《數(shù)學(xué)模型》(第三版)電子課件第五章

1、第五章微分方程棋型51傳染病模型 52經(jīng)濟增長模型 5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)54藥物在體內(nèi)的分布與排除55香煙過濾嘴的作用 56 人口預(yù)測和控制5.7煙霧的擴散與消失 58萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)描述對象特征隨時間（空間）的演變過程分析對象特征的變化規(guī)律預(yù)報對象特征的未來性態(tài)研究控制對象特征的手段微分 方程 延模根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律,用機理分析方法建立模型模型1已感染人數(shù)（病人）誼）

2、假設(shè)建模每個病人每天有效接觸（足以使人致?。┤藬?shù)為2 i（t + Az1）i（t）=刀 Ardrdr drZ若有效接觸的是病人, 則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者（病 人）和未感染者（健康人）模型2假設(shè)區(qū)分已感染者（病人）和未感染者（健康人）1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為i（t 5（0SI模型建模2）每個病人每天有效接觸人數(shù) 為入且使接觸的健康人致病日 接觸率Ni(t + zV)= As(t)Ni(t)AtdidtAsi$（）+ ,（）=1= >%Z(1 一 Z)dtZ(0) = io病人可以治愈!2（日接觸率）1 -> tj模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，

3、健康人可再次被感染SIS模型增加假設(shè) 3）病人每天治愈的比例為“ “日治愈率建模 Ni(t + A/)-z(0 = ANsi卜juNi(t)At彳=加(1 i) /ai v dt兄日接觸率 l/“ 感染期<7 =兄/“a 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。J(o)= iodi羋=H(X 二陽卩=Aii (1)a>l1 i "0模型3didi/dtdt01-1/c01-1/cdtCTa<ldi/dt < 0t 0接觸數(shù)b=l 閾值Z(oo) = v p, 01, b > 1bcr < 1<7 < 1 i(t) /CT >

4、; 1.小=誼）按S形曲線增長感染期內(nèi)有效接觸感染的 健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 模型2（SI模型）如何看作模型3（SIS模型）的特例模型4 傳染病有免疫性一病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移 出者的比例分別為廠（）2）病人的日接觸率2,日治愈率"接觸數(shù)cr=2/z建模HO +迫）+廠C） = 1需建立/（O, 3（了），廠（了）的兩個方程數(shù)學(xué)模型模型4SIR模型Ni(t + 4)迫)=ANs(t)i(t)At MW)dNs(t + A?) s(f) = ANs(t)i(t)Atdidt=Asi jaids<=dtsiZ(O) = Zo, s

5、(0) = SoZ； + So Q 1 （通常廠（0）=心很小）無法求出«）,$（）的解析解在相平面Si上研究解的性質(zhì)消去力 cr = 2/zSIR模型f di 1=一 1CFSo相軌線旦1 si（s） =（50 + ,0）s In一S = So模型4di=Asi LIIdtds < 二ASI dtK°） = io，S（°）= So相軌線Z(s)的定義域D (s,Z)卜 > 0, Z > 0, 5 + Z < 1 在D內(nèi)作相軌線Z(s) 的圖形，進行分析模型4相軌線Z(s)及其分析SIR模型=Asi 一 /Liidi 1=1 ds crsA

6、si1 si(s) = (So+G_s +In b s0i(0) = io(0) = sos(0單調(diào)減-»相軌線的方向is l cy = im t oo，i 0SgY兩足+心一1 s%+ In 亠 0b cB：So>l/T誼)先升后降至0P2： %Vl/T誼)單調(diào)降至0口傳染病蔓延l/.傳染病不蔓延閾值模型4預(yù)防傳染病蔓延的手段SIR模型傳染病不蔓延的條件sQ<l/a（數(shù)學(xué)模型提高閾值1/cr 4降低次二刀“）口 2 I, “T兄（日接觸率衛(wèi)生水平TX日治愈率）T n醫(yī)療水平T/4 提高 口群體免疫 $o+io + %Tcr的估計50 + Zo - 5- + In = 0

7、 忽略-b %模型4被傳染人數(shù)的估計SIR模型記被傳染人數(shù)比例兀二S°-SsCT$。1兀（1;'）三0Fx«s0S0a '4x a 2s°bCvo -丄）b1 s$o +，0 兀*In 二=00L） x = 235小，（!三1x + ln（l-） = 0傳染人數(shù)比例兀數(shù)學(xué)模勢5.2經(jīng)濟增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高技術(shù)建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長1-道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值2(0資金K(t) 勞動力L(t) 技術(shù)/(f) =AQ

8、Q)=幾卩(K (f)亍F為待定函數(shù)1.道格拉(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)靜態(tài)模型 Q(KQ = f°F(K心di每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資KL模型假設(shè)z隨著y的增加而增長，但增長速度遞減Z = Q/L = fog(y)g(y) = y Q<a<l口 Q = f4K/LfH QlK,L) = hK計 Douglas生產(chǎn)函數(shù)冷。d2Q d2QdK2 ' dl3<0含義?1. Douglas生產(chǎn)函數(shù)Qk單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值Ql單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值LQl= l-aKQk+LQl=Qa資金在產(chǎn)值中的份額1勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Dougas)生產(chǎn)函數(shù)

9、Q(K,L)二 fol", Ov%0vl, fQ>02）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）資金來自貸款，利率r 勞動力付工資w資金和勞動力創(chuàng)造的效益SQ-rK-wL求資金與勞動力的分配比例觀（每個勞動力占有的資金），使效益s最大dKdLQQQk = rQl wQk = L aK exL 1 _ ocw T，廠 I nKJLp3）經(jīng)濟（生產(chǎn)率）增長的條件（動態(tài)模型）模型投資增長率與產(chǎn)值成正比 假設(shè)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長，K(f),甌)應(yīng)滿足的條件（用一定比例擴大再生產(chǎn)） = AQ, 2>0 dt勞動力相對增長率為常數(shù)Qf0Lg(y) g(y)二 yd

10、L_dtat“L L =L府Ky= K = Ly ©dt dtdt 0 dK T dy T二Y+心dt at(/02i &4 + 0；I "Bernoulli 方程込eJo = K° /厶,a = f°K 占,K0=AQq dM)=L y(C =v _(i _ a 車” I UK°丿 r,Kn K3）經(jīng)濟增長的條件產(chǎn)值0（f）增長dQ/dt > 0Q = fog(y) g(y) = ya畔=/o 乙g'(y)字+ /og(y)字atatat=九厶嚴如+“（1理）嚴些>oidt、V瓦/K。丿幺一(1一計 V _J_(A

11、)1 oc/>0n A成立“ vOn 當(dāng)r v百滬佩 川成立3)經(jīng)濟增長的條件每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZdtdZ/dt>0dydtdZ 門 dy>0<=> dtdt>0o 1-JI K°/K。丿嚴5>0 (B)0 成立“。二當(dāng)晟1時,B成立勞動力增長率小于初始投資增長率5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Landiester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會 領(lǐng)

12、域的實際問題提供了可借鑒的示例一般模型兀C)甲方兵力，y(f)乙方兵力模型假設(shè)模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方的增援率為瞅幾v(t)fx(O = /(x,y) ax + u(t). a>Gw)= g(x,y)-血+呵，0>。f, g取決于戰(zhàn)爭類型正規(guī)戰(zhàn)爭模型雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力f(x,y)=-ay,a乙方每個士兵的殺傷率a巧巧,射擊率，耳命中率= ay ax + u(t)1 . r 丄 s g = -bx,b = rxPx yy = -bx-py + vt)廠x = ay忽略非戰(zhàn)斗減員 q &

13、lt; y = _bx假設(shè)沒有增援x(0) = x0, y(0) = y0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求而在相平面上討論兀與y的關(guān)系x = ay< y = bxdy _ bx dx ayay2 bx kkay-bx；£ 0二%=o時了 0 q乙方勝x(O) = xo,y(O) = yoW) i £>0Jo、25 丿 a ryPy平方律模型上0=甲方勝£ = 0二 平局數(shù)學(xué)模型）游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型）甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加f(x,y)=-cxy, c乙方每個士兵的殺傷率數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型）°

14、= ryPyPy=sry /sx射擊率 口孔甲方活動面積巧命中率£口 乙方射擊有效面積數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型）g(x, y) = dxy.drxpxrxSrxl sy廠忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援x = cxyx(O) = xo, y(0) = y0J數(shù)學(xué)模型游擊戰(zhàn)爭模型J數(shù)學(xué)模型J數(shù)學(xué)模型dy _ddx ccy dx mm = cy° dx0x = cxy y = -dxyJo%。m>Q x = 0 時了 > 0二> 乙方勝> 0 =廠線性律 C廠心為模型 m<0=>甲方勝 加=0=>平局混合戰(zhàn)爭模型廠x = cxyy = bx022b

15、>x(O) = xo,y(O) = yon>Q乙方勝/ 、皿丿甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊 k cy2 2bx = n n cyl 2bxn ( 1%丿 二 2"二設(shè)兀0=100,廠"產(chǎn)1/2,久=0丄5x=l(km2), 5rj=l(m2)A U/x0)2>100xo乙方必須10倍于甲方的兵力5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除 g藥物進入機體形成血藥濃度（單位體積血液的藥物量） 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動力學(xué) 建立房室模型藥物動力學(xué)的基本步驟 房室一機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻 分布（血藥濃度為常數(shù)），在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論二室模

16、型中心室（心、肺、腎等）和 周邊室（四肢、肌肉等）血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物從體外進入中心室，在二室間 相互轉(zhuǎn)移，從中心室排出體外模型建立兀藥量 c)濃度 匕容積藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率, 與該室血藥濃度成正比無 1 (0 = -ki2xY -上 13兀1 + k2ix2 + fQ (0XQ (f) 上 12兀1上21“2f0給藥速率i = 1,2模型建立X （0 = Vc. （0，心1,2G GO = 一（上12 + 上 13 ）5 + 誘 21C2 + ¥ IC （門=匕上c k c線性常系數(shù)八丿 y 12

17、121 2非齊次方程- 2對應(yīng)齊次方程通解a + 0 = k、2= k 2、k 門幾種常見的給藥方式給藥速率辦 和初始條件1快速靜脈注射G 0)= 一仇12 +心3 )q + #危心+ 卅)V©（）=扌耳q-心&“25 (!) = D。r=o瞬時注射劑量a 的藥物進入中心室，血 藥濃度立即為/o（O = o, 口（0）=牛心0）= 0"1(©八+(0冇)嚴V/3-a)D k0 12 (嚴尹)c (!)=匕(0 a)2+0 二 K2+&1+代3 鄧=32恒速靜脈滴注0KT藥物以速率心進入中心室 vG(丫)= nc 2C2“2G =一仗12+心3)q

18、+ 卡 k2lc2+Z)(0 = &, C(0) = 0, c2(0) = 00<t<T0<t<Tkc (0 =+ Bxe pt +,1 11 k V13 V 1k kc2 (0 = A2e-" + B2e pt + 上匚,2 22 k k V2113 V 2A _ 匕(花 12 + 花 一 C)KN.t >T, C&)和C2(0按指數(shù)規(guī)律趨于零3. 口服或肌肉注射/相當(dāng)于藥物（劑量D。）先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室吸收室藥量M）A 中心室To = 01 xo 九09 =為 lo (O) = Doxo(t)=Doe /o(O =心

19、 =2&嚴 q(0 = A 嚴 + Be + Eeko/q (0) = 0, c2 (0) = 0 n 4, jB, Eq (r)= 一(褊 + 上 13 )q + 菩 k2ic2 +"1 "1. vGO = TJ2C 2C2“2參數(shù)估計各種給藥方式下的c2(t) 取決于參數(shù)12, &21，&13, ”1，“2匸0快速靜脈注射2 ,在如=1,2,.)測得C©)= Ae設(shè)a < 0,才充分大 G ci (C = £ ；Z_a)>由較大的c1 (f)用最小二乘法定4 a百(f) = q (t) AeM Be由較小的Z懇億)

20、用最小二乘法定,0參數(shù)估計84心0 Q進入中心室的藥物全部排除Do 二上yfqG)力 Gd0(A BIW 0)q(O) = 2 = 4 + j?i yr ifa + /? = k12 +k21 +/cl3aP *21*13aQ(A + B)ocB + /3A.也=oc+ 0k、3 -k2X5.5 香煙過濾嘴的作用問題過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中 哪些因素影響大，哪些因素影響小。分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立 吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。設(shè)想_個“機器人"在典型環(huán)境下吸煙,吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。1）厶煙草長，仏過濾嘴長，心“+仏， 毒

21、物量M均勻分布，密度w°=Mi2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙 穿行的數(shù)量比ar+a=l3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的（單位時間）吸收率分別是方和04）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)卩，香煙燃 燒速度是常數(shù)“,v »u定,性分析0吸一支煙毒物進入人體總量p T,/2 T,m J, a J,Z => Q J b 14 f => Q J ? w T => q Tl ?模型建立仁0, x=0,點燃香煙 q(x,t) 毒物流量 w(x,f) 毒物密度 w(x,O) =q(x) q(x + Ax)x x+ Ax ；"11)求g(x,0)=gCr

22、)<7(x) q(x + Ax)<2 = fJZ7<7(x)At, Q < x <lxI、< x < Z,T lx!u Ax At =如=<dx<7(jv), O < jv < Zj v一 <y(jv), I < jv < Zg(0) = aH0H° =叫q（x）:2）求皿）（時刻,巾（H）=1)求q(xfi)=q(x)bxaHoe v ,0 < x < Zj=< blQ(x/| )aHoe v e v , lx < x < Z香煙燃至 x=ut1)廠bxut)aH(t)

23、wv ,ut < x < lb lit)f3(xZ)aH(t)wv ev ，/, < x < /b(li ut) pl2qlt) = auw(ut,t)e3）求w（乂，t + ） w（x, = b qJxt） 了Vb（x-ut）dw b zCLUVVUt t） :VW（兀 0） = w°-aea wW（Ut,t） = Ja 'but、v丿.af = l-aV4）計算Q(a "but、1 ae v Jb(lx ut) z2<7(Z顯)=ciuwQutte ' e vqQ,t) = 一一； u £ p vabutabut、

24、e v ae vafbQ = aMe 'afbla'bl、1-e丿l-err一魚dbL /、l-e'rQ = aMe 'r =,（pr）=vr1）0與偽M成正比，oM是毒物集中在r=2處的吸入量也22）/V 過濾嘴因素，0, <2負指數(shù)作用3）僅門煙草的吸收作用煙草為什么有作用?a9 bl.-L « 1v0（廠）=1 r/2_歸（Q = aMe va' b I、'1_寸b, d線性作用山牯牛是毒物集中在處的吸入量結(jié)果 4）與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，wb, 分析 a,v,l均相同，吸至兀=片扔掉帶過濾嘴不帶過濾嘴awnv=e v

25、abbl2廠(Qa 、1-e fa 'bl、-e f0>b = Q <Q2提高作與加長仏，效果相同5.6人口預(yù)測和控制年齡分布對于人口預(yù)測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口F(r,0人口分布函數(shù)(年齡 廠的人口)人口密度函數(shù)N(f)人口總數(shù)方程rmoo)最高年齡F(0,Z)=0, F(r ,Z) = W)dFor人口發(fā)展方程“(F)死亡率年齡廠，廠f +力，年齡廠+斤， (t,t + dt)內(nèi)+ dr人數(shù)r + dr+dr人數(shù) 去=dr死亡人數(shù)JZL卩1 JZLp(廠，t)dr - P(T + d斤,f + dt)dr = /(rj)p(r,t)drdtp(r +

26、drt+dt)-p(r,t + dt) + p(r, t+dt)- p(r, t)=一(廠,f) p(r, t)dt,dt = dr+ = /z(r, t) p(x, t) 一階偏微分方程 dr dta a(數(shù)學(xué)模型戸op Op/、/、石+苛E MS 0人口發(fā)展方程p(廠,0) = p°(廠)，廠n°已知函數(shù)(人口調(diào)查) P0,t)n t>o生育率(控制人口手段)廠-f “(s)ds“葉）二“（廠）Q p(r,f) = <pQ(r-t)e 5,0<t <rf(t-r)e J , t > rt> rF(r.t) = op(s.t)ds N(

27、t) = p(s,t)ds生育率的分解上(廠異)(女性)性別比函數(shù) Z?(r,r)(女性)生育數(shù)比,卩 /()= b(r.t)k(ra)p(r.t)dr b(r.t) =£2 hmdr = 1力生育模式= b(r,t)dr 儼總和生育率育齡區(qū)間h（r9t） = h（r）fit = Q（）J： hmk（r，t）p（r，t）dr人口發(fā)展方程和生育率/(0 = W)£2 t)k(r, t)p(r, tdrW) 總和生育率控制生育的多少生育模式控制生育的早晚和疏密人口指數(shù)1)人 口總數(shù)= p(r,t)dr2)平均年齡RQ)=rmW)rpCrtdr3)平均壽命 5(0 二 er&qu

28、ot;drdT耐刻出生的人，死亡率按M*)計算的平均存活時間4)老齡化指數(shù) co(t) = R(t)/S(t)控制生育率©控制2VC)不過大控制負()不過高5.7煙霧的擴散與消失炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形現(xiàn)象不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮,區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失 時間與各因素的關(guān)系。問題無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴散過程，用二階偏分析微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀 器對明暗的靈敏程度有關(guān)。模型 假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風(fēng)的影響；擴散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿

29、過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比q = k gradCc內(nèi)煙霧改變量e2 =Iff CO, y, z, f) - CO, y, z, f + Ar) dVVdC dt-=kdiv(gradC) = kd2C8x2d2Ca2c"5? >曲面積分的奧氏公式JJ q-nda = JJJ divqdVsVq = k gradC1）煙霧濃度的變化規(guī)律dC 7=k5t初始條件(52C52C52C11(dx2 d

30、y2 dz,oo <x,3?, <oo, t >0茁 &彳丿C(x, y, z,0) = Q3x. y. z)5單位強度的點源函數(shù)Q%0炮彈釋放的煙霧總量2 2 2 x +yC(x.y.z.t)=e人匕(4如"對任意f, C的等值面是球面x2+y2+z2=R2； RTtC僅當(dāng)（T8,對任意點CtO2)穿過煙霧光強的變化規(guī)律/(/)沿/方向的光強光強的減少與煙C(/)沿/方向的煙霧濃度 霧濃度成正比纟=ccCWQ) al/(zo)=厶 未進入煙w<zo)的光強沏。4 W)=厶”C(s)ds3)儀器靈敏度與煙霧明暗界限CQs'ds/(0 =厶川煙霧濃度連續(xù)變化I> 不透光區(qū)域有擴大、 煙霧中光強連續(xù)變化tr 縮小、消失的過程穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之 分，明暗界限由儀器靈敏度決定。-00“儀器靈敏度，當(dāng)/Z0<l-A觀測結(jié)果為醴.設(shè)光源在Z=O0,儀器在則觀測到的明暗界限為CZ：C（x,y,乙 t）次eZ a儀器=1一 不透光區(qū)域邊界4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律5&qu