二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1、次 函 數(shù) 零 點(diǎn) 問(wèn) 題【探究拓展】探究 1：設(shè)xi,X2分別是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bx c 0和ax2bx c 0的一個(gè)根，且a2xix2,x1x20,求證：方程x2bx c 0有且僅有一根介于x-i,x2之間.2變式 1:已知函數(shù) f(x) = ax2+ 4x+ b(a0, a、b R),設(shè)關(guān)于 x 的方程 f(x) = 0 的兩實(shí)根為XI、X2,方程 f(x)= x 的兩實(shí)根為a B(1) 若= 1,求 a、b 的關(guān)系式；(2)若 a、b 均為負(fù)整數(shù)，且|a1,求 f(x)的解析式；(3)若a1B2,求證：(X1+ 1)(x2+ 1)2c2b，求證:(1) a0 且3*v 4；(2

2、)函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);2a變式 4：設(shè)函數(shù)f(x) ax bx c (a 0)且f(1)(1)求證：函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x1, x2是函數(shù)f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求X1X2的取值范圍;(1)求b的取值范圍;a(3)設(shè) X1、 X2是函數(shù) f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),(3)求證：函數(shù)f (X)的零點(diǎn)X, x2至少有一個(gè)在區(qū)間0,2內(nèi).探究 2:已知方程bx 1a2x 2bx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則.2 今 1 X2|(2)求證：函數(shù)f (x)ax2bx 1在區(qū)間1,1上是單調(diào)函數(shù)(1 )若f(x)為偶函數(shù)，試判斷g(x)的奇偶性;(2)若方程g(x)x有兩個(gè)不相等的

3、實(shí)根，當(dāng)a 0時(shí)判斷f (x)在1,1上的單調(diào)性；(3)若方程g(x)x的兩個(gè)不相等的實(shí)根為X1X，f (x)0的兩實(shí)根為X3,X4，求使得X3X1X2x4成立的a的取值范圍.探究 3：二次函數(shù)f (x)x2ax a，方程f(x) x 0的兩根 為和x2滿(mǎn)足0為x211(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)試比較f (0) f (1) f (0)與的大小.并說(shuō)明理由16變式：已知f (x)1 (x a)(x b)(a b),m, n是f (x)的零點(diǎn)，且m n，則a,b,m, n從小到大的順序?yàn)樘骄?4：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) 2ax22x 3 a，如果函數(shù)y上有零點(diǎn)，求a的取值范圍af( 1)

4、0af (1) 04 8a(3 a) 01 a1-1.1ag(t)單調(diào)遞增， y 的取值范圍是7 3,1，f(x) 2ax22x 3 a=0 在-1，1上有解丄a73,1a 1或a3-23-7 . “a或 a1.2點(diǎn)評(píng)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決一元二次方程根的分布問(wèn)題解析 2： a=0 時(shí)，不符合題意，所以a0 又變式：已知二次函數(shù)f(x)ax bx 1和g (x)bx 1a2x 2bf (x)在區(qū)間1,解析 1：函數(shù)y f(x)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，即方程f (x)2ax22x3 a=0 在-1，1上有解.a=0 時(shí)，不符合題意，所以a(方程 f(x)=0 在-1，1上有解 v=f (1) f

5、(1) 0或所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2- f (x) 2ax2x 3 a=0 在-1， 1上有解,2(2x1)a3 2x在-1，1上有解心在-1，3 2x1上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)2x21yE1，1上的值域；設(shè) t=3-2x，x -1，1，則2x3 t，t1,5,y11(t寧，t設(shè)g(t) t f.g(t)1,.7)時(shí)，g(t) 0,此函數(shù) g(t)單調(diào)遞減，t (.7,5時(shí),g (t)0,此函數(shù)的思路走向.若 y = f(x)在(1, 3 )內(nèi)有零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.設(shè)y ax22x 4a 3，即y a(x24) 2x 3.令 x2= 4, 得 x = 2 或 2.，結(jié)合 a 0，得

6、a 0 , f(2) = 1 0，或 f(3) 0 .25：已知函數(shù)f (x) 2x (4 m)x 4 m,g(x) mx，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,f (x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 _.變式 1:已知函數(shù) f (x) = 2m 2(4 n)x +1 , g(x) = mx,若對(duì)于任一實(shí)數(shù) x, f (x)與 g (x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是.0,8綜合變式(1)(2)3)若1)2:3a = 0, y = f(x)的零點(diǎn)為一，在(22), 3),得 a 的取值范圍為(已知函數(shù)f (x) ax2bx 1.f(x)0的解集是(1,3)，求實(shí)數(shù)1,oo

7、3)內(nèi).a, b的值;(-,o).5若a為整數(shù)，b a 2，且函數(shù)f (x)在(2, 1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.1)若 a 0,拋物線開(kāi)口向上,y = f(x)在(1,3)內(nèi)有零點(diǎn),則f(1) a 2 4a 3 3a10,或f (3)9a 6 4a5a2)若 a 0 即f (1) a2 4a 33a探究分析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：“已知函數(shù)f (x)= 2mx2 2(4 m)x + 丨，g(x)= mx,xR, f x 0 或0；g x 0 ”，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.不難發(fā)現(xiàn)，若利用上述解法 3,采用對(duì)立轉(zhuǎn)化法，即可設(shè)命題q: x R，f x 0f x 0 或 g x 0 ；則命題q

8、: x R，.若命題q成立時(shí)：g x 0f x 8x 1首先，當(dāng)m 0時(shí)，存在實(shí)數(shù) x，使得不等式組成立.g x 0其次，當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù) f (x)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，g (x)為 R 上的減函數(shù)且值域?yàn)镽，必存在x0R，使得函數(shù) f x00 且 g x00 .再者，當(dāng)m 0時(shí)，g(x)為 R 上的增函數(shù)且值域?yàn)镽 ；若存在實(shí)數(shù) x 使 f x 0 成立，即要有 fminx 0 .2廠2m 4 m又 fminx0，解得m 8或0 m 2；2m綜上，若命題q成立時(shí)：有m 2或m 8;即可知當(dāng)命題q成立時(shí)：m 2,8 .答案錯(cuò)了x0R，使得f(x)0，從而對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行局部縮小;變式 2：設(shè)

9、函數(shù)f (x)2x ax a 3，函數(shù)g(x) ax 2a，若存在xR，使得f(x)0與g(x)0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析：由f (x)ax a 3知f 0a 3, f 14，又存在x0R，使得f(x) 0知a26，另g(x) ax 2a中恒過(guò)2,0，故由函數(shù)的圖象知: 若f(x)ax2x 3恒大于 0,顯然不成立。若a0時(shí),若a 0時(shí)，x對(duì)解法 1 (分離參數(shù)法)2，a時(shí)，都有 g x 0.當(dāng) f x 0 時(shí)x2顯然不成立。1時(shí),a0；當(dāng)x 1時(shí)，a苛a1,另x 1，則有：當(dāng)x2，a 0挖掘題中隱含條件：存在因此，若XoR,使得 f Xo0 與 gXo0 同時(shí)成立，則由上分析可知：

10、只有當(dāng)1Xo2時(shí)，不等式設(shè)函數(shù)h xx23x 1x 1,24，易求7.則a 7.解法 2 （數(shù)形結(jié)合法）由于 g x0時(shí)，x0時(shí),2.若存在x?R，使得 fX02=a4a120，即 卩a2；則:1 當(dāng)a 6時(shí),由題意可知,x。0.二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸 x,2 上為減函數(shù)，則 f20 ,即 卩a2 當(dāng)a 2時(shí),x2,x00 .而二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸 x0,上為增函數(shù)，又f 14，因此0，此情形下a綜上，a 7.解法 3 （對(duì)立轉(zhuǎn)化法）命題 p：若xR,使得 fx00 與 g x00 同時(shí)成立.則 p：對(duì)xR,F 研究若命題p 成立時(shí)，參數(shù) a 的取值范圍:0時(shí),0 恒成立，因此，a0適合題意.2 當(dāng)a0時(shí),

11、2；則(,2x| f2.1，即402.22，即a 7.3 當(dāng)a0時(shí),2；則2,)x| f，有，即a 0；因此，a 0.0綜上，當(dāng)a 7時(shí)， p 成立；那么，命題 p 成立時(shí)，a 7.變式 3:設(shè)函數(shù)f (x) x2ax a 3，函數(shù)g(x) x a，若不存在x0g(xo)0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是評(píng)注：(1)含參曲線的特征觀察(定點(diǎn)？平行直線系？切線構(gòu)成的包絡(luò)線?(2)充分挖掘題中的隱含條件，從而對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行局部縮小;或g(x) 0；x( - y-4),f (x) g(x) 0,則分析：對(duì)于條件，仍然采用對(duì)立轉(zhuǎn)化法，分析命題p:“x R， f x 0 且 g x 0 ” .又當(dāng)x 1

12、時(shí)，函數(shù) g x 0 ,則只要存在實(shí)數(shù)x 1,)使 f x 0 成立即可.首先，當(dāng)m 0時(shí)，f x 0，則m 0適合；其次，當(dāng)m 0時(shí)，二次函數(shù) f x 開(kāi)口向上，則總存在實(shí)數(shù) x 使 f x 0 成立.再者，當(dāng)m 0時(shí)，二次函數(shù) f x 開(kāi)口向下，即要有 fmaxx 0 ；又此時(shí)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為3m 3x0，貝ufmaxx f 1 m 1 2m m 40，解得m 4；因此，命題p成立時(shí)，m0或m4;那么條件成立時(shí)，m4,0 ；對(duì)于條件， 當(dāng)x 4時(shí)，g x0，則可知存在x 4， f x 0 ；并且 m4,0 .可分如下兩種2m42m 4情形:(1) m 34，解得 m4, 2 ；m3 4

13、，解得m;f( 4) 0f( 4)0綜上可知，當(dāng)條件都成立時(shí)，m4, 2 .探究 6:設(shè)f(x)ax2bx c(a0)， 方程f (x) x的兩個(gè)根是x,和X2，且人0，1X2X1.又若a0 tX1，試比較f (t)與X1的大小.【解】因?yàn)閤、X2是方程ax2bx c x的兩個(gè)根,變式 4：函數(shù)f (x)n(x n 2m)(xn 2m)，g(x)x R,有f(x)0或g(x)20成立若m n3n a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是變式 5：已知f (x)m(x 2m)(x m3)，g(x)2x2，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：x R，f (x) 0R，使得f (x0)0與m 的取值范圍是13所以X1b 1X2a，X1X2c，1aax12bx1cx1.因此2f(t)X1(atbtc)(ax2bx1c)a(tx(tX1) b(tX1)a(tX1) t X1111c由tXt -X2tX2X1x20aaaa當(dāng)0tX1時(shí)，有f (t)X1.探究7:實(shí)數(shù)a,b,cR， 函數(shù)g(x)3ax22bx c，a的取值范圍;，及a 0，t為0，得fbaXi0.所以,(2)設(shè)a為常數(shù)，且 a0,已知函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為b c 0，且滿(mǎn)足g(0) g(1)0. (1)求-aXi，X2，3令f(x) axbx2cx且A(X1, f (xj)，B(X2, f (X2)，求證:f (X2)f (Xi)x2X-