定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用(19)

1、1.7.1定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用(2)一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn):微積分中的以不變代變的思想的運(yùn)用，應(yīng)用定積分求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的路程.難點(diǎn)：對(duì)變力做功問(wèn)題求解過(guò)程的理解知識(shí)點(diǎn)：應(yīng)用定積分求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的路程和變力做功.能力點(diǎn)：如何探尋運(yùn)用定積分解決一些物理學(xué)中時(shí)刻變化的問(wèn)題.教育點(diǎn)：經(jīng)歷由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)探究的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點(diǎn)：如何運(yùn)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.考試點(diǎn)：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程與位移計(jì)算以及變力做功問(wèn)題.易錯(cuò)易混點(diǎn)：在求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程和位移時(shí)，學(xué)生一般在“符號(hào)”上容易出錯(cuò).二、【引入新課】上節(jié)課，我們利用定積分的幾何意義同曲邊梯形面積之間

2、的聯(lián)系學(xué)習(xí)了如何用定積分來(lái)表示和求解比較復(fù)雜的曲邊梯形面積在引入定積分的定義時(shí)，除了使用曲邊梯形的面積，我們還利用了已知汽車(chē)做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何求解行駛的路程，那么大家一起回顧一下：?jiǎn)栴}1：如果汽車(chē)做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度是（的單位：，的單位：），那么它在的這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：）是多少？這個(gè)問(wèn)題最初我們是如何分析的？這個(gè)問(wèn)題在初次介紹時(shí)，類(lèi)比求曲邊梯形的原理，采用四步曲“分割，近似代替，求和，取極限”的方式求解的.即 問(wèn)題2：采取的方法與定積分的概念有什么關(guān)系?四步曲與定積分的概念完全一致，表達(dá)式也與定積分的概念類(lèi)似.即 問(wèn)題3：那么，我們能不能把以上題為例，把變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程用定

3、積分表達(dá)出來(lái)？（學(xué)生自己探究表達(dá)，教師檢查糾正，并板書(shū)答案）即 我們發(fā)現(xiàn)用定積分可以表示作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體在某時(shí)段內(nèi)的路程，利用微積分基本定理可以求定積分的值，這樣大大簡(jiǎn)化了我們?cè)谧畛鯇?duì)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的分析和計(jì)算量，因此，運(yùn)用定積分可以解決物理中變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程計(jì)算問(wèn)題. 那么除了解決這類(lèi)問(wèn)題，定積分在物理學(xué)中還有別的應(yīng)用嗎？今天，我們就帶著問(wèn)題一起探究：定積分在物理的應(yīng)用【設(shè)計(jì)意圖】首選讓學(xué)生回顧前面所學(xué)知識(shí)，做到溫故而知新，同時(shí)結(jié)合新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，從另外的角度出發(fā)解決同一個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而加深理解，不桎梏學(xué)生的思維方式. 開(kāi)篇點(diǎn)題讓學(xué)生明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)學(xué)生帶著老師的問(wèn)題去學(xué)習(xí)目標(biāo)性更強(qiáng)

4、.三、【探究新知】探究一、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程根據(jù)上述問(wèn)題的分析，我們知道，若一物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度函數(shù)，則在時(shí)間的范圍內(nèi)，物體所行駛的路程為其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即 .例1:一輛汽車(chē)的速度一時(shí)間曲線(xiàn)如圖所示求汽車(chē)在這內(nèi)行駛的路程（教師引導(dǎo)學(xué)生分析圖形及題意，明確解題思路）思考1：根據(jù)已學(xué)過(guò)的物理運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)觀(guān)察汽車(chē)的速度一時(shí)間圖象，你來(lái)分析一下汽車(chē)在不同的時(shí)間段各自做的是什么運(yùn)動(dòng)？ 根據(jù)汽車(chē)的速度一時(shí)間圖象，可以知道，在，汽車(chē)做的是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在，汽車(chē)做的是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在，汽車(chē)做的是勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).思考2：那么，解決這輛汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)路程問(wèn)題，你有幾種方法？ 兩種方法：（1）按

5、照剛才的總結(jié)，利用定積分來(lái)表示運(yùn)動(dòng)的路程； （2）根據(jù)物理學(xué)中速度一時(shí)間圖象的意義，速度圖象與時(shí)間軸所圍成的面積即為路程.解法一：解：由速度一時(shí)間曲線(xiàn)可知：因此汽車(chē)在這行駛的路程是：答：汽車(chē)在這行駛的路程是 .解法二：根據(jù)物理學(xué)中速度一時(shí)間圖象的意義，當(dāng)速度圖象與時(shí)間軸所圍成的面積即為路程. 在本題中所圍成的圖形為梯形，故路程 ()答：汽車(chē)在這行駛的路程是 .【設(shè)計(jì)意圖】本題從細(xì)節(jié)入手，分析細(xì)致，讓學(xué)生通過(guò)圖象讀懂過(guò)程，整體難度較低，過(guò)程比較簡(jiǎn)單，由速度圖像就可以很容易分析出汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)由于定積分的知識(shí)是在高二學(xué)期，在這之前，學(xué)生在物理學(xué)科中已經(jīng)學(xué)過(guò)了簡(jiǎn)單的變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的處理方式，所以

6、，這個(gè)問(wèn)題通過(guò)物理意義一樣能夠處理，發(fā)散學(xué)生思維，同時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的神秘之處.思考3：我們?cè)谖锢韺W(xué)中接觸過(guò)多個(gè)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式.（學(xué)生舉例，教師說(shuō)明關(guān)系）在勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中： 加速度為，速度，路程.我們會(huì)發(fā)現(xiàn)： 速度， 若初速度為 ，則， 路程 .【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)數(shù)學(xué)的角度解釋物理學(xué)公式，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的無(wú)窮力量，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)于定積分求解變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的應(yīng)用.【變式練習(xí)1】、兩站相距，一輛電車(chē)從站開(kāi)往站，電車(chē)開(kāi)出后到達(dá)途中點(diǎn)，這一段的速度為，到點(diǎn)的速度為，從點(diǎn)到點(diǎn)前的點(diǎn)以勻速行駛，從點(diǎn)開(kāi)始剎車(chē)，經(jīng)后，速度為，在點(diǎn)恰好停車(chē)，試求：（1）、間的距離；（2）、間的距離

7、；（3）電車(chē)從站到站所需的時(shí)間.思考一：如何用直線(xiàn)來(lái)表示汽車(chē)由到的整個(gè)行駛過(guò)程？ 勻加速 勻速 勻減速思考二：作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程,等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分,即.結(jié)合相關(guān)的物理知識(shí)，在對(duì)應(yīng)的時(shí)間段內(nèi)選擇正確的速度函數(shù)定積分計(jì)算.解：（1）設(shè)到的時(shí)間為，則,于是；（2）設(shè)到的時(shí)間為，則于是；(3) 由于間距為，則，于是從到的時(shí)間為,因此則所求時(shí)間為. 【設(shè)計(jì)意圖】該變式是考查學(xué)生對(duì)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的理解，通過(guò)對(duì)物體各時(shí)間段運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，得出個(gè)時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間.探究二：變力作功1、恒力問(wèn)題：由物理學(xué)知識(shí)可知，一物體在恒力（單位：）的作用下作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著

8、與相同的方向移動(dòng)了（單位：），則力所做的功為：2、變力問(wèn)題：如果物體在變力的作用下做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，那么如何計(jì)算變力所作的功呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問(wèn)題（以圖形展示，建議學(xué)生自己分析，教師適當(dāng)指導(dǎo)）（1）分割： 等分區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度； （2）近似代替：；（3）求和：（4）取極限：可以得到：.因此：如果物體在變力的作用下做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，那么變力所作的功：例2:如圖，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置 處，求克服彈力所作的功思考一：根據(jù)物理學(xué)中的胡克定律，在彈性限度內(nèi)，

9、拉伸（或壓縮）彈簧所需的力與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度成正比，即, 其中常數(shù)是比例系數(shù)解：由胡克定律，在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度成正比，即, 其中常數(shù)是比例系數(shù)由變力作功公式，得:答：克服彈力所作的功為.【設(shè)計(jì)意圖】彈簧的壓縮與拉伸是典型的變力作功問(wèn)題，通過(guò)本例讓學(xué)生理解對(duì)于變力所作的功的計(jì)算方法.【變式練習(xí)2】在彈性限度內(nèi)，彈簧所受的壓縮力與縮短的距離按胡克定律計(jì)算，今有一彈簧原長(zhǎng)90，每壓縮1需0.049的壓縮力，若把這根彈簧從80壓縮至60（在彈性限度內(nèi)），問(wèn)外力克服彈簧的

10、彈力做了多少功？解：根據(jù)胡克定律可知，解得 由于彈簧的原長(zhǎng)為90，因此當(dāng)彈簧從80壓縮至60時(shí)，壓縮的長(zhǎng)度變化為10到30，因此所做的功為： 【設(shè)計(jì)意圖】例3原理性較強(qiáng)，但由于缺乏數(shù)字，計(jì)算的體現(xiàn)不是很強(qiáng)，因此在變式練習(xí)中，加入數(shù)字的計(jì)算，使學(xué)生明確變力做功的計(jì)算特點(diǎn).四、【理解新知】1、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程：若一物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度函數(shù)，則在時(shí)間的范圍內(nèi)，物體所行駛的路程為其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即 .2、變力做功：如果物體在變力的作用下做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，那么變力所作的功：四、【運(yùn)用新知】例3： 一點(diǎn)在直線(xiàn)上從時(shí)刻開(kāi)始以速度運(yùn)動(dòng),求:(1)在運(yùn)動(dòng)的位移

11、；(2)在運(yùn)動(dòng)的路程.（教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考）思考一：根據(jù)速度時(shí)間函數(shù)圖象，分析一下質(zhì)點(diǎn)的速度在這段時(shí)間內(nèi)是如何變化的？當(dāng)時(shí)，速度由3遞減至0，速度為正，即正向行駛；當(dāng)時(shí)，速度一直為負(fù)，即反向行駛；當(dāng)時(shí)，速度由0遞增，速度為正，即又正向行駛；思考二：物理學(xué)中，位移和路程有何不同？與行駛的方向有何關(guān)系？位置是從初始位置指向末位置的有向線(xiàn)段，既有大小又有方向，可正可負(fù)可為0，當(dāng)速度方向與位移方向相同時(shí)，則位移在增加，當(dāng)速度方向與位移方向相反時(shí)，則位移在減少.路程只有大小沒(méi)有方向，是一個(gè)非負(fù)的量，無(wú)論速度是什么方向，所行駛過(guò)距離都要記錄在路程中.思考三：那么，在這個(gè)問(wèn)題中，我們應(yīng)該如何選擇定積分的格

12、式來(lái)表示位移與路程呢？（教師通過(guò)板書(shū)解題過(guò)程來(lái)解釋選擇的方法）解：（1）由速度函數(shù)圖像可知在秒內(nèi)位移為正直，在秒內(nèi)位移為負(fù)值，在秒內(nèi)位移為正直.因此在運(yùn)動(dòng)的位移為：（2）由速度函數(shù)圖像可知在秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)，在秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)后退，在秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)又前進(jìn).因此質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的路程為：.【設(shè)計(jì)意圖】本題利用定積分表達(dá)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程，同時(shí)結(jié)合著物理學(xué)中的路程和位移的關(guān)系，路程全是正值，而位移是矢量有正有負(fù)，體現(xiàn)了定積分在運(yùn)動(dòng)學(xué)中應(yīng)用的靈活性.【變式訓(xùn)練3】變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的速度為，初始位置為，求它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程及2秒末所在的位置解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以前2秒鐘內(nèi)所走過(guò)的路程：2秒末所處的位置： 答：它在前2

13、秒內(nèi)所走的路程為2，2秒末所在的位置為 【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)速度函數(shù)取值為負(fù)值時(shí)，要注意路程與位移的關(guān)系.例4 把一個(gè)帶電量的點(diǎn)電荷放在軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周?chē)碾姾捎凶饔昧τ晌锢韺W(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為（其中是常數(shù)），當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中在電場(chǎng)中從處沿軸移動(dòng)到處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力 對(duì)它所作的功解：取 為積分變量，則，由已知可得： 【設(shè)計(jì)意圖】這也是一道典型的變力做功問(wèn)題，主要目的是開(kāi)闊學(xué)生的眼界，接觸更多的有關(guān)用定積分解決變力做功的問(wèn)題，同時(shí)了解數(shù)學(xué)在物理學(xué)中解決問(wèn)題的廣泛性.【變式訓(xùn)練4】一物體以速度 作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

14、,媒質(zhì)的阻力與速度的關(guān)系為，試求在時(shí)刻到這段時(shí)間內(nèi)阻力做的功.解:媒質(zhì)的阻力為，顯然阻力是個(gè)隨時(shí)間變化的量，屬于變力做功問(wèn)題.取一段足夠小的時(shí)間區(qū)間，這一小段時(shí)間內(nèi)物體的位移為，進(jìn)而阻力所做的功為，因此在整個(gè)過(guò)程中物體所做的功為 即 在時(shí)刻到這段時(shí)間內(nèi)阻力做的功為 .答: 在時(shí)刻(s)到(s)這段時(shí)間內(nèi)阻力做的功為102.4J.【設(shè)計(jì)意圖】本道題相對(duì)例題難度較大，從定積分的本質(zhì)上理解其在物理學(xué)中變力做功問(wèn)題的應(yīng)用，建議教師從基本概念入手，根據(jù)學(xué)生個(gè)人接受能力酌情講解.五、【課堂小結(jié)】教師提問(wèn)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1知識(shí)：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題和變力作功問(wèn)

15、題2思想：分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想教師總結(jié): 定積分的計(jì)算用到了微積分基本定理，提醒學(xué)生: 在學(xué)習(xí)新知時(shí)，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過(guò)的內(nèi)容，“溫故而知新”在應(yīng)用中增強(qiáng)對(duì)知識(shí)(如本節(jié)的兩個(gè)公式)的理解，及時(shí)查缺補(bǔ)漏,從而更好地運(yùn)用知識(shí)，解題要有目的性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的認(rèn)識(shí)與自覺(jué)運(yùn)用【設(shè)計(jì)意圖】 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，做到“授人以漁”六、【布置作業(yè)】1閱讀教材P5659；2.書(shū)面作業(yè) 必做題：P60 習(xí)題1.7 A組 3、4、5、6選做題：1一物體以初速度的速度自由下落，則下落后第二個(gè)4 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是_2一物體在力 (單位：N)的作用下沿與力相同的方向，從運(yùn)動(dòng)到

16、（單位：m)，則力所做的功_.3變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的速度，初始位置，前所走過(guò)的路程為_(kāi).4. 課外思考：物體A以速度在一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，在此直線(xiàn)上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方處以的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)兩物體在何時(shí)相遇？相遇時(shí)A走過(guò)的路程是多少? 【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)作業(yè)1,2，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書(shū)面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠運(yùn)用本節(jié)課所介紹的公式，解決簡(jiǎn)單的物理學(xué)問(wèn)題；課外思考的安排，是讓學(xué)生理解公式之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生深刻地體會(huì)到定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用.七、【教后反思】1.本教案的亮點(diǎn)是變式訓(xùn)練，每道例題的后面均跟著變式練習(xí)，題型和相關(guān)知識(shí)點(diǎn)類(lèi)似，但從本質(zhì)上又有所升華和加深，比如在例3的教學(xué)中，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察速度函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)速度是有正有負(fù)的，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是有前進(jìn)有后退的，利用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題，卻又不脫離物理實(shí)際背景例2一題多變，既注重了與原問(wèn)題的聯(lián)系，又在不知不覺(jué)中提高了難