Leslie人口模型及例題詳解

1、(1)(2)Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型，借用差分方程模型，僅考慮女性人口的 發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃， 因此必須建立一個更精確的模型。20世紀(jì)40年代提出的Leslie人口模型，就是一個預(yù)測人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1) 將時間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1 ,因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為S歲，將其等間隔劃分成m個年齡段，不妨假設(shè) S為m的整數(shù)倍,每隔S/m年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化；(2) 記ni (t)為第i個年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù)

2、，記n(t) =ni(t),n2(t), ,nm(t)第i年齡組女性生育率為 bi (注：所謂女性生育率指生女率)，女性死亡率為di ,記S =1d”假設(shè),di不隨時間變化(3)不考慮生存空間等自然資源的制約，不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響(4)生育率僅與年齡段有關(guān)，存活率也僅與年齡段有關(guān)。建立模型與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程mn(t 1)=' bini(t) i Ani4f(t +1) =5。) i =1,2 .，m-1寫成矩陣形式為n(t 1) =Ln(t)bl b2 bm4 bm、！I§0 00其中，L=0S200a+ .+ .a*00Sm0J記n(0) 8(0

3、)52(0), ,nm(0)假設(shè)n (0)和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，貝Un(t)=Lh(0), t= 0,1,2,為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠(yuǎn)變化趨勢，我們先給出如下兩個條件：(i) si 0, i=1, 2,，ml;(ii) bZ0, i =1, 2,，m 且 bi 不全為零。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件( i )、( ii )下，下面的結(jié)果是成立的：定理1L矩陣有唯一的單重的正的特征根人=可，且對應(yīng)的一個特征向量為n * =1 , s1/ 扁,S1S2/ 3,0S1S2 Sm-1 / 而(3)定理2若有是矩陣L的任意一個特征根，則必有|初 及。定理3若L第一行中

4、至少有兩個順次的b ,加書0 ,貝U(i )若扃是矩陣L的任意一個特征根，則必有 禺| 扇。(ii ) lim n(t)/ 油=cn* ,(4)t .:其中c是與n (0)有關(guān)的常數(shù)。定理1至定理3的證明這里省去。由定理 3的結(jié)論知道，當(dāng)t充分大時，有n(t) c 0n*(5)定理4記PbiS1S"J S-l , q ( A) =§/九+臼2/人2+Em/7m，則兀是L的非零特征根的充分必要條件為q (九)=1(6)所以當(dāng)時間充分大時，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按九一1的比例增長。由(5)式可得到如下結(jié)論：(i)

5、當(dāng)入1時，人口數(shù)最終是遞增的；(ii) 當(dāng)人1時，人口數(shù)最終是遞減的；(iii) 當(dāng)人=1時，人口數(shù)是穩(wěn)定的。根據(jù)(6)式，如果=1,則有bi + b2S1 + b3S1S2 + - + bms1 S2Sm-1=1 記R= bl + b2Sl + b3SlS2 + - + bmSl S2 Sm-1(7)R稱為凈增長率，它的實際含義是每個婦女一生中所生女孩的平均數(shù)。當(dāng)R>1時，人口遞增；當(dāng)&1時，人口遞減。LeSlie模型有著廣泛應(yīng)用，這里我們給出一個應(yīng)用的例子，供大家參考。公園大象管理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約11000頭大象，管理部門希望為大象創(chuàng)造一個健康的生存環(huán)境，將大

6、象的總數(shù)控制在11000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計當(dāng)年大象的總數(shù)。過去20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在11000頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來實現(xiàn)。統(tǒng)計表明，每年約處理600-800頭大象。近年來，公眾強烈反對捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一 種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。公園有一些關(guān)于大象的資料，供建模參考：1幾乎不再遷入或遷出大象；2目前性別比接近1: 1,采取控制后，也希望維持這個比例；3初生象的性別比也是大約 1 : 1,生雙胎的比例為1.35%4母象初次懷孕大約

7、在 10-12歲，一直到60歲大約每3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕，懷 孕期為22個月；5避孕針可能引起大象每個月都發(fā)情，但不受孕，因為大象通常每 3.5年生育1次，所以按月循壞的方案是不足取的；6避孕針對母象沒有副作用，打了避孕針的母象 2年內(nèi)不再受孕；7初生象存活到1歲的比例為70%-80%此后，直至60歲前，存活率都比較均勻，大約在95% 以上，大象一般只活到70歲；8公園里不存在捕殺行為，偷獵可以不考慮；公園管理部門有一份過去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計，不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是，構(gòu)造一個模型，利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù).同時需要完成以下任

8、務(wù)：1建立并利用模型推算 2-60歲大象可能的存活率，以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；2估計每年需要避孕多少大象，才能保證大象總數(shù)控制在11000頭左右，說明數(shù)據(jù)不確定性對你的結(jié)論的影響,評價一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對旅游的影響,（你可能被要求觀察 30-60年）；3假設(shè)每年可以移出 50-300頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少,評價如何根據(jù)經(jīng)濟效益平 衡兩種方案；4有一些反對觀點認(rèn)為，假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵，使大象總數(shù)突然大幅度下降，即使停止避孕，也會對大象群的恢復(fù)存在不良影響，研究并回答這個問題；5公園公管理部門正在構(gòu)造模型，特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型 指導(dǎo)決策的觀點.希望你

9、的模型包括一份技術(shù)報告能給公園管理部門提一些建議，提高公園管 理部門的信心，除此之外，你的報告，還應(yīng)該包括一個詳細(xì)的技術(shù)流程（最多3頁）回答公共關(guān)心的問題。6假如非洲其它公園對你的模型感興趣，有意利用你的模型，請為公園大象數(shù)在 300-25000頭規(guī)模的公園提供一份避孕計劃，順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況附過去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡0123 41 5，678 9總量1103777170686158 51 52 51母象150364129313028 24 22 29總量298746961605452 59 58 57母象257343329342827 31 25 25年齡10111

10、21314151617 18 19總量15150514847494847 43 42母象12727262726252827 19 25總量26063646063 59525549 50母象22636383033 34243021 30年齡20 21222324252627 28 29總量14237394142434548 49 47母象1181619241725 2126 29 27總量2535765535650 5349 43 40母象2292740232924 2126 24 16年齡303132333 4 35 363738 39總49 4748 46 41母象

11、12422202224 24 2325 2124總量23835373320 33 3029 2926母象21716181815 18 1217 1613年齡404142434 44546474849總量141424338343433303526母象124192620201516132011總量210242522212211212119母象261114101012811129年齡50515253545556575859總量12118145 976044母象11098 -4 44303 2總量2155109 765470母象2645 4-423 :2 -4 0年齡6061626364 656667

12、686970總量14322 1302102母象12111 0300102總量22302 0201000母象22100 0101000假設(shè)與分析1大象性別比接近1: 1,初生象的性 別比也是大約1: 1,采取控制后，也希望 維持這個比例；2過去兩年遷出的大象是隨機抽樣，其結(jié)構(gòu)反映了象群總體的年齡結(jié)構(gòu)；3避孕是隨機的，母象是否避孕是不可識別的，假設(shè)各個年齡的母象是等比例避孕的，比例系數(shù)為k,僅通過調(diào)節(jié)k來控制公園大象數(shù)量；4母象初次懷孕大約在10-12歲，簡化假設(shè)大象初孕時間為11歲，當(dāng)前狀態(tài)下，成年象的成活率為s,生育母象率為r,老年象的成活率是線性逐漸遞減的，因此其成活率可表示為Si =s(7

13、0i)/10,(60 & £70)設(shè)初生象活到1歲的存活率為S0 o5避孕針對母象沒有副作用，打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；且無論打避孕針前母象是否懷孕，一旦打了避孕針，母象就被避孕或中止懷孕，平均每年有V比例的母象處于避孕狀態(tài)；每年母象的避孕率為n ,每年的避孕方案時瞬時完成的。6假設(shè)大象的年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。數(shù)據(jù)處理與分析(1) 2-60歲大象的存活率與年齡結(jié)構(gòu)母象生育率為r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448 頭/年12歲的母象生育母象的生育率為 r/6。由題設(shè)知道存活率 s在(0.95,0.99)。以下是第一年遷移出0至70歲大象數(shù)據(jù)x1=103,7

14、7,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4,4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2;以下是第二年遷移的0-70歲大象數(shù)據(jù)x2=98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 5255 49 5053 57 65 53 56 50 53 49 43 4

15、038 35 37 33 20 33 30 29 29 26 1024 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 02 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y1=50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 1816 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 2020 15 16 13 20 11 10 9

16、8 4 4 4 3 0 3 2;以下是第二年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y2=57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 2927 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 1410 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0;考慮到有些數(shù)據(jù)較小及抽樣的隨機性，我們?nèi)纱纬闃拥钠骄底鳛榉治龅幕緮?shù)據(jù)。t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn

17、=tt2./tt1;mean(tn)ans =0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21); tt=t1+t2; tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31); tt=t1+t2; tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41); tt=t1+t2; tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1; mean(t

18、n)ans =0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51); tt=t1+t2; tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1; mean(tn) ans =0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60); tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1; mean(tn) ans =0.9719 n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;for i=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1

19、-(i-61)/10);endn1;N1=n1( 12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);5);title('圖1')N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis(10,40,0,圖 1 54.543.532.5 ._2 l1.5 _1p_0.5°1Ol520253035)通過以上分析大致可以得到，1-60歲大象的存活率約為0.98 o 0-70歲年齡結(jié)構(gòu)向量見圖2。y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a, y0,'stacked')

20、 ;title(' 圖 2')下面我們?nèi)?& = 0.75,§ = & = 0.98。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;for i=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endm1;for i=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title（' 圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)'）plot（a,m1,'r-',a,y0,'b

21、-.'）；title（' 圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比較'）圖 4 年 齡 結(jié) 構(gòu)當(dāng) 前 狀 態(tài) 與穩(wěn)定 狀 態(tài)比 較765_4| 13 :_2 -1 -7''、廣、J1 . _.0 I010203040506070polyfit(y0,m1,1)ans =0.1981 -0.0694從所給的數(shù)據(jù)來看，象群的年齡結(jié)構(gòu)還沒有達(dá)到相對穩(wěn)定的狀態(tài)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，大體可以得到l=zeros(71,71); l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.1448;endl;for j=3:61l(j,j-1)

22、=0.98;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.98-0.9 8*(k-61)/10;endl；eig(l);矩陣的唯一正特征值為1.0322 。對于不同的存活率，得到的唯一正特征值為：s0 = 0.75,s = 0.97, p = 1.023;s0 = 0.75,s= 0.98, p = 1.0322;s0 =0.75,s= 0.99, p= 1.042.下面我們估計每年處于避孕狀態(tài)母象的比率丫。此時，女性生育率為0.1448(1-Y)。記s° =0.75,5 =& =0.98'-13 =0.1448(1 -)203/6, * =0.1448(

23、1 - )§"s22(14 5 三 61)由(6)式得q(1)= ：134"：61 =1解得11 _ =1148= 0.376, = 0.6240.1448弱11/6 s2(1-s：8)/(1 *1-1/(0.1448*0.75*0.98人11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans =0.6240即每年應(yīng)該有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)。為了保證有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)，下面分析每年應(yīng)該打避孕針母象的比例n。在假設(shè)3和假設(shè)5的前提下，如果每年打避孕針母象比例為聽。母象可以分成3類：即當(dāng)年被打避孕針而上一年沒有被打避孕針或上一年被打避孕針而

24、本年沒有被打避孕針，比例為2(1-)；連續(xù)兩年被打避孕針 2；連續(xù)兩年沒有被打避孕針。只有最后一類母象具有生育 能力。因此，只需要滿足方程=2 (1-)21-sqrt(0.376)ans =0.3868ans =0.38680.3868*5500ans =2.1274e+003解得=0.387，即每年大約需要給 2127頭母象打避孕針。在方案實施過程中，實際上根本不需要打這么多針，因為許多小象還是可以識別的?？梢圆扇‰S機抽樣的打針方式，對于抽到的小象只計數(shù)不打針，直至計滿2127頭母象，就算完成當(dāng)年任務(wù)。采取打避孕針的方案對象群的年齡結(jié)構(gòu)是由一些影響的，下面給出了打與不打避 孕針情況下穩(wěn)定的象

25、群年齡結(jié)構(gòu)與各你阿爸年齡段象群數(shù)的比較。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;for i=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0 322;end; m1;for i=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end; m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;for i=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end; n1;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m1,&

26、#39;r-',a,n1,'b-');title(' 圖5年齡結(jié)構(gòu)比較');axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b-')title(' 圖5各年齡段大象數(shù)比較圖')axis(-0,70,0,300)250200150圖 5年 齡 結(jié)構(gòu) 比較0.9.0.8-0.7-、0.60.5-0.4-0.30.2-0.1.0 0204060通過以上兩個圖的比

27、較，可以發(fā)現(xiàn)采取避孕措施，將使幼象、小象數(shù)減少，中老年象數(shù)增加。由于采取避孕措施，使得初生小象數(shù)減少，因此會不可避免地引起象群年齡結(jié)構(gòu)的改變， 下面分析，15年、30年、60年后的象群年齡結(jié)構(gòu)。L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.for i=14:61376/6;L(2,1)=0.75;L(1,i)=0.1448*0.376;end ; L;for j=3:61L(j,j-1)=0.98; end; L;for k=62:71L(k,k-1)=0.98-0.9 8*(k-61)/10; end; L;eig(L);n15= LA15* x0'n30=LA15

28、*n15;n60=LA30*n 30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title(' 圖 6a 避孕前種群量分布');axis(0,70,0,250)bar(a,M15)title(' 圖 6b 避孕 15 年后種群量分布');axis(0,70,0,250)70bar(a,M30

29、)title(' 圖 6c 避孕 30 年后種群量分布');axis(0,70,0,250)250圖 6c避孕 30年后種群景分布150M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60ititle(' 圖 6d 避孕前種群量分布);axis(0,70,0,250)2001501005001020304050600 I0102030405060圖 6d 避 孕 前 種 群 量 分 布2507010050200圖 6b 避孕 15年后種群量分布2502001501005010203040506000n70=LA70*x0'n70=100*n70/

30、 norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);圖7給出了避孕前后年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的比較plot (a, k1,'r-',a,n70,'b-.');title(' 圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)');axis(0,70,0,5)圖 7 避孕前后穩(wěn)定 的年齡結(jié)構(gòu)4.543.532.521.510.50數(shù)據(jù)不確定性對結(jié)果的影響分別取 s0 =0.7,0.8,§ =s2 =0.95,0.9911 =1148 = 0.421, = 0.5790.1448s0s111/ 6 s2(1 -s48)/(1 -s2)1-1/(0.144

31、8*0.7*0.95人11*(1/6+(0.95-0.95人49)/0.05)ans = 0.01151-sqrt(1-0.0115)ans =0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99人11*(1/6+(0.99-0.99人49)/0.01)ans =0.74661-sqrt(1-0.7466)ans =0.49660.012,0.757每年需避孕的母象比例 為0. 6阮49.7 %。對于每年可以遷移 50-300頭大象及s0 =0.75,§ =s2 =0.98,下面分析避孕方案的變化及 最經(jīng)濟的方案。設(shè)增長率為p，對于& = 0.75,§ = s2 =

32、 0.98* =0.1448(1 - )&4/6, * =0.1448(1 - )§"s22(14 3 三 61)q(p) = 13/ p1214 / p133/p60 =1令S0 =S0/p,s'i =&/ p* =&/ pE13 =0.1448(1 Y')So's；1/6,Pi4'=0.1448(1危'')；1')；-1%# 玄 61)q(p) =、i3 A "1一 0.1448s'os'；1"/6+s2(1 s'：8)/(1 s2)當(dāng)p=1.01

33、，每年的避孕率為28.2%，每年遷出110頭；當(dāng)p=1.02,每年的避孕率為16.8%，每年遷出220頭；當(dāng)p=1.025，每年的避孕率為11.3%，遷出275頭。1-1/(0.1448*0.75*0.98人11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans =0.62401-sqrt(0.376)ans =0.3868p=1.0 1;1-p 人12./(0.1448*0.75*0.98人11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).人49)/(1-0.98./p)ans =0.48481-sqrt(0.5152)ans = 0.2822 p=1.02; 1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans = 0.3080 1-sqrt(0.692)ans = 0.1681 p=1.0 25; 1中.人12./(0.1448*0.75*0.98人11*(1/6+(0.98巾-(0.98巾)人49)/(1-0.98/p)ans = 0.2036 1-sqrt(0.7864)ans = 0.1132 進一步分析可以知道，對于 =0.75$ =& =0.98,如果增長率為 p(1 壬 p 壬 1.0322，即每年移 11000(p-1),s/ =s0/p,