《隨機(jī)信號(hào)分析》ppt課件

1、第二章 隨機(jī)信號(hào)分析2.1 隨機(jī)過(guò)程的根本概念2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.4 高斯過(guò)程2.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程2.6 隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)2.1 隨機(jī)過(guò)程的根本概念n隨機(jī)過(guò)程是時(shí)間t的函數(shù)n在恣意時(shí)辰察看，它是一個(gè)隨機(jī)變量n隨機(jī)過(guò)程是全部可以實(shí)現(xiàn)的總體n 分布函數(shù)與概率密度：n設(shè) 表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程， t1為恣意時(shí)辰是一個(gè)隨機(jī)變量。n F1x1，t1=P x1 n的一維分布函數(shù)n假設(shè)存在n n那么稱之為 的一維概率密度函數(shù) )(t)(1t)(1t)(t),(),(1111111txfxtxF)(t 的n維分布函數(shù)n維概率密度函數(shù) n越大，F(xiàn)n，fn描畫 的統(tǒng)計(jì)特性就越充分nnnnnxtxtxtPtttx

2、xxF)(,)(,)(),;,(22112121nnnnnxxxtttxxxF212121),;,(),;,(2121nnntttxxxf)(t)(t數(shù)學(xué)期望與方差 E = D =E -E 2 =E 2-E 2 =協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù) 用來(lái)衡量恣意兩個(gè)時(shí)辰上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性協(xié)方差 Bt1，t2=E -at1 -at2=)(),(1tadxtxxf)(t)(2t)(t)(t)(t)(t)(t)(11tax)(1t)(2t212121222),;,()(dxdxttxxftax 相關(guān)函數(shù) Rt1，t2=E =Bt1，t2=Rt1，t2-E E ， 表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程互協(xié)方差函數(shù) 相互關(guān)函

3、數(shù)212121221),;,(xddxttxxfxx)(1t)(2t)(1t)(2t)(t)(t),(21ttB)()()()(2211tattatE)()(),(2121ttEttR2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)),;,(2121nnntttxxxf),;,(2121nnntttxxxf恣意的n和 因此，一維分布與t無(wú)關(guān)，二維分布只與t1，t2間隔 有關(guān)。均值 2方差 3相關(guān)函數(shù) Rt1，t2= 41dxtxxftE),()(adxxxf)(2)()(tatEdxtxfax),()(222)()(dxxfax212121221),;,(xddxttxxfxx

4、)()(21RttR均值，方差與時(shí)間無(wú)關(guān)相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)滿足2，3，4廣義平穩(wěn)寬平穩(wěn)滿足1 狹義平穩(wěn) 嚴(yán)平穩(wěn) 時(shí)間平均：取一固定的樣本函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間取平均 xt為恣意實(shí)現(xiàn)22)(1limTTTadttxT2222)(1limTTTdtatxT22)()()(1limTTTRdttxtxT平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ，其實(shí)現(xiàn)為x1t，x2t，xnt，如其時(shí)間平均都相等，且等于統(tǒng)計(jì) 平均， 即 a= 那么稱平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 具有各態(tài)歷經(jīng)性。 各態(tài)歷經(jīng)性可使統(tǒng)計(jì)平均轉(zhuǎn)化為時(shí)間平均，簡(jiǎn)化計(jì)算。)(ta22)()(RR)(t相關(guān)函數(shù)與功率譜密度)(t 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：1 R0=E =S 的平均

5、功率2 R =R- R 是偶函數(shù)3 )(2t)(t)0()(RR證明：2)()(ttE)()()(2)(22ttttE)()(2)0(2ttER0)(2)0(2RR)()0(RR4 的直流功率5 的交流功率 恣意確定功率信號(hào)ft，功率譜密度)(t)(t)()(2tER2)()0( RR)(SPTFPTTS2)(lim)()(TF 是fTtft截短函數(shù)的頻譜函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是每一可以實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均， 某一實(shí)現(xiàn)之截短函數(shù))()(TTFt)(tTFEPEPTTS2)(lim)()()()(RPdPS)(21他應(yīng)該知道的：n傅里葉變換n記為：nFj=F ftnft =F -1Fj

6、dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)( 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅氏變換關(guān)系n例：某隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)為R ，求功率譜密度。n解：)(tdteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228 Sa例 求隨機(jī)相位正弦波 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度， 常數(shù)， 在0，2 均勻分布。n解 )sin()(0tt0)sin()(0tEtasincoscossin00ttE0)()(),(2121ttEttR0cos21)()(cos000)(2)(2)(00P21)0( RS21)(21dPs2.3高斯過(guò)程 恣意的n維分布都服從正態(tài)分布的

7、隨機(jī)過(guò)程n一維概率密度函數(shù)n a 數(shù)學(xué)期望， 均方差， 方差nfx關(guān)于 x=a 對(duì)稱nfx在 單調(diào)上升， 單調(diào)下降n 或 n n 且有 )2)(exp(21)(22axxf2),(a),(axx0)(xf1)(dxxf21)()(aadxxfdxxf分布函數(shù)n n概率積分函數(shù)n誤差函數(shù)n互補(bǔ)誤差函數(shù)dzazxFx2)(exp21)(22)()(axxF)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxFax ax dzzxx)2exp(21)(2xzdzexerf022)(xzdzexerfxerfc22)(1)(2.4 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶：信號(hào)頻譜被限制在“載波或某中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶

8、上，中心頻率遠(yuǎn)離零頻)(Scfcf n 同相分量n 正交分量n 為零均值，平穩(wěn)高斯窄帶，確定n 統(tǒng)計(jì)特性)(cos)()(tttatc0)(tatttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats)(t)(ta)(t)(tc)(ts結(jié)論1：n推導(dǎo)：n由于 平穩(wěn)，零均值，即恣意t，均有0)()(tEtEscttEttEtEcsccsin)(cos)()()(t0)(tE0)()(tEtEsc結(jié)論2：同一時(shí)辰 不相關(guān)，或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 cs0)0(csR0)0(scR),(ttR)()(ttE)()(ttEcc)(coscosttcc)()(ttEsc)(

9、sincosttcc)()(ttEcs)(cossinttcc)()(ttEss)(sinsinttcc),(ttRc),(ttRsc),(ttRcs),(ttRs平穩(wěn))(t)(),(RttR令 t=0n顯然要求n令 同理可得ctttRRccos),()(0ctttRscsin),(0)(),(ccRttR)(),(scscRttRccsccRRRsin)(cos)()(ct2cccssRRRsin)(cos)()(12由1，2可得n根據(jù)相互關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有n 是 的奇函數(shù) 有n 同理可證n 即同一時(shí)辰 不相關(guān)，或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。)()(scRR)()(csscRR)()(csscRR)()(cs

10、csRR3)(csR0)0(csR0)0(scRcs由1，2還可得 平均功率相等即 方差相等結(jié)論3： ， 是高斯過(guò)程 證：當(dāng))0()0()0(scRRR222sc)(tc)(ts01t)()(11ttcct22)()(22tts)(1tc)(2ts故：是高斯隨機(jī)變量。)(tc)(ts是高斯過(guò)程重要結(jié)論：n均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，均值為零，方差一樣，在同一時(shí)辰得到的 及 不相關(guān)，或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 cs 統(tǒng)計(jì)特性n 服從瑞利分布n 服從均勻分布)(),(ttaa2exp)(222aaaf0a21)(f20理想的寬帶過(guò)程白噪聲n n0為常數(shù)n白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

11、僅在 時(shí)才不為零，故白噪聲只需在 時(shí)才相關(guān)，在恣意兩個(gè)時(shí)辰上隨機(jī)變量都不相關(guān)。 2)(0nP)(2)(0nR00帶限白噪聲n對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，那么各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量)(p20n0f0f021f021f例：限帶3400Hz的語(yǔ)音信號(hào)和加性噪聲，以fs=6800Hz的速率對(duì)xt進(jìn)展抽樣n tX(t)=s(t)+n(t)()()(ssskTnkTSkTX)()()(ssxkTXkTXER)()()()(nssnnsRRRR)(sR2.5隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)呼應(yīng)v0t，輸入vit，沖激呼應(yīng)htn線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，那么 n 或n當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程 時(shí)，輸出為dthvtvi

12、)()()(0)()()(0ivHvdthvtvti)()()(0dtvhtvi00)()()()(ti)(0t00)()()(dthti假定輸入 是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，調(diào)查 的特性)(ti)(0t)(0tE00)()()(dthEtEi0)()(dtEhi平穩(wěn)性 )(tEi0)()(dhtEi000)()()0(dtethHHtj0)(dtth)0()()(0HtEtEi1、2、 的自相關(guān)函數(shù)n由平穩(wěn)性 n輸出過(guò)程是廣義平穩(wěn)的。)(0t),(110ttR),(110ttR)()(1010ttE01)()(dthEi01)()(dthi010)()()(tEhhiddti)(1)()()(11iii

13、RttE),(110ttR)()()()(000RddRhhi3、 的功率譜密度n令 那么)(0t)(0P)(0PdeRj)(0deRhhddji)()()(00)(0P00)()(dehdehjjdeRji)()()()(*iPHH)()(2iPH4、輸出過(guò)程 的分布n將 n 改寫為和式：n 可知：假設(shè) 為正態(tài)隨機(jī)變量n 也為正態(tài)隨機(jī)變量n 高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后的過(guò)程仍為高斯的。)(0t00)()()(dthtikkkkihttk)()(lim)(000)(ti)(0t思索：隨機(jī)過(guò)程 ，A是均值為a，方差為 的高斯隨機(jī)變量，求：n1、 及 的兩個(gè)一維概率密度。n2、 能否廣義平穩(wěn)？n3、 的功率譜n4、平均功率是多少？tAtcos)(2A0)(tt1)(tt)(t)(t解：1、Att0)()2)(exp(21)(220AAaxxfAtt1)()2)(e