分岔與奇怪吸引子ppt課件

1、第二章第二章 分岔與奇異吸引子分岔與奇異吸引子第一節(jié) 簡單數(shù)學(xué)分岔第二節(jié) 平方映射與倍周期分岔第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程第四節(jié) 李雅普諾夫指數(shù)與奇異吸引子分岔與奇異吸引子分岔與奇異吸引子第一節(jié)第一節(jié) 簡單數(shù)學(xué)分岔簡單數(shù)學(xué)分岔 引言引言 分岔概念分岔概念 1 1 切分岔切分岔 2 2 轉(zhuǎn)換鍵型分岔轉(zhuǎn)換鍵型分岔 3 3 叉式分岔叉式分岔 4 4 霍夫型分岔霍夫型分岔彈性壓桿的分岔引言引言 分岔概念分岔概念 分岔是一種普遍的自然景象。力學(xué)上指分岔是一種普遍的自然景象。力學(xué)上指一種力學(xué)形狀在臨界點發(fā)生的轉(zhuǎn)變、分開一種力學(xué)形狀在臨界點發(fā)生的轉(zhuǎn)變、分開或一分為二。如：一根受力的彈性壓桿當(dāng)或一分為二。

2、如：一根受力的彈性壓桿當(dāng)壓力超越壓桿的臨界負荷時，會出現(xiàn)彎曲。壓力超越壓桿的臨界負荷時，會出現(xiàn)彎曲。 許多重要物理景象數(shù)學(xué)上可以某類微分許多重要物理景象數(shù)學(xué)上可以某類微分方程來描畫。數(shù)學(xué)上分岔研討非線性微分方程來描畫。數(shù)學(xué)上分岔研討非線性微分方程當(dāng)某一參數(shù)變化時其解發(fā)生突變的臨方程當(dāng)某一參數(shù)變化時其解發(fā)生突變的臨界點附近的行為。界點附近的行為。 在Ps 平面上 當(dāng) PPc 時有三種平衡形狀：堅持直線(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同平衡形狀的分岔點為 Pc。這時堅持直線是不穩(wěn)定的，稍有擾動平衡形狀便會偏向 +s 或 -s 。兩種偏向 +s 或 -s 形狀是穩(wěn)定的。2xdtdx0/dt

3、dx0 x1. 切分岔切分岔數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 利用方程： 由 得平衡點 (a)當(dāng)0時,解 x0 為虛數(shù)，因此不存在奇點， (b)當(dāng)0時出現(xiàn)兩個奇點, ， 闡明上述方程的解在 x0=0 處發(fā)生了分裂。 0 兩個奇點的穩(wěn)定性 在解 x0 附近取一點，計算它與平衡點間隔隨時間變化。設(shè)間隔：隨時間變化：0 x0 xx 20)(xdtdxdtd02 xdtd忽略高階量解 ，當(dāng) 時， ，此解是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的結(jié)點。解 ，當(dāng) 時， ，解是不穩(wěn)定的，它是鞍點。 切分岔是一個鞍結(jié)分岔 相流外形0 xt00 xt)2exp()(00txt02 xdtd 解的穩(wěn)定性與相流解的穩(wěn)定性與相流1. 切分岔切分岔解2 轉(zhuǎn)換

4、鍵型分岔轉(zhuǎn)換鍵型分岔利用方程：解在分岔點 ( x0 ,)(0,0) 處發(fā)生轉(zhuǎn)機，故稱 轉(zhuǎn)換鍵型分岔 解的穩(wěn)定性 采用與分析切分岔穩(wěn)定性同樣的方法，知： 0，平衡點 x0=0 是穩(wěn)定的,平衡點 x0= -m 是不穩(wěn)定的； 0，平衡點 x0=0 是不穩(wěn)定的，平衡點x0= +m 是穩(wěn)定的。 0/dtdx000 xx2xxdtdx數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型平衡點 由分岔圖可見，0或0都是一對鞍結(jié)點： 0時， 軸線是結(jié)點， 是不穩(wěn)定的； 0時， 的軸線是不穩(wěn)定的， 是穩(wěn)定結(jié)點。 由鞍點與穩(wěn)定結(jié)點附近的相軌線流向，轉(zhuǎn)換鍵型分岔的相流外形如以下圖。00 xx0 00 x0 x2 轉(zhuǎn)換鍵型分岔轉(zhuǎn)換鍵型分岔相流相流3 叉

5、式分岔叉式分岔利用方程： 由 得平衡點分岔圖籠一致把叉子，故稱岔式分岔。解的穩(wěn)定性：0時只需 x0= 0 的平衡點，經(jīng)分析方法可知它是穩(wěn)定的。0有三個平衡點， x0= 0 是不穩(wěn)定的，解 是穩(wěn)定的。 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型0/dtdx000 xx0 x相流圖形相流圖形3xxdtdx杜芬方程具有叉式分岔杜芬方程具有叉式分岔由勢能曲線知：由勢能曲線知： a. 在在 時僅有一個平衡點：時僅有一個平衡點： b.在在 時存在三個平衡點：時存在三個平衡點：可見在參數(shù)可見在參數(shù) k = 0 處發(fā)生了一次從單解處發(fā)生了一次從單解轉(zhuǎn)為三解的叉式分岔。轉(zhuǎn)為三解的叉式分岔。 c.在這三個平衡點中，在這三個平衡點中， ，處

6、，處在勢能極小點，是穩(wěn)定的；在勢能極小點，是穩(wěn)定的； 處在處在勢能極大點，是不穩(wěn)定的平衡點。勢能極大點，是不穩(wěn)定的平衡點。3 叉式分岔叉式分岔0322xxdtxd00 x0 x0 xx0 x杜芬方程的叉式分岔杜芬方程的叉式分岔4 霍夫型分岔霍夫型分岔dxdtyxxydydtxyxy ()()2222 數(shù)學(xué)模型引入極坐標(biāo)引入極坐標(biāo)xy22dxdtddtdydtddt cossincoscos求導(dǎo)求導(dǎo)代入原方程代入原方程令正弦余弦系數(shù)相等令正弦余弦系數(shù)相等sincosyx1)(2dtddtd 對方程 積分,可得：C，t0 為積分常數(shù)。1.01.0，間隔，間隔r r 隨時間而縮短，當(dāng)時間隨時間而縮短

7、，當(dāng)時間 時時 。闡明。闡明軸線上軸線上 各點是穩(wěn)定的焦點。各點是穩(wěn)定的焦點。2. 2. 0 0，r r 值隨時間增長，不論初始值隨時間增長，不論初始 r r 的大小；當(dāng)?shù)拇笮?；?dāng) 時時構(gòu)成閉合圈即極限環(huán)構(gòu)成閉合圈即極限環(huán)4.霍夫型分岔霍夫型分岔分岔分析分岔分析020)1/(0)2/(1ttCeCtt1)(2dtddtd0tt參數(shù)參數(shù)從負變到正，從焦點產(chǎn)生出從負變到正，從焦點產(chǎn)生出極限環(huán)極限環(huán), ,這種分岔稱霍夫分岔。分這種分岔稱霍夫分岔。分岔點位于岔點位于=0=0。范德玻耳方程分岔范德玻耳方程分岔012222xdtdxxdtxd引進參數(shù)作用量I 與角度量q22sin21cos2IIdtdIc

8、os2Ix 相位求平均 2C/0/dtdIICIdtdI2平衡點：平衡點： 2021CII 對于平衡點 I2 鄰域有: 為初始對I2 的偏離量。作用量 I 對的偏離量 隨時間指數(shù)減小。當(dāng) ， , , I2 是穩(wěn)定 的解。 )exp()(0tItI0It0ICI 4.霍夫型分岔霍夫型分岔 對于平衡點 I1 鄰域有: I0 是初始對 I1 的偏離小量。作用量I 隨時間指數(shù)增長, I1是不穩(wěn)定解, 為不穩(wěn)定焦點。)exp()(0tItI范德玻耳方程分岔范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔霍夫型分岔結(jié)論結(jié)論 范德玻耳方程霍夫型分岔與參范德玻耳方程霍夫型分岔與參數(shù)的數(shù)的e e 正負有關(guān)。上面討論的是正負有關(guān)。

9、上面討論的是 e e 為正值情況，即：為正值情況，即： 假設(shè)假設(shè) e e 為正值，相平面上坐標(biāo)原為正值，相平面上坐標(biāo)原點是不穩(wěn)定的焦點，而極限環(huán)是穩(wěn)定點是不穩(wěn)定的焦點，而極限環(huán)是穩(wěn)定的。不論初始相點處于環(huán)內(nèi)還是環(huán)外的。不論初始相點處于環(huán)內(nèi)還是環(huán)外， 時總是趨向于極限環(huán)。時總是趨向于極限環(huán)。 假設(shè)假設(shè) e e 為負值，情況剛好相反，為負值，情況剛好相反，坐標(biāo)原點變?yōu)榉€(wěn)定的焦點，為系統(tǒng)的坐標(biāo)原點變?yōu)榉€(wěn)定的焦點，為系統(tǒng)的不動點，而極限環(huán)那么是不穩(wěn)定的。不動點，而極限環(huán)那么是不穩(wěn)定的。當(dāng)當(dāng) 時，環(huán)內(nèi)相點趨于不動點，時，環(huán)內(nèi)相點趨于不動點，環(huán)外相點那么遠離環(huán)而去。環(huán)外相點那么遠離環(huán)而去。012222xd

10、tdxxdtxdtt第二節(jié)第二節(jié) 平方映射與倍周期分岔平方映射與倍周期分岔 1. 平方映射2. 平方映射的不動點及其穩(wěn)定性3. 平方映射的周期解及其穩(wěn)定性4. 倍周期分岔的功率譜 物理學(xué)上一個動力學(xué)系統(tǒng)可以用延續(xù)變量表示，也可以用離散數(shù)表示。一個以為延續(xù)變量的單參數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)：這里 為系統(tǒng)參數(shù)。設(shè)系統(tǒng)形狀作等間隔 t，t+1，t+2，t+3，變化，那么時間演化方程改寫為：當(dāng)時間間隔不取整數(shù)，各時辰寫成 相應(yīng)的形狀為：時間演化方程變成離散方程：數(shù)學(xué)上稱為映射的方程。在非線性開展史上第一個將映射方程用于研討系統(tǒng)進入混沌形狀的是美國科學(xué)家梅(May Robert) yfx( , )x tfx t(

11、)( , ( )1)(nntxx ),(1nnxfx映射方程1平方映射平方映射 nxxx,21tnttttttttn00201,2,映射方程計算映射方程計算對一個映射 的計算采用的是迭代方法。即給定一個初值 將其代入映射計算得 ，將 代入映射計算得 ，由 可算得 ，如此不斷計算得：例如： 一個簡單映射 1 次迭代： 2 次迭代： n 次迭代：于是有：假設(shè)將 值看成為一條線上的一個點，那么該組數(shù)值就構(gòu)成一條軌道。nnAxx100)(xAAxAAxnn1平方映射平方映射 ),(1nnxfx01Axx 0 x1x1x2x3xnx02012)(xAAxAAxxnxxxx,321ix2x動力學(xué)系統(tǒng)用延續(xù)

12、變量表示為微分方程，離散數(shù)表示時為映射(map)，兩者對應(yīng)關(guān)系為：映射與微分方程對應(yīng)關(guān)系映射與微分方程對應(yīng)關(guān)系nnAxx1迭代計算0 xAxnnAxdtdx解方程 Atexx01平方映射平方映射 平方映射導(dǎo)出平方映射導(dǎo)出生態(tài)平衡方程生態(tài)平衡方程 1838年，生物學(xué)家伏埃胡斯脫Verhulst在研討生物種群演化時提出一種想象：一個世代交替的生物種群是在一個受制約的環(huán)境中生息繁衍的。 第 n 代有: 第 n+1 代有:A 如不思索生存環(huán)境對種群生存的影響，第 n 代與第 n+1代有如下關(guān)系： 當(dāng) R 1，種群數(shù)量將線性地?zé)o限制增長。 B 種群受環(huán)境制約，數(shù)量有最大限額 ，種群繁衍空間 第 n 代與

13、第 n+1代關(guān)系 1平方映射平方映射 nN1nNnnRNN10NnNN 0)(01nnnNNRNN)1 (01NNNNnnn0NR)1 (1nnnxxx0/ NNxnn平方映射計算)1 (1nnnxxx21)1 (nnnnnxxxxx 方程展開 xn+1 值與 xn 值是平方關(guān)系，稱平方映射，文獻中稱洛吉斯蒂映射 (logistic map), 該式是拋物線表示式，也稱拋物映射。 由于親、子兩代種群數(shù)約化值，在0 1間，參數(shù)取值在0，4內(nèi)。 離散映射采用迭代計算。即給定參數(shù) m 值與初始值 x0 ，就有： 設(shè)： 各次計算值為： 在此參數(shù)下，計算結(jié)果趨向一個終值：1.平方映射平方映射 xxx11

14、00()xxx211()11 . 0, 4 . 20 x1 . 00 x216. 0) 1 . 01 ( 1 . 04 . 2)1 (001xxx578985. 03x5859465. 04x58227. 05x583755. 06x583335. 0 x40642. 0)1 (112xxx作圖計算作圖計算預(yù)備:1. 坐標(biāo)2. 作條拋物線：3. 作的對角線，稱恒等線經(jīng)過它做投影。1.平方映射平方映射 nnxx1nnxx1平方映射平方映射 在在 平面上是一條拋物線，拋平面上是一條拋物線，拋物線高度由物線高度由 m 值決議。值決議。nnxx1)1 (1nnnxxx)1 (1nnnxxx作圖計算作圖

15、計算在橫坐標(biāo)x0 處作豎直線與拋物線相交，交點為 x1。從此點作程度線與對角線相交，此交點橫坐標(biāo)為 x1。由橫坐標(biāo) x1 作垂線，與拋物線相交 x2，移植到對角線上，得橫坐標(biāo)x2 。作圖過程象結(jié)網(wǎng)，趨向于恒等線與拋物線交點 B，這是計算的終值。 1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一條拋物線，拋平面上是一條拋物線，拋物線高度由物線高度由 m 值決議。值決議。nnxx1)1 (1nnnxxx作圖計算作圖計算1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一條拋物線，拋平面上是一條拋物線，拋物線高度由物線高度由 m 值決議。值決議。nnxx1)1 (1nnnxxx平方映射的

16、不動點 經(jīng)過作圖或數(shù)值計算闡明，計算可以得到一個不變的終值，它被稱為映射的不動點。一個映射的不動點就是xi與xi+1一樣時的數(shù)值，它不再因繼續(xù)迭代而發(fā)生變化。對平方映射，不動點為：解此方程得：即有兩個不動點。 實踐上，兩個不動點就是拋物線與迭代線的兩個交點A與B。 拋物線的高度與值有關(guān)，最大高度在 m=1/2 處且等于/4。 假設(shè)參數(shù) 較小(m1)，拋物線高度較低，它與迭代線只需一個交點，即原點A。在這種情況下，不論初值如何迭代最終趨于原點，原點是獨一的不動點。xxxiii()10ix/ ) 1(ix2 .平方映射的不動點平方映射的不動點平方映射的兩個不動點2 .平方映射的不動點平方映射的不動

17、點11時走向不動點時走向不動點 A A 當(dāng)參數(shù)m1 時平方映射會出現(xiàn)第二個不動點。以下圖 m 值為2.0與1.8時的迭代，可以看到雖然起始值很小，但每次迭代值添加，這是一個指數(shù)增長并最終穩(wěn)定的過程。終值與起始值無關(guān)。2 .平方映射的不動點平方映射的不動點2.3 時振蕩走向不動點B 當(dāng) 值增大到2.3 時，迭代結(jié)果開場出現(xiàn)振蕩起伏，然后逐漸穩(wěn)定在某個數(shù)值。例如，當(dāng) 2.8 時，迭代值經(jīng)過多次衰減振蕩后逐漸穩(wěn)定。 2.3 2.3 時經(jīng)過振蕩時經(jīng)過振蕩走向不動點走向不動點B B2 .平方映射的不動點平方映射的不動點 不動點的穩(wěn)定性不動點的穩(wěn)定性 非線性動力學(xué)中心問題之一就是研討系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。非線

18、性動力學(xué)中心問題之一就是研討系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 上述計算可見，當(dāng)上述計算可見，當(dāng)3迭代值出現(xiàn)繼續(xù)振蕩，迭代值出現(xiàn)繼續(xù)振蕩，闡明迭代在闡明迭代在= 3附近發(fā)生了變化，穩(wěn)定不動點變得不穩(wěn)定了。附近發(fā)生了變化，穩(wěn)定不動點變得不穩(wěn)定了。 如一維映射如一維映射 具有不動點，即有解具有不動點，即有解 設(shè)設(shè) en 為對不動點的偏離量，需繼續(xù)迭代，有：為對不動點的偏離量，需繼續(xù)迭代，有：對右邊在對右邊在 x* 附近展開：附近展開：略去的高階小項，利用不動點方程那么得：略去的高階小項，利用不動點方程那么得：對于穩(wěn)定的不動點，對于穩(wěn)定的不動點， 應(yīng)有：應(yīng)有： ，即，即對于不穩(wěn)定的不動點對于不穩(wěn)定的不動點, 應(yīng)有應(yīng)

19、有: ，即，即 2 .平方映射的不動點平方映射的不動點 ),(n1+nxfxxfx( ,),(n1+nxfxn*x=x1+n),(),(xxfxfxmfxxn+1nx=x*( , )n+1n1mn1+nm 1不動點的穩(wěn)定性 n+1n1m1m01m 10m0mx對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有 ,即：即：映射在不動點處斜率為映射在不動點處斜率為 45迭代單調(diào)的趨近于迭代單調(diào)的趨近于 x迭代經(jīng)過幾次起伏趨近于迭代經(jīng)過幾次起伏趨近于超穩(wěn)定不動點，最有利的穩(wěn)定超穩(wěn)定不動點，最有利的穩(wěn)定情況，迭代圖上對應(yīng)于情況，迭代圖上對應(yīng)于2/11nnxx2 .平方映射的不動點平方映射的不動點 不動點的穩(wěn)

20、定性 n+1n1mx對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有 ,即：即：x2 .平方映射的不動點平方映射的不動點 二周期解 當(dāng)參數(shù)從=2.8 繼續(xù)增大時，迭代出現(xiàn)的振蕩將維持下去，這種情況稱為周期解。圖為= 3.2時迭代情況，取 x0=0.04，在迭代進展幾次后，其終值在一大一小的兩個定值之間騰躍，并與起始值無關(guān)，稱為周期2 軌道運動。3.平方映射的周期解平方映射的周期解 =3.2 時時xn+1在一大一小兩個值間騰躍在一大一小兩個值間騰躍周圍期解 值進一步增大時迭代會出現(xiàn)的振蕩起伏。值增大到3.5 以上，迭代的終值起伏每隔四次出現(xiàn)反復(fù)，稱為周期 4 軌道運動。圖為 =3.52 時的 xn+

21、1n 曲線，仍取x0=0.2為起始值。 =3.52 xn+1出現(xiàn)出現(xiàn)4周周 期循環(huán)期循環(huán) 3.平方映射的周期解平方映射的周期解倍周期解序列 計算闡明，隨 m 的添加，穩(wěn)定的周期軌道還在添加，于是可得如下倍周期分岔序列。 1.00 m 3.00 周期1軌道(不動點) 3.00 m 3.4495 周期2軌道 3.4495 m 3.5541 周期4軌道 3.5541 m 3.5644 周期8軌道 3.5644 m 3.5688 周期16軌道 通常在確定的值下，迭代會進入一個周期 p的反復(fù)循環(huán)，即在次數(shù) in 后迭代有： xn， xn+1， ， xn+p-1 xn+p， xn+p+1， ， xn+2p

22、-1反復(fù)一樣的值，稱為周期 p 軌道。如 P =1，稱周期1軌道，為不動點；p = 2為周期2軌道，p = 4為周期4軌道。迭代也會進入軌道點xi永不反復(fù)情況，即無周期形狀。但假設(shè)每迭代一定次數(shù)，軌道點雖沒有準(zhǔn)確回到某個初始點xk，但與該點非常接近，那么這種情況稱為準(zhǔn)周期軌道。它可看作無限長周期軌道。3.平方映射的周期解平方映射的周期解 參數(shù)的變化引起軌道的周期性發(fā)生變化，類似于不動點的穩(wěn)定性，映射的周期解也有一個穩(wěn)定性問題。平方映射在=3.3時，對周期1軌道是不穩(wěn)定的，但對周期2軌道來說可滿足穩(wěn)定性條件。對于周期 2 軌道： 代入映射方程：復(fù)雜的表達式作圖出來很清楚，這是一條M形曲線。上圖為

23、 曲線,以下圖為 曲線。周期2的穩(wěn)定性 3.平方映射的周期解平方映射的周期解xxn+2n , 4333232222221n1n1nn2)()()(),(),(nnnnnnnnxxxxxxxxxxxfxfff x()n)(nxff周期2的穩(wěn)定性 周期軌道與不動點之間具有類似性。根據(jù)上述對 的計算： 體系 有一個周期2軌道 體系 應(yīng)有兩個不動點。 對=3.3，f(f(m,xn) 有四個不動點： 其中 與 是 的不動點，對應(yīng)周期1軌道； 剩下兩個點即是周期 2 軌道點。),(n1+nxfxxffxnn( ( ,)ffx( ( ,)n01x479. 02x697. 03x01x697. 03x823.

24、 04xf x()n3.平方映射的周期解平方映射的周期解多周期軌道的穩(wěn)定性 知 的不動點穩(wěn)定性條件為：即在不動點處斜率小于45。對于周期 2軌道，設(shè) 有解 。那么在 的不動點處應(yīng)有： 結(jié)論：周期2的不動點的穩(wěn)定性決議于與兩點處函數(shù)點的斜率。 推行到恣意的周期軌道，即從求出周期 n 軌道的不動點。然后由 m 斷定其穩(wěn)定性。),(nxffxn*x),(n1xfxn1),(*x=xn1+nxxfm),(n2xffxn1)(*xnndxxfdf1)(*)(*xnxxfndxdfdxdfdxxfdfm3.平方映射的周期解平方映射的周期解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)鏈法那么 次nnn)(xfffx 1)(*)(*xnxxfndxdfdxdfdxxffdfm功率譜 表示一個非線性系統(tǒng)的運動形狀，除采用時域方法振動的時間圖表示外，更多地運用了相圖形狀圖表示方法。此外頻譜表示也是一種重要的分析方法。隨著參數(shù)值的添加，平方映射出現(xiàn)了軌道周期成倍加長的倍周期分岔。從頻譜角度看，每次分岔意味著頻譜圖中出現(xiàn)一批對應(yīng)的新