隨機(jī)過程期末知識點

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、一家庭主婦用郵局訂閱來銷售雜志，她的顧客每天按比率 6 的 Possion 過程來訂約， 他們分別 1/2,1/3, 1/6的概率訂閱一年，二年或三年，每個人的選擇是相互獨立的，對于每次訂閱，在安排了訂閱后，訂閱一年，她得到1 元手續(xù)費，令X(t) 表示她在 0,t 內(nèi)從銷售訂閱得到的總手續(xù)費，求X(t)的均值函數(shù)和方差函數(shù)例1設(shè)X( t )A costB sint , t0,A,B相互獨立同服從區(qū)間1,1 上的均勻分布，令Y( t )tX( s ) ds,0求 Y( t),t0 的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù).例 2設(shè) W( t ),t0 是參數(shù)為1的Wiener過程，令 X(

2、t)t( s ) ds,t0 ，求X( t ), t0的均值W0函數(shù)與相關(guān)函數(shù).例二解mX (t)tW (s)dst0 .EEW (s) ds00RX(s, t)st0RW (u, v)dudv0st2 min(u,v)dudv002sudumin(u, v)dv002stdumin(u, v)dv0usust2duvdv200u0udv ( st )2 s2(3ts) , (st )6學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 s23ts,0st;6由 s與 t的對稱性RX s, t2 s23st,0ts.6例 4：求隨機(jī)相位正弦波 X (t)acos(t)t,U (0, 2) 的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。1

3、02解：由假設(shè)的概率密度為： f20其他于是 X (t)E X (t)2t1d 0E acostacos02RX (t1 , t2 ) E X (t1) X (t2 )E a2cos(t1)cos(t2)a22cos(t1)cos( t2)1d02a2t2 t12cos (t2t1) acos222(t)RX (t, t)2RX(t ,t )a2XX (t)2設(shè)X n, n0,1 ,2,是一齊次馬氏鏈，則對任意的u ,vT0,1,2,有：PuvPuP kjvi, j1,2,ijikk1這就是著名的chapmankolmogorov方程，簡稱CK方程例 ：設(shè)X n, n0是具有三個狀態(tài)的齊次馬氏

4、鏈，10,1,231044一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為11142403144初始分布 pi0PX0i1 i0,1,23試求：1PX 00, X2 1,X41 ; 2PX 21, X41,X50| X00 ;3P X21,X41,X50學(xué)習(xí)必備歡迎下載55181616解：由 CK 方程可得二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P 2 P251316216391161641 PX00, X21,X41p0 P2 P21515001113162962PX21,X41,X50| X00P2 P2 P011110511516241283PX 21,X 41,X 50P X 21 P (2)P1110 p0 (0) P01 (2)p

5、1(0) P11 (2)p2 (0) P21(2) P11 (2) P101( 519)111131621624192例 4：某計算機(jī)機(jī)房的一臺計算機(jī)經(jīng)常出故障，研究者每隔15 分鐘觀察一次計算機(jī)的運行狀態(tài)，收集了24 個小時的數(shù) (共作 97 次觀察 )，用 1 表示正常狀態(tài)，用0 表示不正常狀態(tài)，所得的數(shù)據(jù)序列如下：1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111設(shè) Xn 為第 n(n=1,2, ,97)個時段的計算機(jī)狀態(tài)，可以認(rèn)為它是一個齊次馬

6、氏鏈.求(1) 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 ;(2)已知計算機(jī)在某一時段 (15 分鐘 )的狀態(tài)為 0，問在此條件下，從此時段起，該計算機(jī)能連續(xù)正常工作 45 分鐘 (3 個時段 )的條件概率 .解: (1) 設(shè) Xn 為第 n(n=1,2, ,97)個時段的計算機(jī)狀態(tài)， 可以認(rèn)為它是一個齊次馬氏鏈， 狀態(tài)空間 I=0,1，96 次狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況是：00：8 次；01： 18 次；1 0：18 次；11： 52 次；因此一步轉(zhuǎn)移概率可用頻率近似地表示為：P00P X n 10 | X n0888 ,1826P01P X n 1 0 | X n1181881826PPXn 11| Xn01818 ,1018

7、5270P11P X n 11| X n152521852708 18 即:P 26 26 18 527070學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 某一時段的狀態(tài)為 0, 定義其為初始狀態(tài) , 即 X0 0,所求概率為 :P X11, X2 1, X31|X0 0P X11| X00PX21| X0 0, X11P X31| X00, X11, X21 P01P P111118 52 520.38226 70 70設(shè)任意相繼的兩天中 , 雨天轉(zhuǎn)晴天的概率為1 3, 晴天轉(zhuǎn)雨天的概率為 1 2, 任一天晴或雨是互為逆事件 .以 0 表示晴天狀態(tài) ,以1表示雨天狀態(tài) ,X n 表示第 n 天狀態(tài) (0 或 1)

8、. 試寫出馬氏鏈 X n ,n 1 的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 . 又已知 5月1日為晴天 , 問5月3日為晴天 , 5月5日為雨天的概率各等于多少 ?由于任一天晴或雨是互為逆事件且雨天轉(zhuǎn)晴天的概率為 1 3, 晴天轉(zhuǎn)雨天的概率為1 2,故一步轉(zhuǎn)移概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為1 3,i1, j0P X nj X n 12 3,i1, j1ii0, j01 2,1 2,i0, j10 1012 12P2 31 1 301又由于0 5127 12P217 1811 18故 5月1日為晴天 , 5月3日為晴天的概率為 P00 (2) 5 12 0.4167,又由于01P400.40050.599510.3997,0.6003學(xué)習(xí)必備歡迎下載故 5月1日為晴天 , 5月5日為雨天的概率為P01 (4)0.5995.甲乙兩人進(jìn)行某種比賽 , 設(shè)每局比賽中甲勝的概率為 p,乙勝的概率為 q. ( pqr1)設(shè)每局比賽后 , 勝者得 1分, 負(fù)者得1分, 平局不記分 . 當(dāng)兩人中有一個人得到 2分時比賽結(jié)束 .以 X n , n1表示比賽至第 n局時甲獲得分?jǐn)?shù)，則 Xn , n1 為齊次馬爾可夫鏈 .(1) 寫出狀態(tài)空間 ;(2) 求 2步轉(zhuǎn)移概率 ;(3) 問在甲獲得 1分的情況下 , 最多再賽 2局可以結(jié)束的概率 .(1)S2,1, 0,1, 2 .(2)2