theorem即在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。散度、旋度分別對(duì)應(yīng)通量源密度和漩渦源密度第38頁/共60頁在無限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場，可表示為一個(gè)無旋場A1有散度)和一個(gè)無散場A2(有旋度)之和： 12AAA其中：其中：120,0.AA121() AAAA122()JAAAA,J分為散度和旋度源，在電磁場中分別指電荷和電流分為散度和旋度源，在電磁場中分別指電荷和電流即散度和旋度源確定后，就相當(dāng)于確定了即散度和旋度源確定后，就相當(dāng)于確定了“源源”的分的分

25、布布第39頁/共60頁已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度 J 場域邊界條件在電磁場中確定一個(gè)場所須條件確定一個(gè)場所須條件第40頁/共60頁0.6 特殊形式的電磁場 如果在垂直某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F= f（x，y），則稱這個(gè)場為平行平面場。1. 平行平面場Special Forms of Electromagnetic Field如無限長帶均勻電荷直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場。0第41頁/共60頁2. 球面對(duì)稱場 如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），場 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），則稱

26、這個(gè)場為球面對(duì)稱場。 如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場；帶電球體產(chǎn)生的電場。0第42頁/共60頁1.2 三種常用坐標(biāo)系中的矢量場三種常用坐標(biāo)系中的矢量場直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系場點(diǎn)的坐標(biāo)位置場點(diǎn)的坐標(biāo)位置矢量的坐標(biāo)分量矢量的坐標(biāo)分量第43頁/共60頁位置矢量位置矢量xyzrxeyeze距離矢量距離矢量Rrrxx xyy yzz z()() ()Rrrxxyyzz()()()222( , , )( , , )( , , )x y zzr ),(),(),(rfzfzyxf)(rfPO1P2PO第44頁/共60頁直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 場點(diǎn)的坐標(biāo)位置場點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x,y,z)

27、,(z圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系020z柱坐標(biāo)系中任一點(diǎn)表示為 ，點(diǎn) 是三個(gè)坐標(biāo)曲面 ， ， 的交點(diǎn)。 ( , , )Mz 1111( , , )Mz 111zz 第45頁/共60頁第46頁/共60頁直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系xyzzcossinxyyxzz22arctan第47頁/共60頁),(r圓球坐標(biāo)系圓球坐標(biāo)系2000 r第48頁/共60頁直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓球坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與圓球坐標(biāo)系坐標(biāo)的關(guān)系cossinsincossinrzryrxxyzyxzyxrarctanarctan22222第49頁/共60頁z 垂直于垂直于Z軸及軸及

28、 點(diǎn)組成的平面，沿點(diǎn)組成的平面，沿 增大一側(cè)的方向。增大一側(cè)的方向。),(z:z在在 點(diǎn)，平行與點(diǎn)，平行與Z軸的方向。軸的方向。),(zXYZ),(zPOr以以Z為軸，半徑為為軸，半徑為 的圓柱面在的圓柱面在 點(diǎn)的外法點(diǎn)的外法線方向。線方向。),(z:矢量場的圓柱坐標(biāo)系分量矢量場的圓柱坐標(biāo)系分量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量z第50頁/共60頁xyzPz( , , ) o zxyoArA r()()ArA r()()ArA rzz()()cossinxysincosxy cossinxsincosy矢量場的圓柱坐標(biāo)系分量矢量場的圓柱坐標(biāo)系分量第51頁/共60頁 矢量矢量 在在 點(diǎn)點(diǎn) 的直

29、角坐標(biāo)分量與柱坐標(biāo)分量的轉(zhuǎn)換矩陣：的直角坐標(biāo)分量與柱坐標(biāo)分量的轉(zhuǎn)換矩陣：rAzyxzAAAAAA1000cossin0sincoszzyxAAAAAA1000cossin0sincos第52頁/共60頁柱坐標(biāo)系的體積元ddd d dz 過空間任意點(diǎn)過空間任意點(diǎn) 的坐標(biāo)單位矢量的坐標(biāo)單位矢量為為 。它們相互正交，而且遵。它們相互正交，而且遵 循循 的右手螺旋法則。的右手螺旋法則。1111( , , )Mz ,zaaazaaad 第53頁/共60頁矢量場的圓球坐標(biāo)系分量矢量場的圓球坐標(biāo)系分量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量圓柱坐標(biāo)軸單位矢量r 以以 半徑，原點(diǎn)為球心的球面在半徑，原點(diǎn)為球心的球面在 點(diǎn)的外法點(diǎn)的外法線方向。線方向。r),(r: r垂直于過垂直于過Z軸及軸及 點(diǎn)組成的平面，沿點(diǎn)組成的平面，沿 增大一側(cè)的方向。增大一側(cè)的方向。),(r:以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，Z為軸的圓錐在為軸的圓錐在點(diǎn)的外法線方向。點(diǎn)的外法線方向。),(rXYZPOr r第54頁/共60頁矢量場的圓球坐標(biāo)系分量矢量場的圓球坐標(biāo)系分量),(),( ),(),(rArArrArArcossinsinsincos