高等數(shù)學(xué)重積分 (完整版)ppt課件

1、回顧回顧曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、問題的提出曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。abxyo)(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成n個(gè)長度為個(gè)長度為ix 的小區(qū)間，的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個(gè)小窄曲邊梯形， 第個(gè)小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯形的面積為iA ，則，則 niiAA1.（2）計(jì)計(jì)算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( iix （3） 求和

2、，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA abxyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則 AA，并并取取dxxfA)( ，于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素當(dāng)當(dāng)所所求求量量U符符合合下下列列條條件件：（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如

3、如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個(gè)個(gè)量量U元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于

4、于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個(gè)方法通常叫做元素法這個(gè)方法通常叫做元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等平面圖形的面積；

5、體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等元素法的提出、思想、步驟元素法的提出、思想、步驟.（注意微元法的本質(zhì)）（注意微元法的本質(zhì)）二、小結(jié)思考題思考題微元法的實(shí)質(zhì)是什么？微元法的實(shí)質(zhì)是什么？思考題解答思考題解答微元法的實(shí)質(zhì)仍是微元法的實(shí)質(zhì)仍是“和式和式”的極限的極限.xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲

6、線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxx

7、xx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲

8、線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 設(shè)設(shè)由由曲曲線線)( r及及射射線線 、 圍圍成成一一曲曲邊邊扇扇形形，求求其其面面積積這這里里，)( 在在, 上上連連續(xù)續(xù)，且且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21

9、 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 二、極坐標(biāo)系情形)( r例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐標(biāo)系下、參

10、數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）三、小結(jié)思考題思考題 設(shè)設(shè)曲曲線線)(xfy 過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方

11、程程.思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過過點(diǎn)點(diǎn))3 ,2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線

12、及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、 計(jì)算計(jì)算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用_作變量較為簡捷作變量較為簡捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習(xí)習(xí) 題題6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點(diǎn)點(diǎn)

13、),(2aaA，0 a，則則當(dāng)當(dāng) a_ _ _時(shí)時(shí)，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點(diǎn)及其在點(diǎn))3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的

14、切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三三、49. . 四四、2e. . 五五、23

15、8a. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體

16、體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計(jì)算的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積圓錐體的體積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成

17、的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy

18、2)( dcV例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201

19、oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例

20、 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)

21、算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .ta

22、n323 R 例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周三、小結(jié)思考題思考題 求求曲曲線

23、線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.思考題解答思考題解答xyo 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y一、一、 填空題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來表示常用來表示_立立體的體積；體的體積；3 3、 拋物線拋

24、物線axy42 及直線及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形形繞繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積_；練練 習(xí)習(xí) 題題二二、 有有一一鐵鐵鑄鑄件件，它它是是由由拋拋物物線線、2101xy 11012 xy與與直直線線10 y圍圍成成的的圖圖形形，軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，算算出出它它的的質(zhì)質(zhì)量量（長長度度單單位位是是厘厘米米，鐵鐵的的密密度度是是38 . 7厘厘米米克克）. .三三、 把把星星形形線線323232ayx 軸軸

25、繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，計(jì)計(jì)算算所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. .五、五、 求求222ayx 繞繞)0( abbx旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 . .六、六、 設(shè)有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸設(shè)有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為長分別為和和BA 2,2ba 2,2, ,h高為高為，求這截錐體，求這截錐體的體積的體積 . .七、七、 設(shè)直線設(shè)直線baxy 與直線與直線0 x，1 x及及0 y所圍所圍成梯形面

26、積等于成梯形面積等于A，試求，試求ba ,使這個(gè)梯形使這個(gè)梯形軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)所得體積最小旋轉(zhuǎn)所得體積最小 . .一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面積的；、已知平行截面面積的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插

27、插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無無限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.一、平面曲線弧長的概念 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx 取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對(duì)應(yīng)小切線段的長代替小弧段

28、的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 二、直角坐標(biāo)情形例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22c

29、os2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 三、參數(shù)方程情形例例 3 3 求星形線求星形線323232ayx )0( a的全長的全長.解解星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等

30、等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長為設(shè)橢圓的周長為2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(2

31、2 drrs 四、極坐標(biāo)情形例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長長.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐

32、標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 五、小結(jié)思考題思考題 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 是是否否一一定定可可求求長長？思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長為的一段弧長為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變變到到從從 0t 的一段弧長為的一段弧長為_；3 3、 曲 線曲 線1 r自自43 至至34 一 段 弧 長

33、為一 段 弧 長 為_ . .二二、 計(jì)計(jì)算算半半立立方方拋拋物物線線32)1(32 xy被被拋拋物物線線32xy 截截得得的的一一段段弧弧的的長長度度 . .三三、 計(jì)計(jì)算算星星形形線線tax3cos ，tay3sin 的的全全長長 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四四、 求求心心形形線線)cos1( ar的的全全長長. .五五、 證證明明：曲曲線線xysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長長. .六六、 在在擺擺線線),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分?jǐn)[擺線線第第一一拱拱成成3:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 一、一、1 1、23

34、ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . . 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，如如果果物物體體在在作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的過過程程中中有有一一個(gè)個(gè)不不變變的的力力F作作用用在在這這物物體體上上，且且這這力力的的方方向向與與物物體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向一一致致，那那么么，在在物物體體移移動(dòng)動(dòng)了了距距離離s時(shí)時(shí)，力力F對(duì)對(duì)物物體體所所作作的的功功為為sFW . 如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的，就不能直接使用此公式，而采用

35、的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.一、變力沿直線所作的功例例 1 1 把一個(gè)帶把一個(gè)帶 q 電量的點(diǎn)電荷放在電量的點(diǎn)電荷放在 r 軸上坐軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場這個(gè)電場對(duì)周圍的電標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場這個(gè)電場對(duì)周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為 r 的地方，那么電場的地方，那么電場對(duì)它的作用力的大小為對(duì)它的作用力的大小為 2rqkF （k是常數(shù)） ，當(dāng)是常數(shù)） ，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從這個(gè)單位正電荷在電場中從 ar 處沿處沿 r 軸移動(dòng)軸移動(dòng)到到 br

36、處時(shí)，計(jì)算電場力處時(shí)，計(jì)算電場力 F 對(duì)它所作的功對(duì)它所作的功解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處drrkqwa 2 arkq1.akq 點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作

37、多少功？解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為為積積分分變變量量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)解解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘

38、進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時(shí)次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？又將鐵釘擊入多少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n 由物理學(xué)知道，在水深為由物理學(xué)知道，在水深為h處的壓強(qiáng)為處的壓強(qiáng)為hp ，這里，這里 是水的比

39、重如果有一面積為是水的比重如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為側(cè)所受的水壓力為ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點(diǎn)點(diǎn)處處壓壓強(qiáng)強(qiáng)p不不相相等等，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水壓力例例 4 4 一一個(gè)個(gè)橫橫放放著著的的圓圓柱柱形形水水桶桶，桶桶內(nèi)內(nèi)盛盛有有半半桶桶水水，設(shè)設(shè)桶桶的的底底半半徑徑為為R，水水的的比比重重為為 ，計(jì)計(jì)算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受的的壓壓力力解解

40、在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖xo取取x為為積積分分變變量量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小矩形片上各處的壓強(qiáng)近小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR ,xp 小矩形片的壓力元素為小矩形片的壓力元素為dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的壓壓力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 例例 5 5 將直角邊各為將直角邊各為a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水面平行，且該邊

41、到水面的距離恰等于該邊的邊面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側(cè)壓力長，求薄板所受的側(cè)壓力解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoa2a2a面積微元面積微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向連線方向 如如果果要要計(jì)計(jì)算算一一根根細(xì)細(xì)棒棒對(duì)對(duì)一一個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力，那那么么，由由于于細(xì)

42、細(xì)棒棒上上各各點(diǎn)點(diǎn)與與該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式計(jì)計(jì)算算三、引力例例 6 6 有有一一長長度度為為l、線線密密度度為為 的的均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒，在在其其中中垂垂線線上上距距棒棒a單單位位處處有有一一質(zhì)質(zhì)量量為為m的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)M，計(jì)計(jì)算算該該棒棒對(duì)對(duì)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)M的的引引力力2l2l xyoMa解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy

43、 小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）四、小結(jié)思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系

44、？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？思考題解答思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設(shè)溫度保持

45、不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二、二、 一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律3tcx 作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由速度的平方成正比，計(jì)算物體由0 x移至移至ax 時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長610 米和米和米，高為米，高為20米，較長的底邊與水面相齊米，較長的底邊與水面相齊. .計(jì)算閘門計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力的一側(cè)所受的水壓力 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面

46、相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一塊一塊a高為高為 ，b底為底為的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄板每面所受的壓力板每面所受的壓力 . .六、六、 設(shè)有一半設(shè)有一半R徑為徑為，中心，中心 角為角為的圓弧形細(xì)棒，其的圓弧形細(xì)棒，其線密度為線密度為 常數(shù)常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)，在圓心處有一質(zhì)的的量為量為 m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)M點(diǎn)點(diǎn)的引力的引力 . .七、七、 油類通過直

47、油管時(shí)，中間流速大，越靠近管壁流油類通過直油管時(shí)，中間流速大，越靠近管壁流速越小，實(shí)驗(yàn)測定，某處的流速越小，實(shí)驗(yàn)測定，某處的流與與速速 v流處到管子流處到管子中心的距中心的距之之間間離離 r有關(guān)系式有關(guān)系式)(22rakv , ,其中其中為為比比例例k常數(shù)，常數(shù)，為為油油管管a半徑半徑. .求通過油管的流求通過油管的流量量 （注： 當(dāng)流速為常量時(shí)， 流量（注： 當(dāng)流速為常量時(shí)， 流量 = = 流速流速 截面積）截面積） . . 一一、2ln800 ( (焦焦耳耳) ). . 二二、3732725akc( (其其為為中中 k比比 例例常常數(shù)數(shù)) ) . . 三三、1 14 43 37 73 3(

48、 (千千牛牛) ) . . 四四、gr434 . . 五五、 ba261. . 六六、引引 力力的的大大小小 為為2sin2 Rkm, ,方方向向指指為為 M向向 圓圓弧弧 的的中中心心 . . 七七、42ak . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第六章習(xí)題課第六章習(xí)題課微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點(diǎn)的特點(diǎn)解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是于是即

49、即的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計(jì)算積分或原函數(shù)的計(jì)算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分

50、成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個(gè)個(gè)量量U.3 3、所求量的特點(diǎn)、所求量的特點(diǎn)1)根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分

51、量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U4 4、解題步驟、解題步驟5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)

52、()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo bad

53、xxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl ll

54、dxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為為線線密密度度x (7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞

55、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)設(shè)弧弧長長為為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 體體積積為為設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的表表面面積積為為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022

56、02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再將將滿滿池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度時(shí)時(shí)水水求求在在池池中中水水深深內(nèi)內(nèi)注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半徑徑為為以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).0()(222RyRRyx 半圓的方程為半圓的方程為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn)于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 時(shí)水池內(nèi)水的體積為時(shí)水池內(nèi)水的體積為為為的球缺的

57、體積即水深的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為故半球內(nèi)高為的立體的立體軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th時(shí)已注水的時(shí)間為時(shí)已注水的時(shí)間為又設(shè)水深又設(shè)水深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì),t,)2(2adtdhhRh 故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即將將池池內(nèi)內(nèi)將將滿滿池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功約約為為所所需需降降到到抽抽水水時(shí)時(shí)使使水水位位從從dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3.,4,20,3050,的靜壓力的靜壓力求閘門一側(cè)所受的水求閘門一側(cè)所受的水米米頂部高出水面頂部高出水面如果閘門如果閘門米米高為高為米