微分方程部分講課件

1、 微分方程模型微分方程模型1 1 人口增長預測人口增長預測2 傳染病模型傳染病模型3 經(jīng)濟增長模型經(jīng)濟增長模型4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長

2、1. 如何預報人口的增長如何預報人口的增長指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻時刻t的人口的人口基本假設基本假設 : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應用及局限性指數(shù)增長模型的應用及局限性 與與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口

3、統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測可用于短期人口增長預測 不符合不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長期的人口增長過程不能預測較長期的人口增長過程1919世紀后人口數(shù)據(jù)世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對

4、人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設假設) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型

5、作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)預報，必須先估計模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗模型檢驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較/ )1990(

6、1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應用模型應用預報美國預報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用模型在經(jīng)濟領域中的應用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.02. 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受

7、感染人數(shù)的變化規(guī)律 預報傳染病高潮到來的時刻預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設假設ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidt

8、di1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設假設1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)）每個病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率)

9、 tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設增加假設SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個感染期內(nèi)一個感染期內(nèi)每個病人的每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)

10、接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)

11、療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時當BKK,1/000勞動

12、力增長率小于初始投資增長率勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長增長dZ/dt03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件dtdyyfdtdZ104. 4. 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進入機體形成藥物進入機體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) ) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設計給藥方案設計 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動力學藥物動力學 建立建立房室模型房室模型藥物動力學的基本步驟藥物動力學的基本步驟 房室房室機體的一

13、部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假設模型假設 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，藥物在房室間轉(zhuǎn)移速

14、率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進入中心室，在二室間藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對應齊次對應齊次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()

15、()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時注射劑量瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室的藥物進入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和初始條件和初始條件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkV

16、BAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當于藥物相當于藥物( 劑量劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計參數(shù)估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n