第四章 扭轉(zhuǎn)PPT課件

1、 41 扭轉(zhuǎn)的概念第1頁(yè)/共49頁(yè) 直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA扭轉(zhuǎn)：（兩端面相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度），剪切角也稱(chēng)。第2頁(yè)/共49頁(yè)42 扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩與扭矩圖mmmTx一、扭矩 圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面的內(nèi)力合成結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱(chēng)為截面的，用表示之。 扭矩的正負(fù)號(hào)按來(lái)確定，即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負(fù)。第3頁(yè)/共49頁(yè)mTx扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTmxmT 二、扭矩圖 各截面的扭矩隨荷載而變化，是截面坐標(biāo)的函數(shù)，表示各截面扭矩的圖象稱(chēng)為。 扭矩圖的畫(huà)法步

2、驟與軸力圖基本相同，具體如下：第4頁(yè)/共49頁(yè) 扭矩圖的畫(huà)法步驟： 畫(huà)一條與桿的軸線平行且與桿等長(zhǎng)的直線作基線； 將桿分段，凡集中力偶作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)； 用截面法，通過(guò)平衡方程求出每段桿的扭矩；畫(huà)受力圖時(shí)，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來(lái)畫(huà)。 按大小比例和正負(fù)號(hào)，將各段桿的扭矩畫(huà)在基線兩側(cè)，并在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號(hào)。第5頁(yè)/共49頁(yè)例1 畫(huà)圖示桿的扭矩圖3kN.m5kN.m2kN.m解：11223kN.mT1ABCAC段：0mmkNTT.3; 0311BC段：0mmkNTT.2; 02222kN.mT2扭矩圖3kN.m2kN.m-第6頁(yè)/共49頁(yè) 扭矩是根據(jù)外力偶矩來(lái)計(jì)算，對(duì)于傳動(dòng)軸，外力偶

3、矩可通過(guò)傳遞功率和轉(zhuǎn)數(shù)來(lái)?yè)Q算。三、外力偶矩?fù)Q算m)(N9550nPm其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（r/min） 若傳動(dòng)軸的傳遞功率為P，每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n ，則每分鐘功率作功：PW60力偶作功：nmW2nPm260第7頁(yè)/共49頁(yè)例2 已知：一傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)數(shù) n =300r/min，主動(dòng)輪輸入功率 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3

4、763002009.5555944.nP.m第8頁(yè)/共49頁(yè)112233求扭矩（扭矩按正方向假設(shè)）mkN78. 4 , 0 , 02121mTmTmmkN56. 9)78. 478. 4( 322mmTnA B C Dm2 m3 m1 m40; 0212mmTmmkN37. 6 , 0 , 04343mTmTm第9頁(yè)/共49頁(yè)繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.mm,kN 56. 9maxT扭矩圖第10頁(yè)/共49頁(yè)例畫(huà)圖示桿的扭矩圖。3m2m2mmkN.4mkN.6mkN.8mkN.61m_扭矩圖mkN.4mkN.6m

5、kN.2第11頁(yè)/共49頁(yè)43 薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；兩端施加一對(duì)外力偶 m。第12頁(yè)/共49頁(yè)2.實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；各縱向線長(zhǎng)度不變，但均傾斜了同一微小角度 。 縱向線變成螺旋線。3.結(jié)果： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。圓周線實(shí)際代表一個(gè)橫截面，此結(jié)果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第13頁(yè)/共49頁(yè)二、薄壁筒切應(yīng)力 tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0為平均半徑所作圓的面積。

6、薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，因長(zhǎng)度不變，故橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分布可視作均勻的，切應(yīng)力沿圓周切線，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。T第14頁(yè)/共49頁(yè)acddxbdytz三、切應(yīng)力互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 這就是：在單元體相互垂直的兩個(gè)截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線。第15頁(yè)/共49頁(yè)四、剪切虎克定律： 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為。acddxbdytz 單元體ab 的傾角 稱(chēng)為，切應(yīng)變是單元體直角的改變量。實(shí)驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即G 這

7、就是，比例常數(shù)G 稱(chēng)為。第16頁(yè)/共49頁(yè) 剪切彈性模量G 、與彈性模量E 和泊松比 一樣，都是表征材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對(duì)于各向同性材料，這三個(gè)材料常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)系。 根據(jù)該式，在三個(gè)材料常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，就可求出第三個(gè)來(lái)。)1 (2EG第17頁(yè)/共49頁(yè)第18頁(yè)/共49頁(yè)3. 縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察1. 橫截面變形后仍為平面，滿足平面假設(shè)；2. 軸向無(wú)伸縮，橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力；第19頁(yè)/共49頁(yè)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力Rdxdx1o2o2o1oAABBCDDCabdcBCCcbd 變形的幾何條件橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)變：dxddxb

8、bdxd其中 為單位長(zhǎng)度桿兩端面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，稱(chēng)B第20頁(yè)/共49頁(yè) 物理?xiàng)l件橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)力：GG 靜力條件PAAAIGAGAGATd d d22pGIT O2dAdAbT其中 稱(chēng)為截面對(duì)圓心的。APdAI2第21頁(yè)/共49頁(yè)pIT于是得橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為Ip截面對(duì)圓心的極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得； 求應(yīng)力那點(diǎn)到圓心的距離；第22頁(yè)/共49頁(yè)dD環(huán)形截面：)(3244dDIP極慣性矩的單位：m432 d2 d42022DAIDApDdO 極慣性矩第23頁(yè)/共49頁(yè) 同一截面，扭矩T ，極慣性矩IP 為常量，因此各點(diǎn)切應(yīng)力 的大小

9、與該點(diǎn)到圓心的距離 成正比，方向垂直于圓的半徑，且與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。TTmaxmax實(shí)心圓截面切應(yīng)力分布圖空心圓截面切應(yīng)力分布圖最大切應(yīng)力在外圓處。第24頁(yè)/共49頁(yè) 最大切應(yīng)力maxmaxPIT令：)1 (16164433DdDDWt,maxPtIW Wt 稱(chēng)為，單位：m3tWTmax實(shí)心圓截面空心圓截面第25頁(yè)/共49頁(yè)例4已知空心圓截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小切應(yīng)力。dDTmaxmin解：MPaDdDTWTt9 .84)(1 4100016)1 (164213443maxMPaDd45.42219 .84maxmin第26頁(yè)/共49頁(yè)三、圓軸扭轉(zhuǎn)

10、時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：maxtWT其中容許切應(yīng)力是由扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的極限切應(yīng)力除以安全系數(shù)得到。第27頁(yè)/共49頁(yè)一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形pGITx dd d 0lpxGIT 當(dāng)T 、GIP 為常量時(shí)，長(zhǎng)為l 一段桿兩端面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為PGITl其中GIP 表示桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱(chēng)為。第28頁(yè)/共49頁(yè)(rad/m) dd pGITx 二、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 稱(chēng)為。若單位扭轉(zhuǎn)角給的是 ，則上式改寫(xiě)為m/第29頁(yè)/共49頁(yè)例圖示圓軸，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；=60MPa

11、， =0.3/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m解：按強(qiáng)度條件 3maxmax16dmWTct mmmdC4 .55101060200016163363第30頁(yè)/共49頁(yè)ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m按剛度條件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max該圓軸直徑應(yīng)選擇：d =83.5mm.第31頁(yè)/共49頁(yè)例45圖示圓軸，已知mA mB mC d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.

12、4m；=60MPa， =1/m，G=80GPa；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。ABCmAmB mC l1l2解：按強(qiáng)度核該 MPadmWTBt7 .4746001616331111d1d2第32頁(yè)/共49頁(yè)ABCmAmB mC l1l2 MPadmWTCt9 .1178001616332222d1d2滿足強(qiáng)度條件。按剛度核該mGITP/71. 118010401080600321801249111mGITP/24. 018010701080800321801249222第33頁(yè)/共49頁(yè)ABCmAmB mC l1l2d1d2 m/71. 11max此軸不滿足剛度條件。)(3

13、24111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB第34頁(yè)/共49頁(yè)例46長(zhǎng)為 l =2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計(jì)桿的外徑 116D 43）（tW 34max)1 (16TD tWTmaxmKNmm/20m2第35頁(yè)/共49頁(yè)xxmxxT20)(NmmlT40max mmTD57.22101030)8 . 0

14、1 (4016)1 (16336434maxmKNmm/20m2第36頁(yè)/共49頁(yè) 剛度校核180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角radGIGIxGIxdxGIdxxTPPPlP033. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(4124920220第37頁(yè)/共49頁(yè)練習(xí)2圖示圓桿BC 段為空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。ABCaabb D d0.5kN.m 0.3kN.m0.8kN.m11223344解：本題應(yīng)分4段考

15、慮。32421DIIPP)(324443dDIIPP16321DWWtt)1 (1644343DdDWWtt第38頁(yè)/共49頁(yè)ABCaabb D d0.5kN.m 0.3kN.m0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344MPaDTWTP74.40510001616331111MPaDTWTP76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444MPa74.401max第39頁(yè)/共49頁(yè)ABCaabb D d0.5kN.m 0.3kN.m0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32

16、)1 (32323242214444442424144332211radaTbTbTaTDGDGaTDGbTDGbTDGaTGIaTGIbTGIbTGIaTPPPP第40頁(yè)/共49頁(yè) 非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。第41頁(yè)/共49頁(yè)hbh 1T max 注意！b 自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。第42頁(yè)/共49頁(yè)hbh 1T max 注意！b 一、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力分布 形心與角點(diǎn)的切應(yīng)力等于零； 周邊的切應(yīng)力與周邊相切，方向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致； 截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，短邊的最大切應(yīng)力發(fā)生在短邊的中點(diǎn)。第43頁(yè)/共49頁(yè)二、最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角hbh 1T max 注意！b maxtWT tGIT。截面最大切應(yīng)力：?jiǎn)挝慌まD(zhuǎn)角：其中：3bWt4bIt。系數(shù) 、 隨長(zhǎng)短邊的比值m=h/b 而變化，可查表獲得。第44頁(yè)/共49頁(yè) 切應(yīng)力流的方向與扭矩方向一致。 開(kāi)口