大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七章2線性方程組的求解ppt課件

1、線性方程組的普通方式線性方程組的普通方式 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxXx12mbbbb11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb1 記記 那么有矩陣方式那么有矩陣方式 AXb11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb1 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb那么方程組有向量方式那么方程組有向量方式 線性方程組的向量方式線性方程組的向量方式 記記 線性方程組的普

2、通方式線性方程組的普通方式 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱方程組時(shí)，稱方程組1為齊次線性方程組；為齊次線性方程組；當(dāng)當(dāng) ，稱方程組，稱方程組1為非齊次線性方程組。為非齊次線性方程組。0b 0b 齊次線性方程組的解的性質(zhì)齊次線性方程組的解的性質(zhì) 解向量：方程組的解構(gòu)成向量解向量：方程組的解構(gòu)成向量 稱為解向量。稱為解向量。 12,TnXx xx結(jié)論：齊次線性方程組的解的恣意線性組合還是該方程組的解。結(jié)論：齊次線性方程組的解的恣意線性組合還是該方程組的解。 1、假設(shè)、假設(shè) 是齊次線性方程

3、組的解，那么是齊次線性方程組的解，那么 也是也是 方程組的解。方程組的解。 12, 122、假設(shè)、假設(shè) 是齊次線性方程組的解，那么是齊次線性方程組的解，那么 也是方程組的解。也是方程組的解。 k根底解系的概念根底解系的概念 假設(shè)齊次線性方程組假設(shè)齊次線性方程組 的解向量組的解向量組 線性無(wú)關(guān)，方程組的恣意解可由該向量組線性表示，那么該組解向線性無(wú)關(guān)，方程組的恣意解可由該向量組線性表示，那么該組解向量稱為方程組的一個(gè)根底解系。量稱為方程組的一個(gè)根底解系。0AX 12,n r 注：根底解系是不獨(dú)一的。注：根底解系是不獨(dú)一的。 齊次線性方程組的解的構(gòu)造齊次線性方程組的解的構(gòu)造 定理定理 假設(shè)齊次線性

4、方程組的系數(shù)矩陣的秩假設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩 ，那么齊次線性方程組有根底解系，根底解系中含有那么齊次線性方程組有根底解系，根底解系中含有 個(gè)解向量。個(gè)解向量。( )R Arnnr證明：見(jiàn)書(shū)證明：見(jiàn)書(shū) P267 定理定理 假設(shè)齊次線性方程組的根底解系為假設(shè)齊次線性方程組的根底解系為 ，那么方程組的通解為那么方程組的通解為12,n r 1 122n rn rXkkk12n rk kk, ,其中其中 為恣意常數(shù)。為恣意常數(shù)。 例例 求解齊次線性方程組，用根底解系表示通解。求解齊次線性方程組，用根底解系表示通解。 12341232341234032023054320 xxxxxxxxxxxxx

5、x解解 將系數(shù)矩陣將系數(shù)矩陣A作行初等變換作行初等變換 1111321001235432A10120123000000001111012301230123方程組的普通解為方程組的普通解為 134234223xxxxxx ()2R A 所以所以 12324221rrrrrrr 214135rrrr其中其中 為自在未知量為自在未知量 34,x x11221212314221223231001xkkxkkkkxkxk改寫(xiě)為向量方式，得改寫(xiě)為向量方式，得 121223,1001其中其中 即為根底解系即為根底解系 134234223xxxxxx 方程組的普通解為方程組的普通解為 非齊次線性方程組的解的性

6、質(zhì)非齊次線性方程組的解的性質(zhì) 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 (1)AXb對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0 (2)AX 假設(shè)假設(shè) 是是1的解，那么的解，那么 是是2的解。的解。 12, 12假設(shè)假設(shè) 是是1的解，的解， 是是2的解，那么的解，那么 是是1的解。的解。證明證明 1Ab2Ab120AAbAb0A證明證明 非齊次線性方程組的解的構(gòu)造定理非齊次線性方程組的解的構(gòu)造定理 假設(shè)假設(shè) 是非齊次線性方程組的特解，是非齊次線性方程組的特解， 是對(duì)應(yīng)的是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)根底解系，那么非齊次線性方程組的通解齊次線性方程組的一個(gè)根底解系，那么非齊次線性方程組的通解可表示為可表示

7、為 。12,n r 1 122n rn rXkkk例例 設(shè)三元非齊次線性方程組設(shè)三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A的秩為的秩為 2，且它，且它的三個(gè)解向量的三個(gè)解向量 滿足滿足 ，求，求AX=b的通解。的通解。123, 12133,1, 1,2,0, 2TT解解 由題設(shè)知：方程組由題設(shè)知：方程組AX=0的根底解系中只含有一個(gè)解向量的根底解系中只含有一個(gè)解向量 121323()() )1,1,1T即為一根底解系即為一根底解系 131,0, 12T即為一特解即為一特解 1,0, 11,1,1TTXk所以原方程組的通解為所以原方程組的通解為 非齊次線性方程組有解的充要條件非齊次線性方

8、程組有解的充要條件 非齊次線性方程組非齊次線性方程組AX=b有解有解 向量向量b可由矩陣可由矩陣A的列向量組的列向量組 線性表示線性表示 12,n 向量組向量組 與向量組與向量組 等價(jià)等價(jià) 12,n 12,nb 1212,nnRRb ( )( )R AR AAAb其中其中 ，稱為增廣矩陣，稱為增廣矩陣 定理定理 線性方程組線性方程組AX=b有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即的秩等于增廣矩陣的秩，即 。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程組有獨(dú)一解；時(shí)，方程組有獨(dú)一解； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；時(shí)，方程組有無(wú)窮多解； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解。時(shí)，方程組無(wú)解。( )

9、( )R AR Arn( )( )R AR Arn( )( )R AR A( )( )R AR A例例 求解線性方程組求解線性方程組 23424538213496xyzxyzxyzxyz 解解 將增廣矩陣作行初等變換將增廣矩陣作行初等變換 23141245382134196A12324212234rrrrrrrr12450771401414280771432422122172rrrrrrr1021011200000000所以所以 ( )( )23R AR A方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解 普通解為普通解為 1 22xzyz 其中其中Z為自在未知量為自在未知量 令令Z=K，將普通解改寫(xiě)為向量方

10、式，得，將普通解改寫(xiě)為向量方式，得 122101xykz 其中其中 為根底解系為根底解系 211例例 求解線性方程組，當(dāng)求解線性方程組，當(dāng) K 為何值時(shí)，方程組有為何值時(shí)，方程組有1獨(dú)一解？獨(dú)一解？2無(wú)解？無(wú)解？3無(wú)窮多解？并用根底解系表示通解。無(wú)窮多解？并用根底解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk解解 方程組的系數(shù)行列式為方程組的系數(shù)行列式為 21111(2)(1)11kkkkk1當(dāng)當(dāng) 且且 時(shí)，時(shí)，方程組有獨(dú)一解。方程組有獨(dú)一解。2k 1k 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)，增廣矩陣為時(shí)，增廣矩陣為2k 211112121124A033903361124000303361124( )3( )2R AR A此時(shí)，方程組無(wú)解。此時(shí)，方程組無(wú)解。 13232rrrr12rr3當(dāng)當(dāng) 時(shí)，