三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應用A/X.OC： = A/VOB1. 0 是 AABC 的重心« 6a + ob + oc = o若 0 長AABC 的重心，則-“g -“oc 3Savb<?故 OA + OB + OC = 0pO = iO G 為 WBC 的重心.2. o是aabc的垂心o= 說=若 0 是AABC (非直角三角形)的垂心，則aboc:SAAOB = tan A：tan B：tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 0 30是AABC的外心O l5Xl=l°BI=l°CI(或阪彳二麗彳二況?)若 0 是

2、AABC 的外心則 Saboc： Soc： S'ob = sinZBOC：sinZAOC：sinZAOB = sin2A : sin2B: sin2CCA CB x故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 0OA - (AC、.( BA4. 0是內(nèi)心AABC的充要條件是i"i疋iHVi |吋引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記ab,bc,ca的單位向量為耳疋2，®,則剛才0是AABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成 OA-ei + e,) = OB.(ej + e2) = OC.(e2 + e3) = 0AABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA + bO

3、B + cOC = 0o若。是AABC的內(nèi)心，則ABOC： AAOC： AAOB = a： bC故 aOA + bOB + cOC = 6或 sin AOA + sinBOB + sin COC = 0；ABPC+BCPA+CAPB = 6<> P 是 AABC 的內(nèi)心;向量兄(£|_ +農(nóng)嚴I豐0)所在直線過AABC的內(nèi)心(是ABAC的角平分線所在直線)；(一) 將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查),2 e 0,-Kz)則P點的軌跡一定通過AABC的()例10是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 麗=刃+兄(昏+亙ACM(A)外心(B)內(nèi)心(C)重

4、心(D)垂心To_解析：因為晉是向量莊的單位向量設正與疋方向上的單位向量分別為耳和匕， 又H_OP-OA = AP9則原式可化為AP=A（e,+e2）9由菱形的基本性質(zhì)知AP平分ABAC,那么在 A43C中，AP平分ABAC.則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.是磁所在平面內(nèi)任一點，7m =/7c = 7tc 7m o點是磁的垂心.由頁而=而花O而（花_莎）=00齊為=0O而丄疋同理花丄兩，莎丄走故是磁的垂心（反之亦然（證略） 例3（湖南）P是ABC所在平面上一點，若丙PB = PB元=陀頂，則PAAABC的（D ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由顧 PB

5、= PB-PCPA-PBPBPC = O.即兩（丙陽 =0,即西鬲=0則PB丄C4,同理P4丄BC、PC丄43 所以P為MBC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4G是磁所在平面內(nèi)一點，GA + GB + GC=0O點G是磁的重心.證明作圖如右，圖中 GB + GC = GE連結(jié)BE和CE,則爐傷，朋曲70 磁F為平行四邊形是的中點，血為 龐邊上的中 線gb+gc = geKga+gb+gc=O9得GA + EG=0=> GA = -GE = -2GD9故G是磁的重心.（反之亦然（證略）例5.F是磁所在平面內(nèi)任一點.G是磁的重心o=證明 pg = pa+ag

6、 = rb+'bg = pc+cg => 3pg =（+bg+cg）+（pa+7b+7c）: G是厶ABC的重心 A ga + gb + gc=0=> ag + 'bg + cg =0,即 3PG = 7a + 7b+PC 由此可得？3=扌（厲+丙+疋）（反之亦然（證略）例 6 若 0 為 AABC 內(nèi)一點，OA + OB + OC = 6 ,則 0 是 AABC 的（）A.內(nèi)心心B.外心C.垂心D.重-3-#-0C為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則解析：由 OA + OB + OC = 6OB + OC = -OA9 如圖以 0B、-4-OB + OC = ODf由平行

7、四邊形性質(zhì)知OE = OD9 OA = 2OE9同理可證其它兩邊上的這個性 質(zhì)，所以是重心，選D。（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若0為AABC內(nèi)一點，|丙| = |西| = |況則0是AABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知。到C的三頂點距離相等。故0是AABC的外心，選B。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8.巳知向量函，oK,函滿足條件+| opf | = | oK | = | 5 |=1,求證 朋是正三角形.（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五0組第6題） 證明 由已知西+兩=-函，兩邊平方得兩同理 5K op=op op=-,丨觀1 = 1麗l=

8、d麗匕厲，從而AAA是正三角形.反之，若點0長正三角形A2A的中心，則顯然有西+兩+兩=0且|函1 = 1 5K 1 = 1函I， 即0是磁所在平面內(nèi)一點，西+西+函=0且|函1 = 1兩1 = 1函|o點0是正的中心.例9在AABC中，巳知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共 線，且 QG：GH=l：2o【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。設A（0,0）、B （x】,0）、C（x2,y2）. D、E、F 分別為 AB、BC、AC 的中點，則有：D今0）、尹,今）、尸（今，今）由題設可設0（今,兒）、日（心,兒），G（¥，

9、夸）麗=（"40 =（守號專一兒）BC =（x2-xy2） 麗丄氏:.AH EC =x2（x2-xj + y2y4 = 0 xx,-xj兒=_- 兒儕丄疋.莎疋苧¥）+兒（今-兒）=01;2y22.兒一，兒777F z X.、,2x-x.3xn（x.-x.） 八、2y20H =（心-扌兒-兒）=（ 二 ，- -二）夢=(心+心心兒x2（x2-xl）2yo2 小一 X 3心（心一心） y 1 2小一心 3xx.-xj =（' 一- T）=3（'''6y.2yo即QH=3QG ,故0、G、三點共線，且加GH=： 2例10若0、分別是磁的外心和垂心

10、求證OH = OA + OB + OC.證明若磁的垂心為弘外心為0,如圖.連旳并延長交外接圓于2連結(jié)血，CD.丄AB, CD丄BC 頭垂心為H, AH丄BC, CH丄AB, :.AH/CD, CH/AD.四邊形磁2?為平行四邊形，AH = DC = DO + OC 9= OA + AH = OA + OB + OC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一外心、重心、垂心的位置關系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距 離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別筒單，可簡化成

11、如下的向量問題.例11 設0、G、分別是銳角磁的外心、重心、垂心.求證OG = OH由此可得OG = OH .證明按重心定理G是磁的重心0 OG = (OA + OB + OC)按垂心定理 OH = OA + OB + OC一、“重心”的向量風采【命題1】G是ABC所在平面上的一點，若G4 + GB + GC = 0,則G是ABC的重心.如圖(1).A1圖【命題2 巳知0是平面上一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP = OA + A(AB+AC)t幾0(0, + 8),則P的軌跡一定通過dlBC的重心.【解析】 由題意AP = A(AB + AC),當朕(0, + 8)時

12、，由于A(AB + AC)表示BC邊上的中線所在 直線的向量，所以動點P的軌跡一定通過AABC的重心，如圖.二、“垂心”的向量風采【命題3】P是ABC所在平面上一點，若PAPB = PBPC = PCPA,則卩是厶ABC的垂心.【解析】 由PAPB = PBPC 9得PB(PA-PC) = O,即PBCA = 09所以P萬丄C4.同理可證PC丄ABt PA丄BCP是ABC的垂心.如圖.4-7-#-【命題4】 已知0是平面上一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP = OA + A一 +43 cos 4CAClcosC久(0,+8),則動點P的軌跡一定通過4BC的垂心.【解析】

13、AB丄AC '4 料 cos BACcosCz由題意AP = A由于ABABcosBAC cosCBC = 0,ACBC|Ac|cosC= |c|-|cF| = o,所以麗表示垂直于必的向量，即P點在過點4且-#-垂直于BC的直線上，所以動點P的軌跡一定通過43C的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風采Ab圖(5)圖(6)【命題51 已知/為4BC所在平面上的一點，且AB = c , AC = b 9 BC = a .若 aIA + bIB + cIC = O,則 / 是4BC的內(nèi)心.-#-【解析】9：7b = 1A+AB 9 IC = IA+AC9 則由 (a + b + c)lA +

14、bAB + cAC = OfACAC/.AB AC岡與岡分別為而和4C方向上的單位向量,V bAB + cAC = AcAB + ABAC = AC AB詈-8-#:石與ZBAC平分線共線，即4/平分ABAC.同理可證：3/平分ZABC, C/平分ZACB.從而/是4BC的內(nèi)心，如圖.【命題6 已知0是平面上一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP = OA + A【解析】AB AC兄丘(0, + s),則動點P的軌跡一定通過ZiABC的內(nèi)心由題意得農(nóng)*1 ACAB,化當2 w (0, + s)時，農(nóng)表示ABAC的平分線所在直-#-#線方向的向量，故動點P的軌跡一定通過4BC

15、的內(nèi)心，如圖.四、“外心”的向量風采【命題7】 已知0是ABC所在平面上一點，若亦= 5F =無，則0是/XABC的外心.-#【解析】 若 OA2 = OB2 = 0C21 JJiJ |0A|2 = |0|2 = |0C|2, A OA = ob = oc,則。是mBC 的 外心，如圖?！久}7 已知0是平面上的一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP =OB + OC2-AB cos 8ACAcIcosC2 e (0, +s),則動點P的軌跡一定通過AABC的外心?！窘馕觥?由于°餐"過FC的中點，當幾w（0,+s）時，2乙AB4 沖 cosB |AC|

16、cosC表示垂直于BC的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以P在BC垂直平分線上，動點P的軌跡一定通過 4BC的外心，如圖（8）。補充練習1. 巳知久B、C是平面上不共線的三點，0是三角形磁的重心，動點P滿足. 1 1 1 OP=- （-OA+-OB+2OC）,則點P定為三角形磁的（B ）A.血邊中線的中點B.M邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.M邊的中點 .I I I . 1. B 取廊邊的中點"，則 OA + OB = 2OM，由 OP =- （-OA +/OB+2OC）可得3OP = 3OM2MCt即點尸為三角形中M邊上的中線的一個三等分點，且3點P不過重心，故選B.2

17、. 在同一個平面上有AABC及一點o滿足關系式：+ BC' = OB' + CA5 = OC1 +AB 則 0 為 AA3C 的（D ）A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D垂心2. BAABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：丙+丙+疋=0,則P為AABC的（C ）A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D垂心3. 已知0是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：OP = OA + A（AB-AC）9 則 P 的軌跡一定通過AABC 的（ C ）A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D垂心4. 巳知ABC, P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：PAPC+PAPB + PB

18、PC = 09 則 P 點為三角形的（ D ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心5.巳知ABC, P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：ci PA + b PB + cP(j = 0 ,則 P 點為三角形的(B)A外心B內(nèi)心C重心D垂心6.在三角形ABC中，動點P滿足：CA =CB -iAB 9則P點軌跡一定通過AABC的：(B )A外心B內(nèi)心C重心D垂心-107巳十向量血幀滿足(禽昔)品且語禽務則©()A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形解扒非零向量與滿足(需+需)*=0,即角A的平分線垂直于BC, :. AB=ACt又S墮車,AB AC 2Z啟扌

19、，所以磁為等邊三角形，選幾2-#-2-#-& MBC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點為H, OH = m(OAOB + OC)9則實數(shù)19. 點0是MBC所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OB = OB OC = OC OA9則點0是MBC的(B )(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交點10. 如圖1,巳知點G是AABC的重心，過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點，且AM = xAB9AN = yAC ,則丄 + 丄=3。證點G長AABC的重心，知前+ S3 +況=0,得-AG + (AB-AG) + (AC-AG)

20、= Ot AG = (AB + AC)O 又 M, N, G 三點共線(A 不在直線 MN 上)，于是存在入“，使得走=兄麗+ “麗(且久+ “ = 1),有 AG = AxAB + jLiyAC=(AB+ AC),得.I,Ax = /.ly =于是得£ + ,3。1、課前練習1.1 G知0是ZkABC內(nèi)的一點，若OA =OB =OC 9則0是厶做的（）A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心1.2在/做中，有命題莊-疋=嵐；AB + BC + CA = O；若45+ AC）»（AB- AC）= 0,則AABC為等腰三角形；若石疋0,則AABC為銳角三角形，上述命題中正確的是（）A

21、、B、®D、2-12-2-#-例1、已知ZkABC中，有AB ACTw AC iBC = 0和器篤 J，試判斷/XABC的形狀。 M KI 2練習1、已知ZkABC中，AB = a, BC = b 9 B是厶做中的最大角，若：八0,試判斷ZkABC 的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關的向量問題例2、已知0是ZkABC所在平面內(nèi)的一點，滿足網(wǎng)+網(wǎng)日科+網(wǎng)、匹+網(wǎng)'，則0 是 ZkABC 的（）A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心5、運用向量等式圖形化解與三角形有關的向量問題/ 、例3、已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點P滿足帀=刃+兄絲+當 ”G（0,+s）, iM Mj則動點P定過ZkABC的（）A