高二二項式定理(理科)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載年級內(nèi)容標(biāo)題編稿老師高二學(xué)科二項式定理（理科）胡居化數(shù)學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)1.理解二項式定理的內(nèi)容及其通項公式的概念，掌握二項式定理的應(yīng)用.2. 理解二項式系數(shù)與展開式中某項系數(shù)的區(qū)別，掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其簡單的應(yīng)用.3. 理解方程的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及賦值法等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.二、知識要點分析1.二項式定理：(a b)nC n0 anC n1 an 1bC n2 a n 2 b2C nr a n r brC nnbn 這個 公式表示的規(guī)律叫二項式定理 .（ 1）二項式 ( a b) n 的展開式的特點： （ i）展開式共有n+1項；（ ii ）各項的次數(shù)之和等于 n

2、；（ iii ）a 的次數(shù)由 n 降到 0，b 的次數(shù)由 0升到 n.（ 2）二項展開式的系數(shù)：C nr ,(0rn, rN , n N）（ 3）二項展開式的通項公式： Tr1C nr a nr br ， r=0， 1， 2n ，表示二項展開式的第（ r+1）項 .注：（ i ）二項式 (ab)n 的展開式的第（ r+1）項 C nr a nr b r 與二項展開式（ b+a） n 的第（r+1 ）項 C nr b n r a r 是有區(qū)別的，應(yīng)用時a， b 不能隨便交換 .（ ii ）二項展開式的系數(shù)C nr 與展開式中的對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)C nr 恒為正 . 而某項的系數(shù)可

3、以是任意的實數(shù) .（ iii ）二項式 (ab) n 的展開式的通項公式是Tr 1 ( 1) r C nr a n r br，各項的二項式系數(shù)是 C nr ，各項的系數(shù)是( 1) r C nr2. 二項式定理的應(yīng)用： （ 1）進(jìn)行近似計算； （ 2）證明整除或求余數(shù)問題； （ 3）證明有關(guān)的不等式 .3. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：（ 1） C nr1C nr 1C nr （組合性質(zhì)（ 2）的體現(xiàn)） .（ 2） C nmC nn m （與首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等），即對稱性 .（ 3）增減性：當(dāng) kn1時，二項式系數(shù) Cnk 是逐漸增大的；當(dāng)kn 1時，二項式22系數(shù)是逐漸減小的 .（ 4

4、）最大二項式系數(shù)：當(dāng)n 是偶數(shù)時， n+1 是奇數(shù)，展開式共有（n+1 ）項，故展開式優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載nn中間一項的二項式系數(shù)最大，即第（1) 項的二項式系數(shù)最大. 最大的二項式系數(shù)是Cn2 ；2當(dāng) n 為奇數(shù)時，（ n+1）是偶數(shù)，共有（ n+1）項，故中間有兩項， 即第 n1 項、（ n 11）項22n1n 1的二項式系數(shù)最大，這兩項的二項式的系數(shù)相等且最大，為Cn21Cn2 .（ 5）二項式的系數(shù)和是2n，即 C n0C n1C n2C nn2n ，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即C n0C n2C n1C n32n 1.二項展開式的各項系數(shù)和：一般的，設(shè)f（ x）

5、= a0a1 xa2 x2an xn 的各項的系數(shù)和是f （ 1 ），其中 x的奇次項系數(shù)和等于1 f (1)f ( 1)； x的偶次項系數(shù)和等于21 f (1)f ( 1) .2【典型例題】知識點一：二項式定理及其簡單應(yīng)用.例 1.(x1)12展開式中的常數(shù)項是（）3xA. 1320B. 1320C. 220D. 220【題意分析 】本題是利用二項式定理求二項展開式中的某項問題，即通項公式的應(yīng)用.【思路分析】 可設(shè)第（ r+1）項是常數(shù)項，利用通項公式及x 的次數(shù)是零確定r 的值，即可確定常數(shù)項 .1 ) r12r( 1)r C12rx12 r (r【解題步驟】 設(shè)第（ r+1）項是常數(shù)項，

6、則Tr 1( 1) r C12r x33xx的次數(shù)是零，r0 r9 ，故第 10 項是常數(shù)項 .12 r3T( 1)9C 9220 ，選 C1012【解題后的思考】 關(guān)于利用二項式定理求二項展開式中的某項或某項的系數(shù)問題，是二項展開式的通項公式的應(yīng)用，一般設(shè)第（r+1）項是要求的項 . 根據(jù)要求確定r 的值，即可確定要求的項 .易錯點：把通項公式中的第（r+1）項誤認(rèn)為是第 r 項 .例 2.利用二項式定理解決下列問題求：（ 1）（ x32） 5 的展開式中 x5 的系數(shù)；x2（ 2）在 ( 3x32)100 的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù).【題意分析】 這兩道試題都是二項展開式中的通項公

7、式Tr 1 C nr an r b r 的應(yīng)用 .【思路分析】 （1）假設(shè)第（ r+1 ）項是展開式中含 x5 的項，根據(jù) x 的次數(shù)是5 確定 r 的值 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 2）假設(shè)第（ r+1 ）項是有理項，根據(jù)通項公式中的各個因數(shù)的次數(shù)都是整數(shù)確定r 的取值個數(shù)，從而確定有理項的個數(shù).【解題步驟】 （1）假設(shè)第（ r+1 ）項是展開式中含x5的項，則 T r 1 C5r (x3 )5 r (22 ) r( 2) r C5r x15 5 r ，x依題意 15 5r 5，解得 r 2，故（ 2） 2 C 52 40 為所求 x5 的系數(shù) .（ 2）假設(shè)第（ r+1 ）項是展開式中的有理

8、項，50rrr100r3rr100r則 T r 1( 3x)(2 )C1003223x， C100要使 x 的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù)50 r 與 r 都必須是整數(shù)，23因此 r 應(yīng)是 6的倍數(shù)，即 r 6k（ k Z ），又 06k100，解得 0k162 （k Z ），3 x 的系數(shù)為有理數(shù)的項共有17 項.【解題后的思考】求二項展開式中具有某特定性質(zhì)的項，關(guān)鍵是確定r 的值或取值范圍 . 應(yīng)當(dāng)注意的是二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)不是同一概念，要加以區(qū)分. 易錯點是：在通項公式中漏掉( 1) r .例 3. （ 1）求證： 32n324n37 能被 64 整除（ 2）求證： (2) n 1

9、n2, (nN,n3)31【題意分析】 本題是應(yīng)用二項式定理證明整除問題和證明不等式問題.【思路分析】 （1）將已知含有n 的式子中的2n 3進(jìn)行變形，3即 32 n3332 n23(81) n 1 ，然后用二項式定理展開 .（2） (2) n 12(3) n1n1，把 (3) n 1(11) n 1 用二項式定理展開 .3n 12222【解題步驟】證明：（ 1） 32 n 324n373 (81) n124n37 3(C n0 1 8n 1C n11 8n 364(C n01 8n 1Cn11 8n 2 364(C n01 8n 1C n11 8n 2 364(C n018n 1C n11

10、8n 2故原式可被64 整除 .C nn 11 82C nn 18 C nn 11 ) 24n37C nn 11 )24C nn 124n40C nn11 )24(n1) 24 n40C nn11 )64（ 2） ( 2) n 12( 3) n 1n 13n 122優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載( 3 ) n 1(11) n 1Cn0 1C n11 1Cn2 1 ( 1 ) 2C nn 11 ( 1 )n 1222221n 1C n2 1 ( 1 )2( 1 )n 11n 1 n 122222故原不等式成立 .【解題后的思考】 利用二項式定理證明整除問題時關(guān)鍵是找除數(shù)或其倍數(shù)的因式，要對已知的式子變形（

11、如32 n 3n1）利用二項式定理展開含有除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)的式變形為 （）381子或數(shù) . 證明不等式問題也同樣要對已知的不等式進(jìn)行等價變形，目的是為使用二項式定理創(chuàng)造條件，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【小結(jié)】本題組主要是二項式定理的通項公式的應(yīng)用及利用二項式定理證明整除問題或證明不等式 .在通項公式的應(yīng)用過程中，注意它是第（r+1 ）項而不是第r 項 . 在證明整除或不等式問題時要對含有n 的式子變形為利用二項式定理提供條件.知識點二：求特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用.例 1.（ 2x 5y） 20 展開式中各項系數(shù)之和是（）A .320B.320C.220D.2 20【題意分

12、析】 本題是利用賦值法求二項展開式的各項系數(shù)之和的問題.【思路分析】 假設(shè)各項的系數(shù)是a0 ,a1 , a2, a20，在 ( 2x5 y)20 中取 x=y=1 代入可求 .【解題步驟】 假設(shè)各項的系數(shù)是a0 ,a1 , a2, a20，令 x=y=1 得：a0 a1a20(2 1 5 1)20320 ，選 B【解題后的思考】 在求二項展開式的各項系數(shù)之和問題常采用賦值法，要體會這種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用 .易錯點是：混淆各項系數(shù)與各項二項式系數(shù)，誤選答案C例 2.已知（ 12x) n 中第 6項的系數(shù)與第 7 項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項 .【題意分析】 本題首先確定n

13、，要根據(jù) n 的值確定二項式系數(shù)最大的項，要注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別 .【思路分析】 由已知確定 n 的值，根據(jù)二項式系數(shù)的增減性可確定第幾項二項式系數(shù)最大.對于系數(shù)最大的項的確定可以假設(shè)第（r+1 ）項的系數(shù)最大是T 0，第 r 項的系數(shù)是 T 1，第（ r+2 ）項的系數(shù)是 T 2，則 TT;T2T0 ，由此確定 r 的值 .10【解題過程】 T6T5 1Cn5 (2x) 5 ,T7 T6 1 C n6 (2x)6 ,C n5 25C n6 26n 8 ，故二項展開式（12x)8中共有9 項，中間一項第 5 項的二項式系數(shù)最大，所以所求的二項式系數(shù)最大的項是T5 T4 1 C84 2

14、4 x 41120 x 4 ，假設(shè)第（ r+1 ）項的系數(shù)最大是T 0，第 r 項的系數(shù)是 T1，第（ r+2）項的系數(shù)是 T 2T C r2r , T C r 12 r 1 ,T2C r 1 2r 1 ，08188優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載C 8r 2 rC 8r1 2 r 12C8rC8r1(1)C 8r 2 rC 8r1 2r 1C8r2C8r1(2)由（ 1）得： 28!8!216 ，r!(8r )!(r1)! (8r 1)!rr9 r同理由（ 2）得： r5，故 5r6, r 0,1,2,8 ，即系數(shù)最大的項是第6 項、第7項，T1792 x5 , T71792 x 66【解題后的思考】

15、對于求二項式系數(shù)最大項的問題可根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求解，對求系數(shù)最大項的問題通過建立不等式求解，本題的易錯點是：混淆二項式系數(shù)與某項系數(shù)的概念.例3. 設(shè)(23x)100a0a1 xa2 x2a100 x100，求下列各式的值 .（ 1） a1a3a5a99（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2（ 3） | a0| a1 | a100|【題意分析】 本題為采用賦值法求值的問題，根據(jù)所求的系數(shù)和賦予x 不同的值 .【思路分析】 對于（ 1）設(shè) f ( x)a0a1xa2 x 2a100 x100 ，則 a1 a3a5a99 f (1)f (1) ，2對于（ 2）用平方差公式

16、分解得： (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 )2 f（ 1）f （ 1） .（ 3）對于 | a0 | a1 | a100| 等價于 (23x)100 的各項系數(shù)之和 .【解題步驟】（ 1）設(shè) f ( x)a0 a1 xa2 x 2a100 x100，則 a1a3a5a99 f (1)f (1) (23)100( 23)10022（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2 (a0a1a2a100 )(a0a1a2a3a98a99a100 ) f (1)f (1) (23)100 (23)1001（ 3）令 x 1 得： f (1)| a0 | a1 | a100 |

17、(23)100【解題后的思考】 像這類求二項展開式各項系數(shù)和的問題，或求奇次項系數(shù)和、 偶次項系數(shù)和的問題常采用賦值法解決，要根據(jù)不同的系數(shù)之和賦予不同的值.【小結(jié)】 本組三個例題是關(guān)于二項展開式的系數(shù)的問題，對于二項式的系數(shù)問題要利用二項式系數(shù)的性質(zhì)解決， 對于求某些特定的項的系數(shù)或系數(shù)和問題要采用賦值法和方程、不等式的數(shù)學(xué)思想方法解決. 容易產(chǎn)生的錯誤是：把二項式系數(shù)與某項的系數(shù)混淆.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想和方法】本講主要講述二項式定理和二項式系數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用. 在解決問題的過程中體現(xiàn)了方優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載程的數(shù)學(xué)思想、不等式的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【模擬試題】（答題時間： 6

18、0 分鐘，滿分60 分）一、選擇題 （共 3 小題，每題5 分，計15 分）1.( x 1)55( x1) 410(x1) 310( x1) 25( x 1) ()A . x 5B . x 51C. x 51D . ( x 1)512.若 nN, ( 21)n2anbn , (an ,b nZ), 則b n()A .一定是奇數(shù)B . 一定是偶數(shù)C.與 n 的奇偶性相反D . 與 n 有相同的奇偶性3.在二項式 ( x21 ) 5的展開式中，含 x4項的系數(shù)是（）xA. 10B. 10C. 5D . 5二、填空題 （共 3 題，每題5 分，計 15 分）4.設(shè) nN, C1n6Cn2Cn3 6

19、2Cnn 6n 1_5.已知 (1ax) 5110 x bx 2a5 x5 ，則 b= _6.若 (x1)n 的展開式的各項系數(shù)之和是32，則 n= _x三、計算題 （ 30 分，每題10 分）7.已知（ 2x x lg x ） 8 的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的值等于1120，求 x 的值 .8. 求：（ 1）（ x2） 10（ x2 1）的展開式中 x10 的系數(shù)；（ 2）（x1） （ x1） 2（ x1） 3（ x1） 4（ x 1） 5 的展開式中x2 的系數(shù) .39. 求：（ 1） x12 的展開式中的常數(shù)項；x（ 2）若（ 2x 3 ）4 a0 a1x a2x2 a3x3a4x4

20、，求（ a0 a2a4） 2 （ a1a3） 2 的值 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載【試題答案】一、選擇題1. B 解析：原式C0(x 1)5C 1 ( x 1) 4C2( x 1) 3C 3 ( x 1)2C4(x 1) C5555555C55( x 1) 151 x512. A 解析：特值法：取n=1 時， (21)121, 此時 b=1 ，是奇數(shù)取 n=2 時， ( 21)23 22，此時 b=3，為奇數(shù)3. B 解析：設(shè)第（ r+1）項是含 x 4 的項，則 Tr 1( 1) r C5r ( x2 )5 r (1 ) r( 1) r C5r x10 3r ，x令 10 3r 4 知： r=2 ，故含 x 4 項的系數(shù)是 ( 1) 2 C 5210二、填空題4.1 (7 n1)解析：(16) nC n0C n1 6C n2 62Cnn 6n67n16(Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6 n1 )Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6n 11 (7n1)65.40，解析：據(jù)題意知： b 是展開式中含 x 2