八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何證明題技巧(含答案)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之幾何證明題的技巧1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題， 它有兩種基本類型： 一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系； 二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（ 1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題解決；（ 2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（ 3）分析綜合法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思

2、考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例 1.已知：如圖1 所示，

3、ABC 中，C90 ，ACBC，ADDB，AECF 。求證： DE DFAEDCFB圖1分析： 由ABC 是等腰直角三角形可知，AB45，由D是 AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD ，易得CDAD ，DCF45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明： 連結(jié)CDACBCABACB90 ，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF ，ADCB ， ADCDA D ECDFDEDF說(shuō)明： 在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD ，因?yàn)?CD 既是斜邊上的中線，又是底邊上的學(xué)習(xí)必備歡迎下載中線。本題亦可延長(zhǎng)ED

4、 到 G，使 DG DE ，連結(jié) BG，證EFG 是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。說(shuō)明： 利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：（ 1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證邊或者角；（ 2）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證。 證兩條直線垂直， 可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形 “三線合一” 來(lái)證。例 2. 已知：如圖4 所示， AB AC ， A90 ，AEBF，BDDC 。求證： FD E

5、DAEF2 31BDC圖4證明一： 連結(jié) ADABAC，BDDC1290 ，DAEDABBAC90 ， BDDCBDAD B DAB DAE在 ADE 和 BDF 中，AEBF， BDAE，ADBDADEBDF313 2 90FD ED說(shuō)明： 有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問(wèn)題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例 3. 已知：如圖6 所示在ABC 中，B60 ， BAC 、 BCA 的角平分線 AD 、 CE 相交于 O。求證： AC AE CDBEDO1 42 35AF6圖6C學(xué)

6、習(xí)必備歡迎下載分析： 在 AC 上截取 AF AE 。易知AEOAFO ，12 。由B60 ，知5 6 60，1 60，23 120。123460，得： FOCDOC， FC DC證明： 在 AC 上截取 AF AEBADCAD，AOAOAEOAFO SAS4 2 又B605 6 601 602 3 120123460FOCDOC ( AAS)FCDC即AC AE CD（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)后的線段等于另一較長(zhǎng)線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例 4. 已知：如圖7 所示，正方形ABCD 中， F 在 DC 上， E 在 BC 上，EAF45 。求證： EF BE DFAD312F

7、GB EC圖7分析： 此題不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB 至 G，使 BGDF 。證明： 延長(zhǎng) CB 至 G，使 BG DF 。 在正方形ABCD 中，ABGD90 ，ABADABGADF (SAS)AGAF，13又 EAF 4523452145即 GAE FAEGEEFEFBEDF【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知：如圖 11 所示，ABC 中， C90 ，D 是 AB 上一點(diǎn)，DE CD 于 D ，交 BC 于 E，且有 ACADCE 。求證： DE1 CD2學(xué)習(xí)必備歡迎下載CEAD圖11B2. 已知：如圖12 所示，在ABC 中，A2B，CD是 C的平分線。求證： BCAC ADADBC圖12

8、3. 已知：如圖13 所示，過(guò)ABC 的頂點(diǎn)A，在A 內(nèi)任引一射線，過(guò)B、 C作此射線的垂線BP和 CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證： MP MQAQBCMP圖13【試題答案】1. 證明： 取 CD 的中點(diǎn) F，連結(jié) AFC41F3 EADBACADAFCDAFCCDE90又1490，13904 3 AC CEACF CED ( ASA) CF EDDE1 CD2學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 分析： 本題采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法。 “截長(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。EADBC證明： 延長(zhǎng) CA 至 E，使 CE CB，連結(jié) ED在 CBD 和 CED 中，B EBAC 2B BAC 2E又BACADE