極坐標與參數(shù)方程知識講解

1、極坐標與參數(shù)方程知識講解泉州七中數(shù)學組王劍峰參數(shù)方程和極坐標系知識要點（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即 ；x=f（t） f并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M （x, y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做 這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系 x、y之間關(guān)系的變 數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1 .過定點（X0, y。），傾角為a的直線：x = x0 tcos： y = y0 tsin 二（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點P（X。，y。）為起點，對 應于t點M （x, y）為終點的有向線段PM的數(shù)量, 又稱為點

2、P與點M間的有向距離.根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論.峰.設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應的 參數(shù)分別為 tA 和 tB,則 |AB = |tB TaI =為 B Ta）2 -4tA tB .（2 .線段AB的中點所對應的參數(shù)值等于 號2 .中心在（x。，y。），半徑等于r的圓：x = x0 r cosi y = y0 rsin 二（e為參數(shù)）3 .中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的 橢圓：-x = a cos二- y = bsin 二（。為參數(shù)）(或X = bCOs9 )y = asin 二中心在點（x0,y0）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程 = btg 二y = asec1；x

3、0 acos 'G為參數(shù)）y = y0 bsin 二.4.雙曲線:中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的（但為參數(shù)）（或5.線：頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物x = a seuy = btg 12x=2pt(t為參數(shù),y = 2PtP> 0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點P （x°, y°）,傾斜角為口的直線的參數(shù)方程是»；需 （t為參數(shù)）J3.2極坐標系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點 Q叫做極點, 引一條射線Ox,叫做極軸，再選一個長度單位和 的任意一點M用P表示線段OM的長度，9表示 從Ox到OM勺角，P叫做點M的極徑，e叫做點M 的極角

4、，有序數(shù)對（p, e）就叫做點M的極坐標。 這樣建立的坐標系叫做極坐標系。角度的正方向（通常取逆時針方向）O對于平面內(nèi)M,/ a1A0 y X圖12、極坐標有四個要素：極點；極軸； 長度單位；角度單位及它的方向.極坐標與直角 坐標都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點，在極坐 標系下，一對有序?qū)崝?shù)p、。對應惟一點P（p,）, 但平面內(nèi)任一個點P的極坐標不惟一.一個點可以 有無數(shù)個坐標，這些坐標又有規(guī)律可循的，P（p,） （極點除外）的全部坐標為（p/+ 2依）或（-p, e +（2k+l）D,（ Y Z）.極點的極徑為0,而極角任意取.若對p、e的取值范圍加以限制.則除極點外，平面上 點的極坐標就惟

5、一了，如限定 P>0 , 0W 8 V 2n或 p<0, -J1VBsc ”等.極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中， 點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標 是一多對應的.即一個點的極坐標是不惟一的.3、直線相對于極坐標系的幾種不同的位置方 程的形式分別為：一cos(?-)O圖4sin-圖2sin-二acos( ):二a4、圓相對于極坐標系的幾種不同的位置方程 的形式分別為(a>0)：(1) P = a(2) P = 2a cos日 P = -2acosH(4) P = 2asinH (5) P = 2asin 日(6) P =2acos(1-:) 圖1圖2P =

6、aP = 2 a cos 日廠了 GO、/aMa<LL mJOx圖4圖5p = 2asinep = _2asin9Jya(，)坐Nx71MPydr _ O . 一 一 HX = Pcosex2 +y2 = Fiy = Psinetane，(x¥0)XMXa O /OA，圖3p = -2a cos1'P *(a,Cp)|la / OX圖6P = 2acos© 一中)5、極坐標與直角 標互化公式：（直極互化圖）泉州七中數(shù)學組王劍峰泉州七中數(shù)學組王劍峰例題（j3.1參數(shù)方程）例1.討論下列問題：1、已知一條直線上兩點Mid*卜M2（x2,y2以分點M（x, y）分所

7、所成的比，.為參數(shù)，寫出參數(shù)方程。 x=3-t ,公口人2、直線！12 （t為參數(shù)）的傾斜角是y = 1 t23-?工口 x = -1 t cos ;、萬程 y.3 tsin：.的曲線是（t為非零常數(shù)，口為參數(shù)）表示A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線4、已知橢圓的參數(shù)方程是,x=5cos；（日為參數(shù)），則 y =4sinH橢圓上一點P （ 2 , -20 ）的離心角可以是A.B.C.D.例2把彈道曲線的參數(shù)方程1 ,二：；*化成普通方程. y 二V0Sin 一 t - 2 gt ,（2）例3.將下列數(shù)方程化成普通方程.21 t22t1 t21-t21t22trr = -my+1y =mx +1x

8、 = a cos：,似為參數(shù),a > b > 0) y = bsin .：.22 cX = COS ey = sin 二例5.已知圓錐曲線方程是x = 3t +5cos中十 1j = -6t2 +4sin 中-5例 4.直線 3x2y+ 6=0,令 y = tx +6 (t 為參 數(shù)).求直線的參數(shù)方程.(1)若t為參數(shù)，中為常數(shù)，求該曲線的普通 方程，并求出焦點到準線的距離；(2)若中為參數(shù)，t為常數(shù)，求這圓錐曲線的 普通方程并求它的離心率。例6.在圓x2+2x+ y2=0上求一點，使它到直線2x+ 3y 5=0的距離最大.例7.在橢圓4x2+ 9y2=36上求一點P,使它到直線

9、 x+2y+18=0的距離最短(或最長).例8.已知直線；1:k2143t與雙曲線(y-2) 2-x2=1 y 4 ri相交于A、B兩點，P點坐標P(-1, 2)。求：(1) |PA|.|PB的值;(2)弦長 |AB|；弦 AB 中點M與點P的距離。例9.已知A (2,0),點B,C在圓x2+y2=4上移動, 且有/BAC=：n求AABC重心G的軌跡方程。322例10.已知橢圓 .1和圓x2+（y-6）2=5，在橢圓上求 328一點Pl,在圓上求一點P2,使|PlP2|達到最大值，并求出此最大值。例11.已知直線l過定點P（-2,0），與拋物線C: x2+ y-8=0相交于A、B兩點。（1）若

10、P為線段AB的 中點，求直線l的方程；（2）若l繞P點轉(zhuǎn)動，求 AB的中點M的方程.22例12.橢圓與+ %=«.>0）上是否存在點P,使得由P a b點向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直？若存 在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。例題(J3.2極坐標系)例1討論下列問題：1 .在同一極坐標系中與極坐標 M ( 2,40° )表 示同一點的極坐標是()(A)( 2, 220 )(B)(2,140 )(C)(2,-140 )(D) (2,-40 )2 .已知 ABC的三個頂點的極坐標分別為 A(4,0 ), B(-4,-120 ), C(2石+ 2, 30

11、),則ZXABC 為()。(A)正三角形(B)等腰直角三角形(C)直角非等腰三角形(D)等腰非直角三角形3 .在直角坐標系中，已知點M(-2, 1),以原點O 為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，當極角在(一兀，兀內(nèi)時，M點的極坐標為()(A)(而，兀一argtg(2)(B)(一而，argtg( 2)(C) (一&,兀一argtg 1)(D)( 55 ,一兀 + argtg )例2.把點A(T三),B(3,)的極坐標化為直角坐標。64例3.把點m(t3-i),n(q-3),pq2；0)的直角坐標化為極坐標。例4.已知正三角形ABC中，頂點A、B的極坐標分別為a(i,0),b求頂點C的

12、極坐標。例5.化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標方程。例6.化圓錐曲線的極坐標方程為直角坐標方程。 i - ecos?例7.討論下列問題：1 .在極坐標系里，過點M (4, 30。)而平行于極軸的直線，的方程是()(A) Psin = 2 ( B) Psin6 = 2(C) Pcos6=2(D ) PcosB = 22 .在極坐標系中，已知兩點Mi(4,arcsin3), M2(6,兀一arccos(- *),則線段 M1M2的中點極坐標為()(A) ( 1)arccos2)(B) (1, arcsinl)3(C) (1)arccos(-呼)(D) (1,arcsin) 333.已知

13、P點的極坐標是(1,兀)，則過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程是()。(A) p =1(B) p =cos0(C) p cos0 =1(D) p cos9 =14.若p >0,則下列極坐標方程中，表示直線的是()。(A) e = 3(B) cose = = (ow e w 兀)(C) tg 9 =1(D) sin 0 =1(0< 0 < 兀)5 .若點A( 4, 6兀)與B關(guān)于直線0 =那寸稱，在6 3P >0,兀w e兀條件下，b的極坐標6 .直線P cos( e ； )=1與極軸所成的角7 .直線 p cos(0 a )=1 與直線 p sin( 0 a )=1

14、的 位置關(guān)系是。8 .直線 y=kx+1 (k<0 且 kr 1)與曲線 p 2sin 0 p sin20 =0的公共點的個數(shù)是()。(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3例8.討論下列問題；1 .圓的半徑是1,圓心的極坐標是(1, 0),則這個圓 的極坐標方程是()。(A) p = cosO (B) p = sin0(C) p =2cos0 (D) p =2sin92 .極坐標方程分別是 p = cos0和p = sin 0的兩 個圓的圓心距是()。(A) 2(B) Q (C) 1(D)招3 .在極坐標系中和圓p =4sin0相切的一條直線方 程是()(A) p sin9 =2(B)

15、 p cos9 =2(C) p sin0 =4( D) p cos9 =44 .圓p=Dcos0 - Esine與極軸相切的充分必要條 件是()(A) D E=0(B) D2+E2 = 0(C) D=0,EW0(D) DW0, E = 05 .圓 2= 2 vs sin 6 2cos6的圓心的極坐標 為。6 .若圓的極坐標方程為p =6cos9 ,則這個圓的面 積是。7 .若圓的極坐標方程為p=4sin9 ,則這個圓的直 角坐標方程為 。與圓=2cco8 .設(shè)有半徑為4的圓，它在極坐標系內(nèi)的圓心的 極坐標為(一4, 0),則這個圓的極坐標方程 為。例9.當a、b、c滿足什么條件時，直線p= 二. a cos? bsin -例10.試把極坐標方程