《復(fù)化求積公式》PPT課件

1、第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.2 3.2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式3.2.2復(fù)化復(fù)化simpson求積公式求積公式3.2.1 復(fù)化梯形求積公式復(fù)化梯形求積公式第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分對(duì)于定積分對(duì)于定積分 其準(zhǔn)確值其準(zhǔn)確值.I=2.302585。用梯形公式。用梯形公式3.1.6計(jì)算有計(jì)算有 用用Simpson公式公式3.1.7計(jì)算計(jì)算 可以看出，它們的誤差很大。由上可以看出，它們的誤差很大。由上一節(jié)的討論可知，高階一節(jié)的討論可知，高階Newton-Cotes求積公式是不穩(wěn)定的。求積公式是不穩(wěn)定的。,1101dxx .95.41 I740909.22 I 因此，通常不用高階求積公式得到比較準(zhǔn)確的

2、積分值，而是將整個(gè)積因此，通常不用高階求積公式得到比較準(zhǔn)確的積分值，而是將整個(gè)積分區(qū)間分段，在每一小段上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)化求積方法。分區(qū)間分段，在每一小段上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)化求積方法。本節(jié)討論復(fù)化梯形公式和復(fù)化本節(jié)討論復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式。公式。高次插值有高次插值有Runge 景象，故采用分段低次插值景象，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)合求積公式。復(fù)合求積公式。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、復(fù)化梯形公式一、復(fù)化梯形公式:),., 0(,nkhkaxnabhk 在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公式：,

3、1kkxx 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(=Tn nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 3.2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式稱稱 Tn為復(fù)化梯形公式為復(fù)化梯形公式 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分設(shè)設(shè) 由梯形公式的誤差有由梯形公式的誤差有,)(2baxfc .,121103xxhTRkkknkknfITn 由于由于kfnffnknkkknk maxmin1010101所以存在所以存在 使得使得ban,10101nkkfnf3.2.2于是于是,復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為 .,12 2bafhabR

4、nT第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 現(xiàn)實(shí)上，由定積分的定義可知，對(duì)現(xiàn)實(shí)上，由定積分的定義可知，對(duì)a，b的恣意分劃的恣意分劃 所作所作黎曼和的極限黎曼和的極限 dxxfxfbainiixi 10maxlim 存在。該積分對(duì)于等距分劃和特殊的存在。該積分對(duì)于等距分劃和特殊的 當(dāng)然成立，于是對(duì)復(fù)化梯當(dāng)然成立，于是對(duì)復(fù)化梯形公式有形公式有 dxxfdxxfdxxfhhkafhkhafbababanknnknnnT 21)1(limlim21lim00 定義定義3.2 假設(shè)一種公式假設(shè)一種公式 有有 那那么稱求積公式么稱求積公式 是是P階收斂的。階收斂的。In0lim0 cIhIpnhIn顯然，復(fù)化梯形公式

5、是顯然，復(fù)化梯形公式是2 階收斂的。階收斂的。可以看出，誤差可以看出，誤差3.2.2是是 階的。而且，當(dāng)階的。而且，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，即復(fù)化梯形公式收斂到，即復(fù)化梯形公式收斂到 值得值得指出的是，收斂的結(jié)論，只需指出的是，收斂的結(jié)論，只需fx在在a，b上可積即可成立。上可積即可成立。 baxfc,)(2 0lim RTnn .dxxfba 2h第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分用復(fù)化梯形求積公式時(shí)，假設(shè)用復(fù)化梯形求積公式時(shí)，假設(shè) 不夠準(zhǔn)確，那么我們可以將每個(gè)子不夠準(zhǔn)確，那么我們可以將每個(gè)子區(qū)間區(qū)間 對(duì)分，得到對(duì)分，得到2n個(gè)子區(qū)間，再用復(fù)化個(gè)子區(qū)間，再用復(fù)化梯形公式計(jì)算。此時(shí)，計(jì)算梯形公式計(jì)算。此時(shí)，計(jì)

6、算 的分點(diǎn)也是計(jì)算的分點(diǎn)也是計(jì)算 的分點(diǎn)。的分點(diǎn)。Tn nkxxkk,1 ,0,1 TnTn23.2.3因此，我們可以將復(fù)化梯形公式遞推化，即有因此，我們可以將復(fù)化梯形公式遞推化，即有 10212221nkknnxTTfh其中其中 。這樣，計(jì)算。這樣，計(jì)算 時(shí)，只須把新分點(diǎn)上的函數(shù)值算時(shí)，只須把新分點(diǎn)上的函數(shù)值算出加到出加到 中即可。中即可。hxkkx2121 Tn2Tn第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.2.2 復(fù)化復(fù)化simpson求積公式求積公式將積分區(qū)間將積分區(qū)間a,b為為n等份，等份，h=(b-a)/h, 在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間 上用上用 Simpson公式可得公式可得., 1 , 0,

7、nkkhaxk ,1kkxx)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 1121011011100( )( )1462 ( )4()2()( )6kknbaknkknnkkkkxf x dxf x dxxhfxfxfhf af xf xf bx= Sn3.2.4稱稱Sn為復(fù)化為復(fù)化Simpson公式公式 。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分設(shè)設(shè) ，由，由Simpson公式的誤差有公式的誤差有 baxfc,4 . , , 29011k1042 kknkknsxxfhSIRn .,2880)4(4bafhabsRn 3.2.5類似于復(fù)化梯形公式的推導(dǎo)

8、，復(fù)化類似于復(fù)化梯形公式的推導(dǎo)，復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)為公式的余項(xiàng)為 由此可見，復(fù)化由此可見，復(fù)化Simpson公式是公式是4階收斂的階收斂的 。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分例例 3.3 分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算公式計(jì)算 時(shí)，要時(shí)，要運(yùn)用誤差不超越運(yùn)用誤差不超越 ，問(wèn)各取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？，問(wèn)各取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？0sin xdx5102解：由解：由3.2.2，令，令由此解得由此解得由由3.2.5，令，令 ,102sinmax1212|5022 xnfhabTxRn .360,1024532 nn ,102sinmax28802880|504)4(4 xn

9、fhabsxRn 9,105760554 nn 由此解得由此解得 。因此，復(fù)化梯形公式取。因此，復(fù)化梯形公式取361個(gè)節(jié)點(diǎn)，個(gè)節(jié)點(diǎn)，復(fù)化復(fù)化Simpson公式取公式取19即即92+1個(gè)節(jié)點(diǎn)?？梢姡瑥?fù)化個(gè)節(jié)點(diǎn)?？梢姡瑥?fù)化Simpson公公式明顯由于復(fù)化梯形公式。式明顯由于復(fù)化梯形公式。第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分例例 3.4 計(jì)算計(jì)算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運(yùn)算量根運(yùn)算量根本一樣本一樣第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分3.3用樣條函數(shù)方法和外推法求以下函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，用樣條函數(shù)方法和外推法求以下函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的圖形闡明精度與步長(zhǎng)并結(jié)合函數(shù)的圖形闡明精度與步長(zhǎng)h的關(guān)系。的關(guān)系。xxexfx20 ,20cos)()2(2 , 22,103161)()1(26 xxxxf3.4設(shè)計(jì)自順應(yīng)的設(shè)計(jì)自順應(yīng)的Simpson方法求積分的方法求積分的近似