2012013概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解答

1、填空題：(每題3分，共15分)0.251.設(shè) A、B 為兩事件，P (A) = 0.7, P (B) = 0.6, AB，貝U P(AB) = 2.若隨機(jī)變量X在0, 1上服從均勻分布，Y = 2X +1的概率密度為：1,1 £ y 壬 3 fY(y 2。 其它3若隨機(jī)變量(X , Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)= <d'V0，則 c =0, 其他4.若隨機(jī)變量X2服從參數(shù)為2指數(shù)分布X e (2),則E(X +X )= _A5.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX = 1 , DX = 1 ,且 P X 1 <砰=切比雪夫不等式,2 3&應(yīng)滿足0

2、<8壬竺3二.選擇題：(每題3分，共15分)1.設(shè)A、B、C為三事件，貝U AB J BC J AC表不'D. A、B、C至多發(fā)生一個(gè)2.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f (x) = *4 3 0 < x < 1x ,，則使 P (X > a) = P (X < a )成立,0,其他3.若隨機(jī)變量(X , Y)的概率密度為f(x, y)=<J/兀,x2 +y2 芻0,其它，貝U X與Y的隨機(jī)變量 C.不獨(dú)立同分布.4.設(shè)隨機(jī)變量X在a , b上服從均勻分布， 且EX=3,B. a= 1, b= 5DX=4/3 ,則參數(shù)a , b的值為5.若Xi,X2，,X

3、n是取自總體N(P,。2)的一個(gè)樣本,。未知，則以下是統(tǒng)計(jì)量的是nA . Z (Xj -X)2" i =1三.判斷題：（每題2分，共10分）1. 若A與B互斥，則P （AB） = 0 。（對(duì)）2. 若F（x）是連續(xù)變量X的分布函數(shù)，貝UF（x）dx=1。（錯(cuò) ）3. 若（X , Y）的聯(lián)合概率函數(shù)與邊緣概率函數(shù)之間存在關(guān)系式P（Xi, yj ）= PX（Xi） PY（yj）, i、j =1,2，則X與Y獨(dú)立。4.若隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立，則有D（XY） = DX DY 。5.若X1,X2，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則X1與乂2同分布。（對(duì) ）四|.計(jì)算題：（每題10分，共60分）

4、1.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有 80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=（被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則A=（被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的 .由題意知P（A） =0.8, P （ A ） =0.2,又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P （B|A） =0.9, PP(A)P(B A)（B|A ） =0.9,故由貝葉斯公式知一、 - P(AB)(1) P(AB)= P(B)P(A)P(B|A) + P(A)P(B

5、|A)0.2 0.11 =0.027020.8 0.9 0.2 0.1 37即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%P(AB)P(A)P(B A)(2) P(A B) = =IP(B)P(A)P(B|A) +P(A)P(B|A)0.8 0.140.30770.8 0.1 0.2 0.9 13即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.2.從五個(gè)數(shù)1,2, 3, 4, 5中任取3個(gè)數(shù)為，X2, X3，求：（1）隨機(jī)變量X=maxx，X2, X3的概率分布；（2）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)；（3） PX壬4。解：（1） X的可能值是3, 4, 5.易知1一 C3一 10C；C；_ 3一

6、C3一 101C42C11_ 6一 C；一10P(X =3)P(X =4)p(x 2= 0.1= 0.3,= 0.6因此，所求的概率分布為X345P (xD0.10.30.6(2)根據(jù) F(x)=PXx*£ p x(福xi至0,x <3F(x)=<0.1,3Wx<4 (注意區(qū)間分段)0.4,4 至 x ： 51,x _5(3) 故所求的概率為P(X _4 =PX =3 PX =4 = 0.1 0.3 =0.43.設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f (x,1,0,：x, 0 ： x ： 1,其他.求條件概率密度fYi x(ylx),fx Y (x I y).題3圖【

7、解】fx(x) = j f (x, y)dyxL1dy=2x, 0<x<1,0,其他.所以-11dx =1 + y, _y1fY(y"if (x, y)dx = idxT-y,'joo、y0,-1 ： y ： 0,03", 其他.fYix(y|x)=祟當(dāng)五0,fx(x)fxY(x|y)=f(x,y)fY(y)1 , | y | ： x ： 1,(注意區(qū)間分段)其他.111 y 0,y ： x ： 1,_ y ： x : 1,其他.4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為s、1 -Mf (x) = e ,-二：x ：二2求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX與方差DX。解：由題設(shè)

8、可得EX = ：x f(x)dx二 1 ". 一= x e dx = 0-二 2(偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的數(shù)學(xué)期望均為0)-2 二 2 一二 2 1 xEX = x f(x)dx = x edx.2/ 2、I 曷 f -x2、= (-x )e 0 - .0 e d(-x )-be-be=02xedx=2(-x)deoo一 二頃一=2 q e dx = 2_2_2.-DX =EX -(EX) =2 -0 =25.設(shè)總體X的概率密度為*x由,0 <x <1f(x)= 甘仙、0，其他其中0 >0,如果取得的樣本觀測(cè)值為 X!,x2,，xn，求參數(shù)。的最大似然估計(jì)值。解：由于總

9、體X的概率密度為f(x) = <0故似然函數(shù)為Sx&,0 <x <1，其他nL（。-Jili 4取對(duì)數(shù)，得nnln L（” =' 血小產(chǎn)）=、ln （I -1）ln xii A n=nln - （口 一1廣 ln xi ：!對(duì)8求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程dlnL（。）n 、n='、lnxi心i 4=0由此解得e的最大似然估計(jì)值為471 = -nnln Xii A6.某工廠正常情況下生產(chǎn)的電子元件的使用壽命X N (1600,802),從該工廠生產(chǎn)的一批電子元件中抽取 9個(gè)，測(cè)得它們使用壽命的平均值為1540 (小時(shí))，如果使用壽命的標(biāo)準(zhǔn)差。不變，能否認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這批電子元件使用壽命的均值=1600 (小時(shí))？(附：檢驗(yàn)水平 a =0.05, U0.05 =1.645,u°.025 =1.96, tG) =1.86, t°.025(8) = 2.31 )解：提出待檢假設(shè)：H0 :=1600 ; H1 :=1600選取統(tǒng)計(jì)量:X -0 = X -1600 d/、n 80/'、9 N