《高等數(shù)學(xué)I》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱課程名稱：高等數(shù)學(xué) Advanced Mathematics課程性質(zhì)：通識課 公共必修課 學(xué) 分：11總 學(xué) 時(shí)：170學(xué)時(shí) 理論學(xué)時(shí)：170學(xué)時(shí)適用專業(yè)：本（工）科各專業(yè)先修課程：教學(xué)目的與要求：高等數(shù)學(xué)是高等院校本科學(xué)生數(shù)學(xué)教育都應(yīng)達(dá)到的合格要求，也是選學(xué)工科各專業(yè)學(xué)生的基本要求，因此該課程不僅是高等院校本科數(shù)學(xué)教育的一門通識課程，也是工科本科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課程與核心課程，它的教學(xué)目的與要求是：1. 使學(xué)生獲得高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論與基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；2. 使學(xué)生具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象

2、能力；具有較強(qiáng)的自學(xué)能力；3. 使學(xué)生學(xué)習(xí)體會研究問題解決問題的一般科學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的意識、興趣和能力。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配序號章目名稱學(xué)時(shí)分配第一章函數(shù)與極限20學(xué)時(shí)第二章導(dǎo)數(shù)與微分10學(xué)時(shí)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用12學(xué)時(shí)第四章不定積分12學(xué)時(shí)第五章定積分12學(xué)時(shí)第六章定積分的應(yīng)用12學(xué)時(shí)第七章微分方程15學(xué)時(shí)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)12學(xué)時(shí)第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用18學(xué)時(shí)第十章重積分12學(xué)時(shí)第十一章曲線積分與曲面積分18學(xué)時(shí)第十二章無窮級數(shù)17學(xué)時(shí)合計(jì)學(xué)時(shí)數(shù)170各章節(jié)主要知識點(diǎn)與教學(xué)要求第一章函數(shù)與極限（20學(xué)時(shí)）第一節(jié) 映射與函數(shù)第二節(jié) 數(shù)列的極限第

3、三節(jié) 函數(shù)的極限第四節(jié) 無窮小與無窮大，第五節(jié) 極限運(yùn)算法則第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限第七節(jié) 無窮小的比較第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章重點(diǎn)：函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念，初等函數(shù)，實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系；極限概念與極限運(yùn)算法則；無窮小與無窮小的比較；兩個(gè)重要極限；函數(shù)連續(xù)的概念與初等函數(shù)的連續(xù)性；間斷點(diǎn)的分類；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。本章難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；極限定義的理解；兩個(gè)重要極限的靈活運(yùn)用；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則的應(yīng)用；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)要求：（1）掌握函數(shù)的概念、表示方法與性質(zhì)，并會建立簡單應(yīng)用問題

4、中的函數(shù)關(guān)系式；（2）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；（3）了解函數(shù)極限的概念，會用極限定義證明一些極簡單的極限，理解和掌握極限的運(yùn)算性質(zhì)；(4) 理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系; (5) 了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限；（6）掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；（7）掌握無窮小的有關(guān)理論，會用等價(jià)無窮小求極限；（8）掌握函數(shù)連續(xù)的定義，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；（9）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，會用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡單的有關(guān)問題。 （10）略講內(nèi)容：極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則的證明。第二章導(dǎo)數(shù)與微分(10學(xué)時(shí))

5、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率第五節(jié) 函數(shù)的微分本章重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與微分的定義，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；微分的概念與求法；高階導(dǎo)數(shù)。 本章難點(diǎn)：微分的概念與微分法；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法。教學(xué)要求：（1） 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念以及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程；了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量；（2）理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；會用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；（3）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；（4）會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

6、；（5）會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（6）會堅(jiān)決一些簡單的相關(guān)變化率實(shí)際問題；（7）會求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；（8）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。（9）略講內(nèi)容： 高階導(dǎo)數(shù)中的萊布尼茲公式； 微分應(yīng)用中的四個(gè)概念（誤差、相對誤差、相對誤差限、絕對誤差限）。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 微分中值定理第二節(jié) 羅必達(dá)法則第三節(jié) 泰勒公式第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪第七節(jié) 曲率第八節(jié) 方程的近似解本章重點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式；

7、羅必達(dá)法則；函數(shù)的單調(diào)性的判別方法；函數(shù)極值的求法，最大值和最小值的應(yīng)用；函數(shù)圖形的描繪。本章難點(diǎn)：泰勒公式；洛必達(dá)法則；最大值、最小值的應(yīng)用問題。教學(xué)要求：（1）掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；理解泰勒公式，知道泰勒公式的一些簡單應(yīng)用；。（2）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法；（3）理解函數(shù)極值的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。（4）會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)；（5）會求函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形；（6）理解弧微分；知道曲率和曲率半徑的概念。（7）略講內(nèi)容： 曲率

8、半徑、曲率中心與曲率圓的計(jì)算； 方程的近似解。第四章不定積分（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理函數(shù)的積分第五節(jié) 積分表的使用本章重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念；不定積分的性質(zhì)；換元法與分部積分法；有理函數(shù)的積分。本章難點(diǎn)：不定積分各種方法的綜合使用；換元積分法中變量代換的選擇。 教學(xué)要求：（1）理解原函數(shù)和不定積分的概念；（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)；（3）掌握不定積分的換元法與分部積分法；（4）會求簡單的有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的不定積分；（5）了解積分表的使用方法。第五章 定積分（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 定積分

9、的概念與性質(zhì)第二節(jié) 微積分學(xué)基本公式第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法第四節(jié) 反常積分本章重點(diǎn)：定積分的概念及性質(zhì)；牛頓萊布尼茨公式。本章難點(diǎn)：定積分的概念；積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；反常積分的計(jì)算。教學(xué)要求：（1）理解定積分的概念與幾何意義；（2）掌握定積分的性質(zhì)；（3）掌握積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)方法；（4）掌握牛頓萊布尼茨公式；（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法，并會利用換元公式證明一些簡單命題；（6）了解反常積分的概念并會計(jì)算簡單的反常積分。（7）略講內(nèi)容： 定積分的近似計(jì)算； 定積分的遞推公式。第六章 定積分的應(yīng)用（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 定積分的元素法第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第三節(jié) 定

10、積分在物理學(xué)上的應(yīng)用本章重點(diǎn)：定積分的元素法。本章難點(diǎn)：元素法的實(shí)際應(yīng)用方法。教學(xué)要求：（1）理解和掌握定積分的元素法；（2）能利用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積等）和一些物理量（變力做功、引力、壓力等）。（3）略講內(nèi)容：函數(shù)的平均值及其應(yīng)用。第七章微分方程（15學(xué)時(shí)）第一節(jié) 微分方程的基本概念第二節(jié) 可分離變量的微分方程第三節(jié) 齊次方程第四節(jié) 一階線性微分方程第五節(jié) 可降階的高階微分方程第六節(jié) 高階線性微分方程第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程第九節(jié) 歐拉方程第十節(jié) 微分方程的冪級數(shù)解法本章重

11、點(diǎn)：微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程及一階線性方程的解法；可降階的高階微分方程的求解；二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。本章難點(diǎn)：線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。教學(xué)要求：（1）掌握微分方程及其解、階、通解，初始條件和特解等概念；（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；（3）會用降階法解某些簡單的高階微分方程；（4）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。（5）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；（6）會求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解； （7

12、）知道微分方程的冪級數(shù)解法。 （8）略講內(nèi)容：貝努里方程； 微分方程的冪級數(shù)解法。第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積第三節(jié) 曲面及其方程第四節(jié) 空間曲線及其方程第五節(jié) 平面及其方程第六節(jié) 空間直線及其方程。本章重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式；向量的數(shù)量積與向量積；兩向量平行、垂直的條件；平面的點(diǎn)法式方程；直線的對稱式方程；直線和平面的位置關(guān)系；球面方程；母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；旋轉(zhuǎn)曲面的方程。本章難點(diǎn)：兩向量的向量積；旋轉(zhuǎn)曲面的方程；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線；二次曲面的方程。教學(xué)要求(1) 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示；

13、(2) 掌握向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積和向量積，了解混合積；掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件；(3)掌握向量的模、方向余弦與方向角；(4) 掌握平面方程和直線方程；(5) 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。(6) 會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。(7) 理解曲面方程的概念；了解截痕法，了解常用二次曲面的方程及其圖形；會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；(8) 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；(9) 了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。(10) 略講內(nèi)容：平面束。第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)

14、用（18學(xué)時(shí)）第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 全微分第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式。本章重點(diǎn)：函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；多元復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件極值的求法。本章難點(diǎn)：二元函數(shù)極限與連續(xù)性的概念；偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別；復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；二元函數(shù)最大值與最小值的求法；拉格朗日乘數(shù)法。教學(xué)要求：（1）理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，會判定二元函數(shù)在給定點(diǎn)處極限不存在；（

15、3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求偏導(dǎo)數(shù)與全微分；了解全微分存在的必要條件和充分條件；（4）知道二元函數(shù)中的極限、連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微分、偏導(dǎo)連續(xù)之間的關(guān)系；（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求多元復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；（6）會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；（7）會求空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程；（8）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念；掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件；會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值；會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。（9）略講內(nèi)容： 二元函數(shù)極限的-

16、定義； 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用； 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（二）； 方向?qū)?shù)與梯度； 二元函數(shù)的泰勒公式。第十章重積分（12學(xué)時(shí)）第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算方法第三節(jié) 三重積分第四節(jié) 重積分的應(yīng)用本章重點(diǎn)：二重積分與三重積分的概念；二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；重積分的應(yīng)用。本章難點(diǎn)：多重積分化累次積分。教學(xué)要求：（1）理解二重積分與三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理；（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；會用直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；（3）會用重積分計(jì)算一些幾何量與物理量（曲面面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。第十一章曲線積分

17、與曲面積分（18學(xué)時(shí)）第一節(jié) 對弧長的曲線積分第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用第四節(jié) 對面積的曲面積分第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分第六節(jié) 高斯公式第七節(jié) 斯托克斯公式本章重點(diǎn)：兩類曲線積分的概念與計(jì)算；格林公式及其應(yīng)用；兩類曲面積分的概念與計(jì)算；高斯公式；積分思想的內(nèi)涵。本章難點(diǎn)：第二類曲線積分與第二類曲面積分；格林公式與高斯公式。教學(xué)要求：（1）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系（2）掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法；（3）掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，求全微分的原函數(shù)；（4）了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算

18、兩類曲面積分的方法；（5）了解高斯公式，會用高斯公式計(jì)算曲面積分；知道斯托克斯公式。（6）略講內(nèi)容：斯托克斯公式。第十二章 無窮級數(shù) （17學(xué)時(shí)）第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法第三節(jié) 冪級數(shù)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用第六節(jié) 傅立葉級數(shù)（簡介）本章重點(diǎn)：無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及級數(shù)的和等概念；無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件；幾何級數(shù)和級數(shù)的收斂性；正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法與根值審斂法；交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲審斂法；任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克勞林展開式。本章難點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和斂散性條件；任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的求法。教學(xué)要求：（1）掌握常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念、性質(zhì)及收斂的必要條件；（2）掌