長春市2016屆高三質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學試卷(四)含答案

1、長春市普通高中 2016 屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四）數(shù)學文科第 卷（選擇題，共60 分）一、選擇題（本大題包括12 小題，每小題5 分，共60 分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1.已知集合A 4， B x | yx2 ，則A B中元素的個數(shù)為，2， 1, 5，A.1B.2C. 3D. 42.已知復數(shù) z 滿足z5，則 | z |2iA. 2B.5C.3 D.53.設 a, bR ，則“l(fā)og 2 alog 2 b ”是“ 2a b1”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D.既不充分也不必要條件4. 已知直線 m , n 與平面 ，

2、，下列命題中錯誤 的是A. 若 m, n，則 m / / nB. 若 m, n / /，則 m nC.若 m, n,，則 m nD. 若 m / / n , n，則 m/ /5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k 的值為 8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是A.35s1125s B. sC.D.s 4612246. 祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異” . “冪”是截面積， “勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，體積相等 . 已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足“冪勢同” ，則該不規(guī)則幾何體的體積為A.4B.4C.8D.822837.函數(shù)f( )Asin(x)(A0

3、0 0)2x,2的部分圖象如圖所示，則 f ( )9A.3B.1C. 2D.28.已知等比數(shù)列an單調(diào)遞減，滿足 a1 a59 , a2 a4 10 ，則數(shù)列an 的公比 qA.1B.12D. 33C.339. 函數(shù) yx ln x2 的大致圖像為10.如圖，從高為 h 的氣球 ( A) 上測量待建規(guī)劃鐵橋( BC) 的長，如果測得橋頭( B) 的俯角是，橋頭 ( C ) 的俯角是，則橋 BC 的長為A.h sin()B. h cos()C.h sin()D. h cos()sin sinsinsincos coscoscos11. 棱長為 1的正四面體 ABCD 中， E 為棱 AB 上一點

4、（不含 A, B 兩點），點 E 到平面 ACD 和平面 BCD 的距離分別為a,b ，則 11 的最小值為abA.2B.2376D.26C.312.M 為雙曲線x2y21( a0,b 0) 右支上一點，A 、 F 分別為雙曲線的左頂點和右焦點，且C :2b2aMAF 為等邊三角形，則雙曲線C 的離心率為A.4B.5 1C.2D.6第 卷（非選擇題，共90 分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13 題 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22 題 24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題 ( 本大題包括4 小題，每小題5 分，共 20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上 ).13.

5、已知 | a |=| b |2 ， a（ba） 2，則 a 與 b 的夾角為 _14.等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，已知 S10 0 ， S15 25 ，則使 Sn 取最小值的 n 等于 .15.已知圓 C 的圓心在直線2xy 10 上，且經(jīng)過原點和點( 1, 5) ，則圓 C 的方程為 _.16. 下列說法中正確的有： _. （將你認為正確的命題序號全部填在橫線上）電影院調(diào)查觀眾的某一指標，通知“每排（每排人數(shù)相等）座位號為14 的觀眾留下來座談”是系統(tǒng)抽樣；推理過程“因為指數(shù)函數(shù) y ax 是增函數(shù)，而 y2x 是指數(shù)函數(shù)，所以 y 2x 是增函數(shù)”中，小前提是錯誤的；對命題“

6、正三角形與其內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體與其內(nèi)切球切于各面中心；在判斷兩個變量y 與 x 是否相關(guān)時，選擇了 3 個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2 分別為：模型1為0. 98 ，模型2為0.80，模型 3 為 0. 50 . 其中擬合效果最好的是模型1；三、解答題（本大題包括6 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)( ) cos()sin .f xxx65（ 1）利用“五點法”列表，并畫出f (x) 在 , 上的圖象；33（ 2） a, b, c 分別是銳角ABC 中角 A, B, C 的對邊 . 若 a3 ， f

7、( A)3ABC 面積的取值范圍 .，求218. （本小題滿分 12 分）某便攜式燈具廠的檢驗室，要檢查該廠生產(chǎn)的某一批次產(chǎn)品在使用時的安全性。檢查人員從中隨機抽取5 件，通過對其加以不同的電壓（單位：伏特）測得相應電流（單位：安培），數(shù)據(jù)見下表：產(chǎn)品編號電壓( )1015202530x電流 ().y0 60 81 41 21 5（ 1）試估計如對該批次某件產(chǎn)品加以110 伏電壓，產(chǎn)生的電流是多少？（ 2）依據(jù)其行業(yè)標準，該類產(chǎn)品電阻在 18 , 22 內(nèi)為合格品，電阻的計算方法是電壓除以電流現(xiàn)從上述件產(chǎn)品中隨機抽件，求這兩件產(chǎn)品中至少有一件是合格品的概率n?(xi yi )nx y（附：回歸

8、方程：a，bi 1，a y bxy bxnx22nxii 155參考數(shù)據(jù)：） x = 20 , y 1. 1 , xi yi = 121 ,xi22250i=1i=119. （本小題滿分 12 分）在四棱錐 PABCD 中， ADBC ，DCAD ，PA平面 ABCD ，2AD = BC = 23 ，DAC = 30 ，M 為 PB中點.（ 1）證明：AM平面 PCD ；（ 2）若三棱錐MPCD 的體積為3 ，求 M 到平面 PCD 的距離620（本小題滿分12 分）22已知橢圓 C : x2 +y2 = 1(a b > 0) 的左、右焦點分別為F1 , F2 ，過點 F1 的直線 l

9、交橢圓于 A, B 兩點， | AB |ab的最小值為 3，且 ABF 2 的周長為 8.（ 1）求橢圓的方程；（ 2）當直線 l 不垂直于 x 軸時，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為A ，證明直線 A B 恒過定點，并求此定點坐標 .21. （本小題滿分 12 分）已知函數(shù) f ( x) = x+a ln x (a R ) .（ 1）若曲線 y = f (x) 在點 (1, f (1) 處與直線 y = 3x2 相切，求 a 的值；（ 2）若 f ( x) a 恒成立，求 a 的取值范圍 .請考生在22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分

10、10 分）選修 4 1：幾何證明選講 .如圖， AB 是圓 O 的直徑，弦 BD 、 CA 的延長線相交于點M ， MN 垂直 BA 的延長線于點N .（1）求證：DA 是CDN 的角平分線；(2)求證： BM 2AB2AM 22AB AN .23. （本小題滿分 10 分）選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程 .在極坐標系中，點 P 的坐標是 (1,0) ，曲線 C 的方程為2 2 cos() . 以極點為坐標原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為1的直線 l 經(jīng)過點 P .4（1）寫出直線 l 的參數(shù)方程和曲線C 的直角坐標方程；（2）若直線 l 和曲線 C 相交于兩點A,B，求

11、 |PA |2|PB |2的值 .24. （本小題滿分 10 分）選修 4 5：不等式選講 .已知函數(shù)f ( x)| x1| x2 | ，不等式f ( x) t 對xR 恒成立 .(1)求 t 的取值范圍；(2)記 t 的最大值為 T ，若正實數(shù) a ,b 滿足 a2b2T ，求證：26 .112ab長春市普通高中2016 屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四）數(shù)學 (文科 )參考答案及評分標準一、選擇題 (本大題包括12 小題，每小題5 分，共 60分)1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. B8. B9. C10. A11. D12. A簡答與提示：1.【試題解析】 C由題意可知 B x |

12、x2 ，所以 AB1,2,5 . 故選 C.2.【試題解析】 B復數(shù) z5i , 則 | z |5 .故選 B.22 i0 ”，“ 2a b1”等價于“ a b ”，故選 A .3.【試題解析】 A“ log 2 alog 2 b”等價于“ ab4.【試題解析】 DD 選項，若 m n，n，則 m或 m，所以 D 錯誤. 故選 D.5.【試題解析】 C由程序框圖可知，要輸出k 8，需 s11111246時條件成立，當1111251112ss468時條件不成立，從而.故選C.224126. 【試題解析】 C 由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相等，圖示幾何體是一個正方體去

13、掉一個半圓柱，從而其體積為8.故選C.7.【試題解析】 B由題意可知3, A2 ，進而 fx2sin 3x，從而 f (2)1.故669選 B .8.【試題解析】 B由 a a5aa49， a2a410 ，且 a單調(diào)遞減，可知，1，可求得q112na2 9 a431（ q舍掉） . 故選 B.9.3C x | x 0A；當 xyBx 0【試題解析】由題意， 定義域為，排除時，排除；當時， yx2ln x ，單調(diào)遞增，排除D. 故選 C.10.【試題解析】 A設氣球在地面上的射影點為D ，在ABD 中， ABhABC 中，在ABsin(). 故選 A.sinBCsin()hsinsin sin1

14、1.【試題解析】 D連結(jié) CE, DE ，由正四面體棱長為1，有 OA6，由于 VA BCDVEBCDVE ACD ，3有6ab ，由 ab2ab 可得146，所以 11612 6.故選D.3ab ( a b) 2a b 3 ab12.【試題解析】 A由題意可知，設雙曲線左焦點為F ，由MAF 為等邊三角形，所以|MF | |AF |a c ，從而 | MF|3ac ，在MFF 中，由余弦定理得，(3ac)2(a c)24c22c(ac) ，解得 e4或 e1（舍） . 故選 A.二、填空題 (本大題包括4 小題，每小題 5分，共 20 分)13.314.515.(x2)2( y 3)2131

15、6.簡答與提示：13.【試題解析】由a(ba)2, 得 ab3 ，所以 cosa ba b1， a 與 b 的夾角為 .2| a |b |314.由題意可知 a5a60, a85是遞增數(shù)列， 所以 a50, a60 ，所以使 Sn【試題解析】，故數(shù)列 an取最小值的 n5.3(1,5) 的中垂線2x10 y260 上，又在直線15.【試題解析】由題意可知，該圓心在原點和點2xy10 上，因此圓心為(2,3)，半徑為13 ，因此圓的方程為(x 2) 2( y3)213.16. 【試題解析】 由題意可知，是系統(tǒng)抽樣，正確；推理過程是大前提錯誤，而不是小前提，錯誤；滿足合情推理， 因此正確； 根據(jù)相

16、關(guān)指數(shù)的定義可知， 相關(guān)指數(shù)越接近于 1，模型的擬合效果越好，因此正確 . 故答案為.三、解答題 (本大題必做題5 小題，三選一選1 小題，共70 分 )17. (本小題滿分 12分 )【試題解析】解：(1) 將函數(shù) f (x)cos(x) sin x 化簡成為f (x)sin( x) ，根據(jù)列表63x032223x27536363y01010可知函數(shù)圖像如圖所示(6 分)(2)在3，可知 A，由正弦定理可知abcABC 中， a3, f ( A)3sin Asin B2 ，即2sin Cb2sin B ， c2sin C ， S13bc3sin B sin C2B) ，bc sin A3 s

17、in B sin(243則 S3 sin 2B3 cos2B33 sin(2 B)3，其中 0B2，4442643因此 S 的取值范圍是 (0, 3 3 .(12 分)418. (本小題滿分 12分 )【試題解析】(1)由題意可得b0.044, a0.22，所以回歸直線y 0.044 x 0.22，故當電壓加為110?伏時，估計電流為5.06 安培(6 分)(2) 經(jīng)計算， 產(chǎn)品編號為的是不合格品，其余為合格品， 從中隨機抽 2 件共有如下10 種情況：，其中至少有一件是合格品有9 種情況，故所求事件的概率為9(12 分).1019. (本小題滿分 12分 )【試題解析】 解：取 PC 的中點

18、為 N ，連結(jié) MN , DN (1) M 是 PB 的中點，PMN / /BC,MN1 BCM2AD / /BC ，且 BC 2AD ，ANM / /AD且NMAD ，B四邊形 AMND 為平行四邊形，AM / /ND ，又AM平面 PCD ， ND平面 PCD所以 AM /平面 PCD(2) M 是 PB 的中點，V三棱錐 MPCD1 V三棱錐 B PCD326V三棱錐 B PCDV三棱錐 P BCD1 SBCDPA11231PA所以 PA1332CD平面 PAD ，CDPDCDAD,CDPA ，又 PA1, AD3, PD2,SPCD1設點 M 到平面 PCD 的距離為h ，則 V三棱錐

19、 M PCD1S PCDh11 h3 ,h3 ，3362NDC(6 分)3 PA333故M 到平面PCD 的距離為3(12 分)220. (本小題滿分12 分)【試題解析】 解： (1)因為 AB 是過焦點 F1 的弦，所以當AB x 軸時， | AB |最小，且最小值為2b2，a由題意可知2b23，再由橢圓定義知，ABF2 的周長為4a ，所以 a2, b3 ，所以橢圓的方程為ax2y21(4 分)43(2) 設AB 方程為 yk( x1), A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), A ( x1 ,y1) ，yk( x1)則 x2y2，化簡得 (34k 2 ) x28k 2 x4k

20、21204318k24k 2所以 x1x2， x1x212 3 4k 234k 2則 kA By2y1 ,A B 的方程為 yy1y2y1 (xx1 )x2x1x2x1化簡有 yk (x1x2 )2kx2kx1x2k( x1x2 ) ，將代入可得x2x1x2x1y16kx24k6kx4 ，x1 3 4k23 4k2(3 4k2x2)( x2 x1)所以直線A B恒過定點 (4,0)(12 分)21. (本小題滿分 12 分 )【試題解析】 解： (1) f(x)1 a , f (1)=3,a2(4 分)axa , xx(2) f (x) 10xx當 a0 時， f (x)在 (0,) 上單調(diào)遞

21、增，且值域為R ；當 a0 時， f (x)在 (0,) 上單調(diào)遞增；當 a0 時， f (x)在 (0, a) 上單調(diào)遞減， ( a,) 上單調(diào)遞增當 a0 時， f ( x)a 不可能恒成立；當 a0 時， f (x)x0 ，成立；當 a0 時， f (x)在 xa 處取得最小值 f (a) ，則只需 f (a)a即 aa ln(a)a ，所以ln( a) 2，解得 ae2 ，所以e2a 0綜上所述： ae2 ,0(12 分)22. (本小題滿分 10 分 )【試題解析】 解 (1)AB 是圓 O 的直徑，ADBD ,即ADM90又 MN 垂直 BA 的延長線于點N，即ANM 90 M、N、A、 D 四點共圓，MDNN