圓錐曲線專題

1、圓錐曲線的綜合問(wèn)題直線和圓錐曲線問(wèn)題解法的一般規(guī)律“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1) 從幾何角度看，可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn).(2) 從代數(shù)角度看，可通過(guò)將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來(lái)判斷.1. 設(shè)直線I的方程為Ax + By+ C= 0,圓錐曲線方程f(x, y) = 0.由 AX+ By C 0，消元。如消去y后得ax2 + bx + c= 0.f(x,y) 0 若a = 0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線I與雙曲線的漸近線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，

2、直線I與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合. 若a豐0,設(shè)A= b2-4ac.a. A 0時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；b. A = 0時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；c. A v 0時(shí)，直線和圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn).2. “點(diǎn)差法”的常見(jiàn)題型求中點(diǎn)弦方程、求(過(guò)定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問(wèn)題.必須提醒的是 “點(diǎn)差法具有不等價(jià)性，即要考慮判別式A>0是否成立. 直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題(1) 斜率為 禺的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，則所得弦長(zhǎng)IP1P2I'1 + k |xi x2|、i + 0yi y2|=或 |Pi P2| =.(2)

3、 當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用軸上兩點(diǎn)間距離公式).4 圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題x2 y2遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用 “根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓二+ 2 = i中，以P(xo,a2 b2b2xox2 y2yo)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k一臥；在雙曲線a2-i中，以P(xo,yo)為中點(diǎn)的b2xo弦所在直線的斜率“臥；在拋物線宀2px (p>0)中，以P(x0, yo)為中點(diǎn)的弦所在直線P的斜率k =.yo題型一圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題【例i】 已知拋物線 C： y2 = 4x,過(guò)點(diǎn)A( 1,0)的直線交拋物線 C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)AP =:AQ.(i)若點(diǎn)P關(guān)于x

4、軸的對(duì)稱點(diǎn)為 M，求證：直線 MQ經(jīng)過(guò)拋物線 C的焦點(diǎn)F;i i若圧3,;，求ipqi的最3 2大值.思維啟迪(i)可利用向量共線證明直線MQ過(guò)F; (2)建立|PQ|和入的關(guān)系，然后求最值.解析:(i)證明 設(shè) P(xi, yi), Q(X2, y2), M(xi, yi).TAP =；AQ ,.xi + 1 = X2 + 1) , yi=“2 ,.y1= *y2, y2'= 4xi, y2 = 4X2, xi = X2 ,-'.Z：X2+ 1 = ?(X2 + 1),.X2=I，X1 =入又 F(1,0),f.MF = (1 X1, y1) = (1 入 2)1=G 1fy

5、2 = FQ,1 10 1 當(dāng)HF= 7，即=3時(shí),112|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值為.直線MQ經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.1解由(1)知X2= F， X1 = F得 X1X2 = 1 , y1 y2= 16X1X2 = 16 ,'/y1y2>0 , -'-yry2 = 4,=X2 + X2 + y1 + y2 2(X1X2+ y1y2)1 1=廿 F2+ 4 廿 F 121=甘 F+ 2 2 16 ,探究提咼圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面 幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角

6、函 數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.變式訓(xùn)練1(2012 四川)如圖，動(dòng)點(diǎn) M與兩定點(diǎn)A( 1,0)、B(1,0)構(gòu)成 MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1) 求軌跡C的方程.(2)設(shè)直線y = x + m (m >0)與y軸相交值范圍.解 設(shè)M的坐標(biāo)為(x, y)，當(dāng)x = 1時(shí)，直線MA的斜 率不存在；此時(shí)，MA的斜率為 ，MB的斜率為x+1x 1y y由題意，有 = 4.化簡(jiǎn)可得，4x2 y2 4 = 0.x + 1 x1故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2 y2 4 = 0(x豐1且x工一1).由y= x + m ,

7、4x2 y2 4 = 0消去 y,可得 3x2 2mx m2 4 = 0.(*)對(duì)于方程(*)，其判別式 A= ( 2m)2 4 x 3( m2 4) = 16 m2+ 48>0 ,而當(dāng)1或一1為方程(*)的根時(shí)，m的值為一1或1.結(jié)合題設(shè)(m >0)可知，m >0且m豐1.設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xq, yo), (xr, yR),則xq , xr為方程(*)的兩根.3因?yàn)?|PQ|<|PR|，所以 |xq|<|xr| , xq =Xr=m + 2 m2+ 33所以|PR|PQ|xr|PR| xr 5<3 且=豐xq' |PQ| xq 3綜上所述,|

8、PR|55而的取值范圍是1,3 U 3，3.題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題3【例2】已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 1，2，兩個(gè)焦點(diǎn)為(1,0)、(1,0) (1)求橢圓C的方程;(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.思維啟迪可設(shè)直線AE的斜率來(lái)計(jì)算直線 EF的斜率，通過(guò)推理計(jì)算消參.解析x2y2解由題意，c = 1，可設(shè)橢圓方程為 市+ b= 1.1 93因?yàn)锳在橢圓上，所以口 +石=1，解得b2 = 3 4，b2 (舍去),x2 y2所以橢圓方程為4 + 3 =1.3證明設(shè)直線AE的方程為y = k(x 1) + ，x2

9、y2代入+ _ = 1.4 33得(3 + 4k2)x2 + 4k(3 2k)x + 4 " k 2 12 = 0.設(shè) E(xe, yE), F(xf, yF).3因?yàn)辄c(diǎn)A 1 , 在橢圓上,34 k 2 122所以xe=3 + 4 k23営心廠“又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一k代替k,可得xf =3 + 4 k23yF= kxF+ 2 + k , 所以直線ef的斜率yF yE kEF=xf xek xe+ xf + 2k 1xf xe21即直線EF的斜率為定值，其值為-.2探究提咼求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1) 從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)

10、.(2) 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.3變式訓(xùn)練2 橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 1 ,-且離心率為12.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線1: y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓 C的右頂點(diǎn)，求證：直線 I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).x2y2(1) 解設(shè)橢圓方程為 二+"7= 1 (a>b>0),a2 b2c 1由 e=2，得 a=2c，.a2 = b2+ c2 ,.b2 = 3 c2,則橢圓方程變?yōu)閥23 c2=1.3又橢圓過(guò)點(diǎn)p 1, 2，將其代入求得c2

11、=1,x2 y2故a2 = 4, b2= 3，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+_= 1.43y = kx + m ,證明設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),聯(lián)立x直線I過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為7，0.題型三圓錐曲線中的探索性問(wèn)題【例3】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn). y27+亍=i，m2 3>0 ,= 64 m 2k2 163 + 4 k28mkxi+ X2 =3 + 4k2'4 m2 3X1 X2 =r3 + 4k2cc 3 m2 4k2又 yiy2 = (kxi + m)(kx2 + m)= k2xiX2 + mk(xi + X2)+

12、m2=.橢圓的右頂點(diǎn)為 A2(2,0) , AA2丄BA2,/(xi 2)(X2 2) + yiy2 = 0,/yiy2 + xiX2 2(xi + X2)+ 4 = 0 ,3 m2 4k24 m2 3 I6 mk/2+2+2 + 4 = 0,3 + 4k23 + 4 k23 + 4 k22k7m2+ I6mk + 4k2= 0，解得 mi = 2k, m2 = 由，得 3 + 4k2 m2>0 ,當(dāng)mi = 2k時(shí)，I的方程為y= k(x 2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾.2k22當(dāng)m2=丁時(shí)，I的方程為y = k x 7，直線過(guò)定點(diǎn) 7，0，(1) 求橢圓C的方程；(2) 是否

13、存在平行于 OA的直線I,使得直線I與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線 OA與I的距離等 于4 ?若存在，求出直線I的方程；若不存在，說(shuō)明理由.思維啟迪可先假設(shè)I存在，然后根據(jù)與 C有公共點(diǎn)和與 OA距離等于4兩個(gè)條件探求.解析x2y2解方法一 (1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為壬+臣=1(a>b>0)，且可知其左焦點(diǎn)為F' ( 2,0).從而有C= 2,C=2,解得2a=|AF|+ |AF 'I = 3 + 5 = 8,a= 4.又 a2 = b2+ c2,所以 b2= 12 ,x2 y2故橢圓C的方程為和+秒=1.3x2 y2 和+匸=1，得 3x2 + 3tx + t2

14、12 = 0.假設(shè)存在符合題意的直線I,設(shè)其方程為y = -x +1. y=2x+1，因?yàn)橹本€I與橢圓C有公共點(diǎn),所以 A= (3t)2 4 X 3 X (t2 12) > 0 ,另一方面，由直線 OA與I的距離d = 4，得=4，解得t=± 213.由于土 2.13? 4 ,：3，4J3，所以符合題意的直線 I不存在.x2 y2方法二 依題意，可設(shè)橢圓 C的方程為+ 2 = 1(a>b>0),a2 b24902 + 計(jì) 1,且有a ba2 b2 = 4.從而a2= 16.x2 y2所以橢圓C的方程為 += 1.16 12同方法一.探究提咼解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系

15、的存在性問(wèn)題，往往是先假設(shè)所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗(yàn)說(shuō)明假設(shè)是否正確.變式訓(xùn)練3(2012 江西)已知三點(diǎn)0(0,0) , A( 2,1) , B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn) M (x,fff fy)滿足 |MA + MB | = OM (OA + OB) + 2.(1)求曲線C的方程；動(dòng)點(diǎn)Q(X0, y0)( 2<X0<2)在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為I問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P(0 , t)(t<0)，使得I與PA, PB都相交，交點(diǎn)分別為 D ,己，且厶QAB與厶PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求 t的值；若不存在，說(shuō)明理由.解 (1)由MA = (- 2- x

16、,1 - y), MB = (2 - x,1 - y),ff|MA + MB|= ,- 2x 2+2- 2y 2,ff fOM (OA + OB) = (x, y) (0,2) = 2y,由已知得- 2x 2 +2 - 2y 2= 2y + 2,化簡(jiǎn)得曲線C的方程：x2= 4y.假設(shè)存在點(diǎn)P(0 , t)(t<0)滿足條件,t - 1則直線PA的方程是y = hx+ t,1 -1PB的方程是尸Tx+t.xox0x2曲線C在Q處的切線1的方程是y =異蔦，它與y軸的交點(diǎn)為F 0，-4 .xo由于一2<X0<2，因此一1<；<1.t 11X0 t 1當(dāng)一1<t&

17、lt;0 時(shí)，一1<一廠 < -2，存在 X0 ( - 2,2)，使得 2 =廠1 -1 X0即I與直線PA平行，故當(dāng)1<t<0時(shí)不符合題意.t - 1X0當(dāng) t < - 1 時(shí)，-W 1< ,所以I與直線PA, PB 一定相交.t - 1y= 丁 x+t,分別聯(lián)立方程組X0X2X0X2y= x2 4y= 2X-4，x0 + 4t解得D , E的橫坐標(biāo)分別是x尸廠亍x0 + 4tXE 2X0+ t 1，X0 + 4t則 XE-XD = (1 t)2'X2 又鬥一廠t,1 i t有 SaPDE= _ |FP| |xe XD| =2 8X2 + 4t 2

18、t 12 X0，1又 Sa QAB = - 4 2X21 44 X2Sa QAB于是Sa PDEX0 4 X2 t 12X2 + 4t 24X0 4 + t 12x0 + 4 t 121 tX0 + 8tx2+ 16 t2Sa QAB對(duì)任意xo ( 2,2)，要使 為常數(shù),Sa PDE4 t 12 = 8t,即只需t滿足4 t 12= 16t2.Sa QAB解得t =1.此時(shí)=2 ,Sa PDE故存在t=1,使得 QAB與厶PDE的面積之比是常數(shù) 2.1該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A（2, 0）.19.圓錐曲線中的函數(shù)思想思想與方法2 2x y典例：(12分)已知橢圓+?= 1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P, Q,設(shè)

19、P(xi, yi), Q(X2, y2)且xi + X2 =2.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A;(2) 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)是B,求|PB|的最小值及相應(yīng)的 P點(diǎn)坐標(biāo).審題視角(1) 引入?yún)?shù)PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，先求 kpQ，利用直線PQ的方程求解.(2) 建立|PB|關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.規(guī)范解答(1)證明tP(X1, y1), Q(X2, y2)，且 X1 + X2 = 2.x 當(dāng)X1 = X2時(shí)，線段PQ的中垂線也過(guò)定點(diǎn) A(2，0).+ 2y2= 4y1 y21 X1 + X2當(dāng) X1 r 時(shí)，由 2+ 2y2= 4，得 X1； = 2 応y1

20、 y21設(shè)線段PQ的中點(diǎn)N(1 , n),.kpQ =X1 X22n線段PQ的垂直平分線方程為 y n = 2n (x 1),(2x 1)n y= 0,1該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A(；, 0).1綜上，線段PQ的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn) A(, 0).解 由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,1 故點(diǎn) B(-2，°).2 < xi < 2 , - 2 < X2W 2 ,.xi = 2 X2 0,2,1179円2十+2)2+y1=尹+1)2+44， 當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0 , ± - 2)時(shí),|PB|min = 2.溫馨提醒(1)本題是圓錐曲線中的綜合問(wèn)題，涉及到了定點(diǎn)問(wèn)題以及

21、最值問(wèn)題求圓錐曲線的最值問(wèn)題是高考考查的一個(gè)重要問(wèn)題，通常是先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象、函數(shù)的有界性或基本不等式等求最值，本題是建立二次函數(shù)、利用二次函數(shù)的圖象 求最值.(2)本題的第一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，表達(dá)不出線段PQ的中垂線方程，原因是想不到引入?yún)?shù)表示PQ的中點(diǎn).第二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，易忽視P點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍.實(shí)質(zhì)上是忽視了橢圓的范圍思想方法感悟提高方法與技巧1 .解決直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，如果直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可將直線方程y =x2 y2kx + c代入橢圓方程 二+二=1整理出關(guān)于x(或 y)的一元二次方程 Ax2+ Bx+ C= 0 , A= B2a2 b

22、24AC >0，可利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求弦長(zhǎng)(弦長(zhǎng)為一 1 + k2；A|A|).2圓錐曲線綜合問(wèn)題要四重視：(1) 重視定義在解題中的作用；(2) 重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；(3) 重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；(4) 重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用失誤與防范1 在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)， 要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況2 中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證 40或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.練出高分A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練1 .直線y= kx + 2與拋物線y2 = 8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為( )A . 1B. 1 或 3C

23、. 0D . 1 或 0解析y = kx + 2 ,由得 ky2 8y +16 = 0 ,若 k = 0,貝U y = 2 ,若 k 工0 ,若 A= 0,即 64 64ky2 = 8x=0 ,解得k= 1，因此直線y = kx + 2與拋物線y2= 8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k = 0或k=1.x2 y22 - AB為過(guò)橢圓產(chǎn)b2 = 1中心的弦，F(xiàn)（c，°）為它的焦點(diǎn)，則 FAB的最大面積為B. abC. acD. bc設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi, yi）、（ xi, yi）,1則 Safab= 2|OF|2y1|= c|y1|w bc.3 .過(guò)拋物線y2= 2px （p>

24、0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為60 °的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則 詈的值等于（）A. 5B. 4C. 3D. 2記拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線為I,作AA1丄I, BB1丄I, BC丄AA1，垂足分別是 A1、B1、C,則有 cos 60|AC|AB|AA1| |BB1|AF| |BF|1|AF|AF| + |BF| = |AF| + |BF|= 2，由此得 |BF|= 3，選 C4 . (2011 山東)設(shè)M(xo, yo)為拋物線C： x2= 8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線 C的準(zhǔn)線相交，則yo的取值范圍是( )A. (0,

25、2)B. 0,2C. (2 ,+s) D. 2 , +)解析tx2= 8y，二焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y = 2.由拋物線的定義知|MF|= yo + 2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心 F到準(zhǔn)線的距離為 4，故4<y°+ 2 , y0>2.5 設(shè)拋物線x2= 4y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線I與拋物線相交于 A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，貝U |AF|+ |BF| =.°°y1 y2設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),由題意知 xi + X2 = 2，且 x1= 4yi, x2 = 4y2，兩式

26、相減整理得，X1 X2xi + X21丁=2，所以直線AB的方程為x 2y + 7 = 0.將 x = 2y 7 代入x2 = 4y整理得4y2 直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為F2，過(guò)Fi作垂ff32 y + 49 = 0 ,所以 yi + y2 = 8，又由拋物線定義得 |AF| + |BF| = y 1 + y2 + 2 = 10.x26 .已知橢圓+ y2= 1的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi、4將x= “3代入橢圓方程得1yp = 2，由 |PF1| + |PF2|= 417|PF21=4|P卄42 = 2.7 .直線y = kx 2與拋物線y2= 8x交于不同兩點(diǎn) A、B,且AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

27、為 2，貝U k 的值是y = kx 2 ,設(shè) A(xi, yi)、B(X2, y2),由y2 = 8x,消去 y 得 k2x2 4( k + 2)x + 4 = 0 ,= 4 k + 22 4 X k2 X 4>0 ,由題意得X1 + X2 =k> 1 ,k = 1 或 k= 2,即 k = 2.x2 y28 . (10分)橢圓孑+鼠1 (a>b>0)與直線x + y 1 = 0相交于P、Q兩點(diǎn)，且 OP丄OQ (O為原點(diǎn)).1 1(1)求證：二+等于定值;a2 b2若橢圓的離心率e3，二，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.3 2b2x2 + a2y2= a2b2,(1)證明由

28、x + y 1 = 0消去 y,得(a2+ b2)x2 2a2x+ a2(1 -b2)= 0,直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，40 ,即 4a4 4(a2 + b2)a2(1 b2)>0? a2b2(a2 + b2 1)>0 ,/a>b>0 , a2 + b2>1.設(shè)P(xi, yi)、Q(X2, y2)，貝U xi、X2是方程的兩實(shí)根.2a2a21 b2xi+ X2 =a2 + b2'X1X2 =a2+ b2由 OP丄OQ 得 xiX2+ yiy2= 0，又 yi = 1 xi, y2= 1 X2,得 2X1X2 (xi + X2) + 1 = 0.式代入式化簡(jiǎn)得

29、a2+ b2= 2a2b2.+ = 2 a2十 b2.解利用(1)的結(jié)論，將a表示為e的函數(shù)c由 e= _? b2 = a2 a2e2,a代入式，得 2 e2 2a2(1 e2) = 0.2 e211 a2=_十21 e2221 e2 6'a>0 , 2 w aw £ 長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為 9 . (12分)給出雙曲線X2 f = 1.(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程;若過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線I與所給雙曲線交于 Pl,P2兩點(diǎn)，求線段Pl P2的中點(diǎn)P的軌跡方程；過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線 m，使得m與雙曲線交于兩點(diǎn) Qi，Q2，且B是Q1Q2的中點(diǎn)? 這樣

30、的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說(shuō)明理由.2x? y2 = 2, 解(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，則2x2 y2 = 2,兩式相減得到 2(xi X2)(xi + X2)= (yi y2)(yi + y2),又 xi + X2 = 4 , yi + y2= 2 ,yi y2所以直線斜率k = 4.xi X2故求得直線方程為4x y 7 = 0.(2)設(shè) P(x, y), Pi(xi, yi) , P2(X2 , y2),yi y22x按照(i)的解法可得=xi X2 yyi y2 y i由于Pi , P2 , P , A四點(diǎn)共線，得二=三，2x y

31、i由可得 一=，整理得2x2 y2 4x + y = 0 ,檢驗(yàn)當(dāng)xi = X2時(shí)，x = 2, y = 0也滿足y x 2方程，故PiP2的中點(diǎn)P的軌跡方程是2x2 y2 4x+ y = 0.(3) 假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線m存在，按照(i)的解法可得直線m的方程為y= 2x i.y=2xi,考慮到方程組y2無(wú)解，因此滿足題設(shè)條件的直線m是不存在的.x2= i2練出高分B組專項(xiàng)能力提升1 已知雙曲線 E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A, B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N( 12 , - 15)，貝U E的方程為x .已知拋物線y = x2+ 3上存在關(guān)于直線x + y =

32、 0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于y2x2y2x2y2x2y2A.=1B.=1c =1D =1364563540 + 15'/kAB= 13 + 12直線AB的方程為y = x 3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為 F(3,0) ,.c= 3, c2= 9.x2 y2設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -乙=1(a>0 , b>0), a2 b2x2x 3 2則；=1.整理，得a2b2(b2 a2)x2+ 6a2x 9 a2 a2b2= 0.6 a2_設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),則X1+X2= _= 2 x (12) ,：a2 = 4a2 + 4b2,.5a2 = 4b2.a bx

33、2 y2又 a2 + b2= 9 ,.a2= 4, b2 = 5 ,雙曲線 E 的方程為 一 一=1.4 5( )A . 3B . 4C . 3 ,'2D . 4 2解析設(shè)直線AB的方程為y = x + b.y = x2+ 3由？ x2 + x + b 3 = O?xi + X2 = 1 ,y = x + b1 1得AB的中點(diǎn)m -2， 2+bi i又M -, - + b在直線x + y = 0上，可求出b = 1,x2+ x 2 = 0 ,則|AB| = ：1 + 12 1 2 4 X 23 .如圖，已知過(guò)拋物線y2 = 2px (p>0)的焦點(diǎn)F的直線x my + m = 0

34、與拋物線交于B兩點(diǎn)，且 OAB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為 2 2，貝U m6 + m4的值是(y2 = 2px (p>0)P設(shè)A(X1 ,y1),B(X2 ,y2),由題意可知，；=m，將x = my m代入拋物線方程中，整理得y2 2pmy + 2pm = 0,由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1 + y = 2pm , y1y2= 2pm , 1 p(y1 y2)2 = (y1 + y2)2 4y1y2= (2pm )2 8pm = 16 m4 + 16 m2，又 OAB 的面積 S= ：x Jy1m6 + m4= 2.y2|= 2( m) x 4 ,-'m4+ m2 = 2 ；2，兩

35、邊平方即可得x2 y24 .直線y= kx +1與橢圓+一= 1恒有公共點(diǎn)，貝U m的取值范圍是 5 m2 2x yt方程一+ = 1表示橢圓，m>0且m半5.5 m直線y= kx +1恒過(guò)(0,1)點(diǎn),02 12要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，應(yīng)有：+w1 , m >1 ,5 m'm的取值范圍是 m > 1且m半5.x2y25 .已知雙曲線 ;=1 (a>1 , b>0)的焦距為2c,離心率為e，若點(diǎn)(一1,0)與(1,0)到直a2 b2x y4線；=1的距離之和s>孑，則e的取值范圍是| b ab |b ab|2ab 4由題意知s =+=c,#a2 + b2 #a2+ b2c 52 c25b2c2 w 5ab.a2ab又一=