波動方程和行波法

1、1物理學專業(yè)必修課程物理學專業(yè)必修課程數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法Mathematical Method in Physics西北師范大學物理與電子工程學院西北師范大學物理與電子工程學院2第一章第一章 波動方程和行波法波動方程和行波法3引言引言1.1 弦振動方程弦振動方程1.2 行波法行波法4 數(shù)理方程（泛定方程）（三類）在物數(shù)理方程（泛定方程）（三類）在物理學的研究中起著重要作用。如何從物理學的研究中起著重要作用。如何從物理學的實際問題中導出數(shù)理方程呢？我理學的實際問題中導出數(shù)理方程呢？我們先從弦振動方程入手。們先從弦振動方程入手。引引 言言5基本步驟：基本步驟：1.建立坐標系（時間，空間）建立

2、坐標系（時間，空間）2.選擇表征所研究過程的物理量選擇表征所研究過程的物理量 u表征物理量的選擇常常是建立一個新表征物理量的選擇常常是建立一個新方程的起點。方程的起點。 （一個或幾個）。（一個或幾個）。 定量化數(shù)學模型數(shù)學模型物理模型物理模型6 3.尋找（猜測）物理過程所遵守的尋找（猜測）物理過程所遵守的物理定律或物理公理物理定律或物理公理; 4.寫出物理定律的表達式，即數(shù)學寫出物理定律的表達式，即數(shù)學模型。模型。7 一一、弦的橫振動方程弦的橫振動方程 二二、定解條件的提出定解條件的提出 三三、三類定解問題三類定解問題1.1 弦振動方程弦振動方程8一、一、 弦的橫振動方程（均勻弦的微小橫振動）

3、弦的橫振動方程（均勻弦的微小橫振動） 演奏弦樂（二胡，提琴）的人用弓在弦上來回演奏弦樂（二胡，提琴）的人用弓在弦上來回拉動，弓所接觸的是弦的很小的一段，似乎只能引拉動，弓所接觸的是弦的很小的一段，似乎只能引起這個小段的振動，實際上振動總是傳播到整個弦，起這個小段的振動，實際上振動總是傳播到整個弦，弦的各處都振動起來。振動如何傳播呢？弦的各處都振動起來。振動如何傳播呢？9 實際問題：設有一根細長而柔軟的弦實際問題：設有一根細長而柔軟的弦,緊緊繃于繃于A，B兩點之間，在平衡位置附近產生振幅兩點之間，在平衡位置附近產生振幅極為微小的橫振動（以某種方式激發(fā)，在同一極為微小的橫振動（以某種方式激發(fā)，在同

4、一平面內，弦上各點的振動方向相互平行，且與平面內，弦上各點的振動方向相互平行，且與波的傳播方向（弦的長度方向）垂直），求弦波的傳播方向（弦的長度方向）垂直），求弦上各點的運動規(guī)律。上各點的運動規(guī)律。1. 物理模型物理模型102. 分析分析 弦是柔軟的，即在放松的條件下，把弦弦是柔軟的，即在放松的條件下，把弦彎成任意的形狀，它都保持靜止?？嚲o后，彎成任意的形狀，它都保持靜止?？嚲o后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為弦中的相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為弦中的張力，張力沿線的切線方向。張力，張力沿線的切線方向。11 由于張力的作用，一個小段的振動必帶動它由于張力的作用，一個小段的振動必帶動它的鄰段

5、，鄰段又帶動它自己的鄰段，這樣一個的鄰段，鄰段又帶動它自己的鄰段，這樣一個小段的振動必然傳播到整個弦，這種振動的傳小段的振動必然傳播到整個弦，這種振動的傳播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質弦（其質量只有張力播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質弦（其質量只有張力的幾萬分之一）。跟張力相比，弦的質量完全的幾萬分之一）。跟張力相比，弦的質量完全可以略去?？梢月匀?。12 模型實際上就是：柔軟輕質細弦（模型實際上就是：柔軟輕質細弦（“沒沒有質量有質量”的弦）的弦） 將無質量的弦緊繃，不振動時是一根直將無質量的弦緊繃，不振動時是一根直線，取為線，取為 x 軸。軸。 將弦上個點的橫向位移記為將弦上個點的橫向位移記為 ( , )uu

6、x t13 已知：線密度已知：線密度 ( , )(),xtt重量不計，重量不計，( , )T x t沿切線方向，不隨沿切線方向，不隨x變化，弦中變化，弦中各點的張力相等（小振動下各點的張力相等（小振動下T 與與t 也無關）也無關）. 張力張力 研究方法：連續(xù)介質，微積分思想，研究方法：連續(xù)介質，微積分思想，任意性。任意性。143. 研究建立方程研究建立方程 如圖，選弦繃緊時（不振動）直線為如圖，選弦繃緊時（不振動）直線為 x 軸軸 uF2Ts11T20 xxx xAB15為表征物理量。為表征物理量。 弦離開平衡位置的位移記為弦離開平衡位置的位移記為 ( , ),u x t因弦的振動是機械振動，

7、基本規(guī)律為：因弦的振動是機械振動，基本規(guī)律為： ,Fma然而弦不是質點，故然而弦不是質點，故 Fma對整根弦并不適用。但整根弦可以細分為許對整根弦并不適用。但整根弦可以細分為許多極小的小段，每個小段可以抽象為質點。多極小的小段，每個小段可以抽象為質點。16即整根弦由相互牽連的質點組成，對每個即整根弦由相互牽連的質點組成，對每個質點即每個小段可應用質點即每個小段可應用 .Fma 方法：方法：將連續(xù)分布的介質離散化為多質點將連續(xù)分布的介質離散化為多質點系統(tǒng)，再取內部任一代表性的點進行研究。將系統(tǒng)，再取內部任一代表性的點進行研究。將弦細分為許多極小的小段，取區(qū)間上弦細分為許多極小的小段，取區(qū)間上 小

8、段為代表。無質量且柔軟，故該段僅受到相小段為代表。無質量且柔軟，故該段僅受到相鄰兩段的拉力鄰兩段的拉力 .( ,)x xdx1T和和 2T17 對弦的每一小段對弦的每一小段dx,沿沿x方向（縱向）方向（縱向）沒有運動，沿沒有運動，沿 x方向所受合外力為零。任一方向所受合外力為零。任一小段弦在振動過程中只受到相鄰段對它的張小段弦在振動過程中只受到相鄰段對它的張力和施加在弦上的外力。力和施加在弦上的外力。 設單位長度上受到的橫向外力為設單位長度上受到的橫向外力為 ( , ).F x t18 于是由牛頓第二定律對于是由牛頓第二定律對 dx 所對應的這一小所對應的這一小段弦有段弦有:沿沿 x方向（縱向

9、）：方向（縱向）： 11cosT22cosT沿沿 方向（縱向）：方向（縱向）： 22sinT11sinTy2211coscos0TT2211sinsin()ttTTFdsds u19近似：近似：考慮小的振動，考慮小的振動， 1，2為小量。為小量。 24111cos112!4! 其中其中: 是弦的線密度，即單位長度的是弦的線密度，即單位長度的ds為為 dx對應弧長，對應弧長， u為弦的橫向為弦的橫向ttu為弦的橫向加速度。為弦的橫向加速度。 質量，質量，位移，位移，2024222cos112!4! 35111111sintan3!5!35222222sintan3!5!222()()1()xds

10、dxduudx1tantanxxx dxuudxxu 21于是、化簡為：于是、化簡為：21xx dxxxttT uTuFdxdxu兩點間任一時刻橫兩點間任一時刻橫小振動近似：小振動近似： xdx與與 x(, )( , )u xdx tu x t與與 dx相比是一相比是一1xu向位移之差向位移之差 個小量，即個小量，即 22即即21(, )( , )xxttT uxdx tTux tFdxdxu令令 21TTT則上式為則上式為: 1(, )( , )xxttT uxdx tTux tFdxdxu23應用微積分中值定理應用微積分中值定理:1(, )( , )xxxxuxdx tTux tu dx(

11、 )dyfx dxxxttTu dxFdxdxuttxxuTu F1(, )( , )xxxxuxdx tTux tu dxttxFdxdxu24即即2ttxxua uf 弦的強迫橫振動方程弦的強迫橫振動方程其中其中: 2TaFf， 量綱分析：量綱分析： 2:T MLT，1:ML25222:aL T即即a：振動的傳播速度：振動的傳播速度 Ta它與弦的張力的平方根成正比，與弦的它與弦的張力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比。線密度的平方根成反比。 2221:TM LTL TM L 26 對樂器來講，意味著弦繃的越緊，波速越大；對樂器來講，意味著弦繃的越緊，波速越大；弦的質料越密，波速越小

12、。弦的質料越密，波速越小。則得弦的自由橫振動方程：則得弦的自由橫振動方程： 2ttxxua u2ttxxua uf消失，即消失，即 0f 上式上式中中,外力外力 f 27 注意：注意：上述推導過程中，并沒有考慮重力。上述推導過程中，并沒有考慮重力。不僅弦振動，一維波動方程，如彈性桿的橫振不僅弦振動，一維波動方程，如彈性桿的橫振動。二維波動方程，如薄膜的橫振動方程，管動。二維波動方程，如薄膜的橫振動方程，管道中小振動的傳播，理想傳輸線的電報方程等道中小振動的傳播，理想傳輸線的電報方程等均可用上述波動方程描述。故稱為一類方程，均可用上述波動方程描述。故稱為一類方程，即波動方程。（也是稱其為泛定方程

13、的遠大）即波動方程。（也是稱其為泛定方程的遠大）可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學與聲學中推導可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學與聲學中推導三維波動方程，這里不再一一推導。三維波動方程，這里不再一一推導。28二、定解條件的提出二、定解條件的提出 1、必要性。、必要性。導出方程后，就得對方程進行導出方程后，就得對方程進行求解。但是只有泛定方程不足以完全確定方程求解。但是只有泛定方程不足以完全確定方程的解，即不足以完全確定具體的物理過程，因的解，即不足以完全確定具體的物理過程，因為具體的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受為具體的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受的外界作用有關，因而必須找一些補充條件，的外界作用有

14、關，因而必須找一些補充條件，用以確定該物理過程。用以確定該物理過程。29 從物理角度看：從物理角度看：泛定方程僅表示一般性（共泛定方程僅表示一般性（共性），要為物體的運動個性化附加條件。性），要為物體的運動個性化附加條件。 從數(shù)學角度看：從數(shù)學角度看：微分方程解的任意性也需附微分方程解的任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)（解不能唯一確定加條件。通解中含任意函數(shù)（解不能唯一確定）。通過附加條件確定任意函數(shù)（常數(shù)），從）。通過附加條件確定任意函數(shù)（常數(shù)），從而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題的的“歷史歷史”與與“環(huán)境環(huán)境”，即初始條件和邊界條，即初始

15、條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。件，統(tǒng)稱為定解條件。 302、初始條件、初始條件 在求解含時間在求解含時間t變量的數(shù)理方程時，往往要追變量的數(shù)理方程時，往往要追溯到早些某個所謂溯到早些某個所謂“初始初始”時間的狀況（時間的狀況（“歷歷史史” ），于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學表達），于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學表達式為初始條件。式為初始條件。31如弦振動方程如弦振動方程: 20ttxxua u其初始條件為其初始條件為:00( )( )tttuxux 初始位移 初始速度同一時刻同一時刻( 0t )情況情況 注意：注意：( a）初始條件應是整個系統(tǒng)的初始）初始條件應是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中

16、個別點的初始狀態(tài)。狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。32002()22()20ttthlxxluhllxxllu 若若 0ttuh就錯了。就錯了。 如：一根長為如：一根長為 l 的兩端固定的弦，用手把它的的兩端固定的弦，用手把它的中點朝橫向拔開距離中點朝橫向拔開距離h，然后放手任其振動（，然后放手任其振動（初始時該就為放手的時刻），則初始條件應為：初始時該就為放手的時刻），則初始條件應為：33 (b) 時間時間 t 的的 n 階方程需階方程需 n個初始條件個初始條件，n 個常數(shù)。個常數(shù)。020( )( )tttxxttuxfua uux如：如：0( )ttD ufxuu 343、邊界條件、邊

17、界條件 求解方程時還需考慮邊界狀況（周邊求解方程時還需考慮邊界狀況（周邊“環(huán)環(huán)境境”）（邊界狀況將通過逐點影響所討論的）（邊界狀況將通過逐點影響所討論的整個區(qū)域），稱物理過程邊界狀況的表達式整個區(qū)域），稱物理過程邊界狀況的表達式為邊界條件，或稱為邊值條件。為邊界條件，或稱為邊值條件。 邊界條件在數(shù)學上分為三類：邊界條件在數(shù)學上分為三類：35 第一類邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件邊界條件)：直直接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值000(,)000( , , , )(, )xyzufu x y z tf xy z t000(, )f xy z

18、t其中其中 為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。 36 第二類邊界條件（第二類邊界條件（Neuman 邊界條件）：邊界條件）：規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向 上的上的方向導數(shù)的數(shù)值方向導數(shù)的數(shù)值.nufn000000(,)(,)xyzuf xyzn，37 第三類邊界條件第三類邊界條件（混合邊界條件（混合邊界條件 也叫也叫Robin邊界條件邊界條件 ）：規(guī)定所研究物理量及其）：規(guī)定所研究物理量及其外法向導數(shù)的線性組合在邊界上的值外法向導數(shù)的線性組合在邊界上的值 000(,)000(, )nxyzuHuf xyz tufHun:常系數(shù)常系數(shù)38第一、第一、二、三類齊次邊界條件

19、。二、三類齊次邊界條件。0f 時，時，以上三類邊界條件當以上三類邊界條件當分別稱為分別稱為39 銜接條件銜接條件集中地集中地0 x 由于一些原因，在所研究的區(qū)域里出由于一些原因，在所研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點，泛定方程在該點失去意義。如現(xiàn)躍變點，泛定方程在該點失去意義。如波動方程（弦），如果有橫向力波動方程（弦），如果有橫向力( )F t作用于作用于點，點， 這就成了弦的折點。在點這就成了弦的折點。在點 0 x斜率斜率xu的左極限的左極限0(0, )xuxt不同于右極限不同于右極限 0(0, )xuxt，因而，因而 xxu不存在不存在, 4、其它條件、其它條件40在各段上在各段上,弦振動方程有意義

20、，但它是一弦振動方程有意義，但它是一根弦的兩段，并不是各自振動的。從數(shù)學根弦的兩段，并不是各自振動的。從數(shù)學上來講，不可能在兩端上分別列出定解問上來講，不可能在兩端上分別列出定解問題。兩段可作為一個整體來研究，兩段的題。兩段可作為一個整體來研究，兩段的振動是相互關聯(lián)的。振動是相互關聯(lián)的。 20ttxxauu在這一點無意義在這一點無意義.如果如果,將將0 xxl分成分成，0 xx兩段分別考慮，兩段分別考慮，41F（0,t）12xu420 xx雖是折點，但它們連續(xù)，即雖是折點，但它們連續(xù)，即00(0, )(0, )u xtu xt在在 0 x，力，力 ( )F t應和張力平衡，即應和張力平衡，即1

21、2( )sinsin0F tTT110sintan(0, )xuxt220sintan(0, )xuxt 00(0, )(0, )( )xxTuxtTuxtF t 、合稱為銜接條件，這時振動問題適定。、合稱為銜接條件，這時振動問題適定。43 再如，不同材料組成的桿的振動，在再如，不同材料組成的桿的振動，在銜接處的位移和能量相等，即：銜接處的位移和能量相等，即：0012xxxxuu001112xxxxxxE uE u),(),(21txutxu：桿的兩部分位移：桿的兩部分位移.21, EE：兩部分的楊氏模量：兩部分的楊氏模量. 44s 靜電場中，兩種電介質的交界面靜電場中，兩種電介質的交界面 上

22、電勢應相等（連續(xù)），電位移矢量的法上電勢應相等（連續(xù)），電位移矢量的法向分量也應相等（連續(xù)）向分量也應相等（連續(xù)）,其銜接條件是其銜接條件是:111212ssssuuuunn45snsnDD21uED代表兩種電介質的介電常數(shù)，（設電代表兩種電介質的介電常數(shù)，（設電其中其中代表兩種電介質的電勢，代表兩種電介質的電勢， 21,uu21,21,DD則則 ,位移矢量分別為位移矢量分別為 46 自然邊界條件自然邊界條件 某些情況下，出于物理上的合理性等原因，某些情況下，出于物理上的合理性等原因，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，這些條件通常都不是要研究的問題

23、直接給出，這些條件通常都不是要研究的問題直接給出，而是根據(jù)解的特性要求自然加上去，故稱為自而是根據(jù)解的特性要求自然加上去，故稱為自然邊界條件，如：然邊界條件，如： 470) 1(22 yllyxyx通解為：通解為： )1( llBxAxy在區(qū)間在區(qū)間 a, 0上要求解有限，故上要求解有限，故 0 xy有限，從而在有限，從而在 a, 0中的解為中的解為: lAxy 48 但并非所有的定解問題中，都一定同但并非所有的定解問題中，都一定同時具有初始條件和邊界條件。時具有初始條件和邊界條件。三、三類定解問題三、三類定解問題定解問題定解問題泛定方程泛定方程定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件

24、+銜接條件銜接條件49 （1）初值問題）初值問題(Cauchy問題）：問題）：定解問定解問題中僅初始條件而無邊界條件題中僅初始條件而無邊界條件 ,如無界弦的如無界弦的振動振動:200,( ),( )ttxxtttua uxux ux 50 （2）邊值問題）邊值問題：定解條件為邊界條件定解條件為邊界條件 如如 0( )uuf u51（3）混合問題）混合問題:即有初始條件又有邊界條件。即有初始條件又有邊界條件。 如有界弦的自由振動如有界弦的自由振動 200000,0( ),( )ttxxxxtttua uuuux ux52 物理系統(tǒng)總是有限的，必須有界，要求邊物理系統(tǒng)總是有限的，必須有界，要求邊界

25、條件，如：弦總是有限長的，有兩個端點，界條件，如：弦總是有限長的，有兩個端點，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太長的時間里，另一端還沒來得及傳到，可認為長的時間里，另一端還沒來得及傳到，可認為另一端不存在這樣就可將真實的弦抽象為半無另一端不存在這樣就可將真實的弦抽象為半無界弦。界弦。（4）無界半無界問題：）無界半無界問題：53 如果注重考慮不靠近兩端點的某段弦，在如果注重考慮不靠近兩端點的某段弦，在不太長的時間里，兩端點的影響還沒來得及傳不太長的時間里，兩端點的影響還沒來得及傳到，可認為兩端點都不存在，即兩端點都在無到，可認為兩端點都不存在，即兩端

26、點都在無限遠，就不提邊界條件了，這樣有限的真實弦限遠，就不提邊界條件了，這樣有限的真實弦抽象成無界的弦，分別稱為半無界問題、無界抽象成無界的弦，分別稱為半無界問題、無界問題。問題。54舉例：舉例：弦振動問題中弦振動問題中 2 ( 0)ttxxua ufxl第一類邊界條件：第一類邊界條件： 102( (0, )( )( , )( )xuutu tu l tu t55端點的運動規(guī)律端點的運動規(guī)律: : )(1t左端點，左端點， : )(2t右端點右端點 若兩端點固定，則若兩端點固定，則 (0, )0, ( , )0utu l t為齊次邊界條件，稱固定端點邊界條件為齊次邊界條件，稱固定端點邊界條件

27、。 56第二類邊界條件：第二類邊界條件： 11(0, )( )( , )( )xxuttu l tt若左端點自由地上下運動，則若左端點自由地上下運動，則 (0, )0 xut 稱自由（端點）邊界條件稱自由（端點）邊界條件 . 57第三類邊界條件：第三類邊界條件： )(), 0(), 0(tthutux的彈簧，弦的左端點固定于彈簧的自由頂端的彈簧，弦的左端點固定于彈簧的自由頂端，弦的左端點受到垂直于，弦的左端點受到垂直于 軸的已知外力軸的已知外力 的作用而上下運動。的作用而上下運動。 x)(1t設在設在 處安置了一個垂直于處安置了一個垂直于 0 xx軸的軸的58)(tym59若若 0), 0()

28、,(, 0)(thutoutt彈性支承邊界條件：彈性支承邊界條件： 弦的一端與一個其他系統(tǒng)相連接，弦在左弦的一端與一個其他系統(tǒng)相連接，弦在左端端 處連接于一彈簧質量系統(tǒng)，保持其處連接于一彈簧質量系統(tǒng)，保持其運動是完全垂直的。運動是完全垂直的。 0 x0khT60 想象質量在垂直軌道上無摩擦，軌道對想象質量在垂直軌道上無摩擦，軌道對質量施加一個張力，防止張力的水平分量拉質量施加一個張力，防止張力的水平分量拉翻質量系統(tǒng)，弦與此質量未連接，質量的位翻質量系統(tǒng)，弦與此質量未連接，質量的位置為置為 )(ty弦在端點的位置弦在端點的位置 )(), 0(tytu，)(ty未知的量，滿足牛頓第二定律的一未知的

29、量，滿足牛頓第二定律的一個個ODE。61)(tys)()(tytys彈簧的拉伸長度為彈簧的拉伸長度為: 0)()(ltytys由牛頓第二定律：由牛頓第二定律： 202 ( )( )sd ymk y ty tldt 彈簧上的其它力彈簧上的其它力 假設彈簧的未拉伸的長度為假設彈簧的未拉伸的長度為 0l，且滿足，且滿足胡克定律，設弦的支撐點按照其解的方式胡克定律，設弦的支撐點按照其解的方式移動。彈簧的長度為移動。彈簧的長度為 62sin (0, )(0, )sin (0, )(0, )(0, )cos (0, )xtTttTtTutt), 0(), 0(sintTutTx其中其中 )(), 0(si

30、n), 0(tgttT為小振動近似，為小振動近似， T常量，常量，63202(0, ) (0, )(0, )(0, )( )sxd utmk utytldtTutg t 邊界條件為（連接于一個彈簧質量系統(tǒng)，邊界條件為（連接于一個彈簧質量系統(tǒng)，帶動支撐帶動支撐 )(tys)(tg的外力的外力的一條振動的的一條振動的0 x處處 ,則則弦在弦在64若無外力作用于質量上若無外力作用于質量上 mtg, 0)(充分小，充分小，(0, )(0, )(0, )xETutk utut則則0)(), 0(ltytusE其中其中: ), 0(tuE是質量的平衡位置是質量的平衡位置65 若質量的平衡位置與弦的平衡位置

31、重若質量的平衡位置與弦的平衡位置重合，即合，即 0)(tuE則：則： (0, )(0, )(0, )(0, )0 xxTutkututhutkhT0k若弦和質量的若弦和質量的0u，若，若 0 x處處 0u，0 xu。xu成正比，成正比，u與與平衡位置都是平衡位置都是則必有則必有66 端點處無任何其它垂直外力，彈力在端端點處無任何其它垂直外力，彈力在端點的垂直分量必為點的垂直分量必為0，否則此端點將會有無，否則此端點將會有無限垂直加速度。限垂直加速度。對對 0k取極限取極限 0), 0(0), 0(tutTuxx 若端點附在前述無摩擦的垂直軌道上，上若端點附在前述無摩擦的垂直軌道上，上下自由移動

32、，無彈簧質量系統(tǒng)也無外力，下自由移動，無彈簧質量系統(tǒng)也無外力， ), 0(), 0(tkutTux671.2 行波法行波法 一一、定解問題定解問題 二二、求解定解問題求解定解問題 三三、分析解答分析解答 四四、依賴區(qū)域依賴區(qū)域 五五、其它其它: 問題問題Caursat68引引 言言 上節(jié)課我們已經了解了數(shù)學物理方程所上節(jié)課我們已經了解了數(shù)學物理方程所研究的對象、特點，并推導出一類典型的方研究的對象、特點，并推導出一類典型的方程程波動方程（弦振動方程），接下來的波動方程（弦振動方程），接下來的問題就是對這些問題如何來求解？先來回顧問題就是對這些問題如何來求解？先來回顧一下一下 ODE的求解的求解

33、 。ODE的求解的求解 .69先求方程通解（含任意常數(shù)）先求方程通解（含任意常數(shù)） 常微分方程（常微分方程（ ODE）的求解思路：）的求解思路： (利用初值條件利用初值條件)方程的特解方程的特解確定條件中的數(shù)確定條件中的數(shù)70例如：例如： ( )0(0)01(0)3ytyy通解為通解為: ( )010,31( )3y tatbatbbay tt712. PDE的求解的求解 PDE對對 PDE ，可否也用這種思路來求解？，可否也用這種思路來求解？即先求通解（通解中包含任意常數(shù)或函數(shù)）即先求通解（通解中包含任意常數(shù)或函數(shù)），然后利用各種條件，然后利用各種條件 確定常數(shù)或函數(shù)，從確定常數(shù)或函數(shù)，從而

34、得到特解。已經表明，對而得到特解。已經表明，對 如下困難：如下困難：來講有來講有72 其一，通解不好求；其一，通解不好求； 其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，但也卻非不能解決任何方程，對一類問但也卻非不能解決任何方程，對一類問題是可行的：無界區(qū)域齊次波動方程的題是可行的：無界區(qū)域齊次波動方程的定解問題。定解問題。73齊次波動方程（齊次波動方程（ 02xxttuau ）反映介質）反映介質一經擾動后在區(qū)域里不再受外力的運動規(guī)律一經擾動后在區(qū)域里不再受外力的運動規(guī)律。如弦振動方程，所考慮的弦，長度很長，。如弦振動方程，所考慮的弦，長度很長，所需知道的又只是在較短的時間內

35、離邊界較所需知道的又只是在較短的時間內離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，則邊界的影響遠的一段范圍中的運動情況，則邊界的影響可以不予考慮，就構成一個無界問題，可以不予考慮，就構成一個無界問題，74（初值問題）抽象成問題的區(qū)域是整個空間，（初值問題）抽象成問題的區(qū)域是整個空間，由初始擾動所引起的振動就會一往無前的傳由初始擾動所引起的振動就會一往無前的傳播下去，形成行進的波，簡稱行波。（數(shù)學播下去，形成行進的波，簡稱行波。（數(shù)學上將弦的長度視為無限）。這種求解行波問上將弦的長度視為無限）。這種求解行波問題的方法成為題的方法成為行波法行波法。75一、一、 定解問題定解問題2,0( ,0)( )( ,0

36、)( )ttxxtua uxtu xxxu xxx 上式為無界弦的自由振動方程上式為無界弦的自由振動方程.其中其中 )(),(xx為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。 76物理模型解釋：物理模型解釋： 無限長弦的自由振動無限長弦的自由振動 無限長桿的縱振動無限長桿的縱振動 無限長理想傳輸線上電流、電壓之比無限長理想傳輸線上電流、電壓之比 這里這里“無限長無限長”指沒有受到外力作用，指沒有受到外力作用，只研究其中一小段，則在不太長的時間里，只研究其中一小段，則在不太長的時間里，兩兩77端的影響來不及傳到，可認為兩端不存在，端的影響來不及傳到，可認為兩端不存在，因而為無限長。對該問題的處理思路（借鑒因而為無限

37、長。對該問題的處理思路（借鑒 ODE處理方法）處理方法） 自變量變換自變量變換簡化泛定方程簡化泛定方程定解問題的解定解問題的解得通解得通解初始條件初始條件78 二、求解定解問題二、求解定解問題 （一維齊次波動方程的通解）（一維齊次波動方程的通解） （1）作自變量變換（行波變換）作自變量變換（行波變換）. 目的：目的：將泛定方程簡化成易積分的將泛定方程簡化成易積分的 形式形式. 設設atxatx,79利用復合函數(shù)求導法則有：利用復合函數(shù)求導法則有： （上述變換的由來：（上述變換的由來： 由由 02xxttuau有有 0)(uxatxat引入變換引入變換 ),(),(ttxx,找兩個微分算子：找兩

38、個微分算子： 80使使 ()()AatxBatx,A B為常數(shù)，為常數(shù)， ()()txAatxtxtxBatxtx81令令 1, 1BA則則 11ttxxaa 故令故令 tax),(ttABxxAaBa 8211()()22xatxataa則有則有 這時這時 0),(02uu83為了書寫簡便和對稱，令為了書寫簡便和對稱，令 11()()22xta 即即 x atx at 8422222222()()()()2xxxxuuuuuuxxxxxx 852222222222()()()(2)aaatttatxxa 86222222222222222222220(2)(2)02204000ttxxua

39、uauaua ua ua ua ua ua uua uu 87（）求通解（）求通解兩邊對兩邊對 求積分得：求積分得： 00uddu和和 無關，是關于無關，是關于 的函數(shù)，的函數(shù)，)(1Cuu則有則有88求積分有：求積分有： 其中其中 )(1C為為 的函數(shù)，然后再對自變量的函數(shù)，然后再對自變量 11212( )( )( )( )( )udCdufdCff其中其中 )(1f，)(2f分別為分別為 ，函數(shù)，只要有兩次積分就可。函數(shù)，只要有兩次積分就可。 的任意的任意89故故 )()(),(21ffu，通解為，通解為 )()(),(21atxfatxftxu90（）用初始條件定特解（）用初始條件定特解

40、確定確定 21, ff由初始條件由初始條件 )()()()(),(21xxfxfxyxu由由 )()0 ,(xxut有有 910120012121020()()()()( )()()( )( )( )1( )( )( )( )( )ttxxdf x atdf x atd x atd x atxd x atdtd x atdtaf xafxxf xf xdf xf xa 92001102021020111( )( )( )()()222111( )( )( )()()222xxxxf xxdf xfxafxxdf xfxa 由此解得由此解得 930012111()()( )222111()()(

41、 )222x atxx atxf xatxatdcafxatxatdca 94daatxatxtxuatxatx)(21)()(21),(故故 : 這叫做這叫做達朗貝爾解達朗貝爾解，簡稱，簡稱達氏解達氏解，因，因此這種方法叫做此這種方法叫做達朗貝爾解法達朗貝爾解法。95三、分析解答三、分析解答 （1）解的適定性）解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性存在性、唯一性、穩(wěn)定性) （2）解的物理意義）解的物理意義.通解的物理意義：通解的物理意義：先考慮先考慮 )(2atxf0t ，時時 )()(22xfatxf，表示弦在，表示弦在 0t 時的波形（位移），時的波形（位移）， 96初始時刻的狀態(tài)，經過時間

42、初始時刻的狀態(tài)，經過時間 0t后后 220()()fxatfxat由由 ，0t 的波形向的波形向 x正方正方0ata向右進行，故向右進行，故 )(2atxf 所描述的振動規(guī)律，稱為右行所描述的振動規(guī)律，稱為右行 波（正行波、右傳播波）；波（正行波、右傳播波）； 向平移向平移距離，即這種波的傳播形式是距離，即這種波的傳播形式是保持波形不變地以速度保持波形不變地以速度 97Ta)(1atxf 表示不變地向左傳播，稱表示不變地向左傳播，稱為左行波（逆行波、左傳播波），故弦振動方為左行波（逆行波、左傳播波），故弦振動方程的通解是左右行波的疊加，（即弦上任意擾程的通解是左右行波的疊加，（即弦上任意擾動總

43、是向相反的兩個方向傳播下去）動總是向相反的兩個方向傳播下去）同理，同理，越大越大,表示波傳播速度越快。表示波傳播速度越快。98( , )u x t 1()()2xatxat1( )2x atx atda +99()()xatxat 表示初始位移引起的波動左右行波疊加表示初始位移引起的波動左右行波疊加由初始位移激發(fā)的行波，由初始位移激發(fā)的行波， 0t 時刻波形為時刻波形為 )(xa向左右傳播向左右傳播. ，以后分成幾部分以獨立的速度，以后分成幾部分以獨立的速度 上式第一項為上式第一項為:100表示由初始速度引起表示由初始速度引起的波動的波動.設設 ax2)(的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是 )(x0

44、1( )( )2xxxda 1( )2x atx atda 即即則則( , )()()u x txatxat101左右對稱地擴展到左右對稱地擴展到 atxatx,的范圍，的范圍，a它表示左右行波疊加，由初始速度激發(fā)的它表示左右行波疊加，由初始速度激發(fā)的行波，行波， 在在 t時刻，它時刻，它傳播速度為傳播速度為 .102例例1.求解初值問題（初始位移引起的波動）求解初值問題（初始位移引起的波動）20,0( ,0)sin( , )0ttxxtua uxtu xAxxu x ox 103解：解：由由 AlemberD公式：公式： atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),( )sin

45、( )0( , )sin()sin()2xAxxAu x txatxat( )0( )sinxxx 若若10420,0( ,0)( )( , )( )ttxxtua uxtu xxxu x oxx 四、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域四、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域 無界弦自由振動的這種特性，可以更無界弦自由振動的這種特性，可以更幾何直觀地表現(xiàn)出來幾何直觀地表現(xiàn)出來. 定解問題定解問題 如下如下:105其定義域是其定義域是 ( , )x t平面上的上半平面，如果平面上的上半平面，如果0 x在在 0t 時刻（即對位于時刻（即對位于 ( , )x t平面平面 x軸上一點軸上一點 0 ,0 x一定只波及區(qū)域一定只波及區(qū)域: 弦上一點弦上一點受到激發(fā)，則此后受到激發(fā)，則此后atxxatx00內，這個區(qū)域就是弦上內，這個區(qū)域就是弦上 0