小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)包含與排除基礎(chǔ)教材(三年級(jí))

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 (三年級(jí) )本教程共30 講第 30 講 包含與排除同學(xué)們對(duì)這個(gè)題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個(gè)問(wèn)題：(1) 兩個(gè)面積都是 4 厘米 2 的正方形擺在桌面上 ( 見(jiàn)左下圖 ) ，它們遮蓋住桌面的面積是 8 厘米 2 嗎？(2) 一個(gè)正方形每條邊上有 6 個(gè)點(diǎn) ( 見(jiàn)右上圖 ) ，四條邊上一共有 24 個(gè)點(diǎn)嗎？聰明的同學(xué)馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)：(1) 兩個(gè)正方形的面積和是 8 厘米 2 ，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。 因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)正方形的面積和中減去重疊的這部分面積， 所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于 8 厘米 2。(2) 四個(gè)角上的點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)都在

2、兩條邊上，因此被重復(fù)計(jì)算了，在求四條邊上共有多少點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計(jì)算的點(diǎn)， 所以共有 6 ×4-4 20( 個(gè) ) 點(diǎn)。這兩個(gè)問(wèn)題，在計(jì)算時(shí)，都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值( 面積或個(gè)數(shù) )的方法。一般地，若已知 A，B，C 三部分的數(shù)量 ( 見(jiàn)右圖 ) ，其中 C 為 A，B 的重復(fù)部分，則圖中的數(shù)量就等于AB-C。因?yàn)?A， B 有互相包含 ( 重復(fù) ) 的部分 C，所以，在求 A 和 B 合在一起的數(shù)量時(shí)，就要在 AB 中減去 A 和 B 互相包含的部分 C。這種方法稱(chēng)為包含排除法。實(shí)際上，我們前面已經(jīng)遇到過(guò)包含與排除的問(wèn)題。如，第 10 講“植樹(shù)問(wèn)題”的 例 3 和例 4，只不

3、過(guò)那時(shí)我們沒(méi)有明確提出“包含排除法”。例 1 把長(zhǎng) 38 厘米和 53 厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長(zhǎng) 4 厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？解：因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)38 53- 4 87( 厘米)。例 2 某小學(xué)三年級(jí)四班，參加語(yǔ)文興趣小組的有 28 人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29 人，有 12 人兩個(gè)小組都參加。 這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？分析與解： 如上頁(yè)左下圖所示， A 圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人， B 圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人， A 與 B 重合的部分 ( 陰影部分 ) 表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人。圖中 A 圓

4、不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有 28-12 16( 人 ) ；圖中 B 圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的人，有 29-12 17( 人)( 見(jiàn)上頁(yè)右下圖 ) 。由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有16 12 17 45( 人)。根據(jù)包含排除法，直接可得28 29- 12 45( 人) 。例 3 某班共有 46 人，參加美術(shù)小組的有 12 人，參加音樂(lè)小組的有 23 人，有 5 人兩個(gè)小組都參加了。這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？分析與解：與例 2 對(duì)比，本例已知全班總?cè)藬?shù)， 如果能仿照 例 2 求出參加了美術(shù)或音樂(lè)小組的

5、人數(shù)， 那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)， 就得到所求的人數(shù)。根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12 23- 5 30( 人 ) 。所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是46-30=16( 人) 。綜合列式為46- ( 12 23- 5) 16( 人)。例 4 三年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63 人。在一次剪貼汽車(chē)模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中， 老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)： 剪貼好一輛汽車(chē)模型的同學(xué)有 42 人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有 34 人。每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)。問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？分析與解： 因 42 3476，76 63，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)

6、活動(dòng)。由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，42 34-( 完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) )= 全組人數(shù)，即 76-( 完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) ) 63。由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76-63 13( 人) 。例 5 在前 100 個(gè)自然數(shù)中，能被2 或 3 整除的數(shù)有多少個(gè)？分析與解： 如右圖所示， A 圓內(nèi)是前 100 個(gè)自然數(shù)中所有能被 2 整除的數(shù)， B 圓內(nèi)是前 100 個(gè)自然數(shù)中所有能被 3 整除的數(shù)， C 為前 100 個(gè)自然數(shù)中既能被 2 整除也能被 3 整除的數(shù)。前 100 個(gè)自然數(shù)中能被2 整除的數(shù)有100÷2=50( 個(gè)) 。由 100 ÷

7、;3 33 ,1 知，前 100 個(gè)自然數(shù)中能被3 整除的數(shù)有 33 個(gè)。由 100 ÷ (2 ×3) 16 ,4 知，前 100 個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被 3 整除的數(shù)有 16 個(gè)。所以 A 中有 50 個(gè)數(shù)， B 中有 33 個(gè)數(shù)， C 中有 16 個(gè)數(shù)。因?yàn)?A，B 都包含 C，根據(jù)包含排除法得到，能被 2 或 3 整除的數(shù)有50 33- 16 67( 個(gè)) 。練習(xí) 301. 三年級(jí)四班組織了一次象棋和軍棋的棋類(lèi)比賽， 參加象棋比賽的有 35 人，參加軍棋比賽的有 24 人，有 16 人兩項(xiàng)比賽都參加了。這個(gè)班參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？2. 某校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，

8、能表演獨(dú)唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，兩種都能表演的有 7 人。這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？3. 一班有 45 人，其中 26 人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽， 22 人參加了作文比賽， 12 人兩項(xiàng)比賽都參加了。一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加？4. 甲、乙兩家合住在一套單元房里。 甲家能夠使用的面積 ( 包括廚房、廁所、走廊等，下同 ) 有 56 米 2，乙家能夠使用的面積有 65 米 2，甲、乙兩家都能使用的面積有 30 米 2。求這套單元的使用面積。5. 在自然數(shù) 1 100 中，能被 3 或 5 中任一個(gè)整除的數(shù)有多少個(gè)？6. 在自然數(shù) 1 100 中，不能被 2，3 中任一個(gè)整除的數(shù)有多少個(gè)？答案與提示練習(xí) 301.43 人。解： 35 24-16=43( 人) 。2.21 人。解： 10 18-7=21( 人) 。3.9 人。解： 45-(26 22-12)=9( 人) 。4.91 米 2。解： 5665-30=91( 米 2) 。5.47 個(gè)。解： 100÷