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1、球速和旋轉(zhuǎn)與籃球命中的關(guān)系姓名學(xué)號(hào)系別班號(hào)E-mail電話(huà)張翀2015010138土木工程結(jié)51xixizhongy師超2015010152土木工程結(jié)51564738677、問(wèn)題分析1.1 為什么提出這個(gè)問(wèn)題:籃球運(yùn)動(dòng)中,在投籃時(shí),人們較多關(guān)注出手時(shí)的方向和球的軌跡,對(duì)相關(guān)問(wèn)題求解時(shí)也是簡(jiǎn)單假設(shè)球只要落進(jìn)籃筐的范圍內(nèi)就一定會(huì)進(jìn);然而事實(shí)情況中,一個(gè)球的軌跡即使落在籃筐的范圍內(nèi)也有很大的可能性以不同的方式彈出去,而我們就是要對(duì)球與籃筐接觸的這一極短過(guò)程進(jìn)行研究,得出球速(矢量)和旋轉(zhuǎn)(矢量)對(duì)籃球命中的影響。1.2 如何研究這一問(wèn)題(大體過(guò)程)
2、:我們打算先查閱資料,對(duì)籃球以及籃筐的各種力學(xué)參數(shù)有一些了解,再通過(guò)合理的模型假設(shè),把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢ɡ硐霔l件下的力學(xué)問(wèn)題,最后再利用物理學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。在得到這一問(wèn)題的不同情況的解之后,可以用它來(lái)對(duì)我們?cè)诨@球運(yùn)動(dòng)中投籃動(dòng)作進(jìn)行指導(dǎo)。二、模型假設(shè)為便于模型的建立和計(jì)算,在查閱資料后,我們對(duì)籃球命中籃筐的過(guò)程作出如下的假設(shè):1、假設(shè)籃球是一個(gè)分布均勻的半徑R=0.12m,質(zhì)量m=0.6kg的實(shí)心球體。2、在此處的模型計(jì)算中,籃筐只需要考慮籃圈的部分,即是一個(gè)內(nèi)徑為d=0.45m,外徑d'=0.49m,高度h=2×10-2m的環(huán)柱形鐵圈。也就是說(shuō),任意一個(gè)籃圈的過(guò)軸線(xiàn)
3、的截面都是2×2 (cm)的正方形。3、籃球與籃筐的摩擦系數(shù)假,在碰撞時(shí)間足夠短的話(huà),使用靜摩擦系數(shù),經(jīng)過(guò)查閱資料,取鐵-皮制材料的靜摩擦系數(shù)=0.55.4、假設(shè)籃球飛行和碰撞時(shí)不受風(fēng)力影響,空氣阻力也忽略不計(jì)。5、我們針對(duì)籃球與籃筐碰撞的恢復(fù)系數(shù)做了簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn):利用籃球、鐵板和豎直的米尺,測(cè)量籃球與鐵板斜撞前后的法向速度變化。鐵板可以認(rèn)為固定在地面上,籃球的速度使用高速攝影(1/100s)固定位置連續(xù)拍攝計(jì)算得出,為了保證速度計(jì)算精確,盡量使籃球不發(fā)生自轉(zhuǎn)。在控制籃球速度足夠快的情況下,可以認(rèn)為籃球的射入與彈出都是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),測(cè)量多組數(shù)據(jù)取平均值如下:組數(shù)12345擊中位置/入射
4、區(qū)長(zhǎng)度(cm)5245585350入射區(qū)捕捉數(shù)(n1)1513161716出射區(qū)捕捉數(shù)(n2)1820141820恢復(fù)系數(shù)e=v1v2=s2/n2s1/n10.770.800.820.840.80取平均值得到籃球與籃筐碰撞的恢復(fù)系數(shù)e=0.806.6、假設(shè)球和筐碰撞處是一個(gè)點(diǎn),也就是球在碰撞過(guò)程中看作不發(fā)生形變;同時(shí)接觸面可以看作是球過(guò)切點(diǎn)的切面。三、模型建立3.1 碰撞位置與速度方向特殊,同時(shí)忽略旋轉(zhuǎn)忽略旋轉(zhuǎn)的影響,并且站在籃筐軸線(xiàn)正前方投球,這時(shí)候速度方向應(yīng)與籃筐截面平行、角速度方向與質(zhì)心速度垂直。3.1.1 一次反彈直接進(jìn)球如圖所示為球與筐碰撞瞬間的水平視圖。P為籃筐上截面,O為球心,碰
5、撞位置假設(shè)為一點(diǎn)A,AO與水平面的夾角為;v為球的質(zhì)心速度,碰撞瞬間速度與水平面夾角為,根據(jù)實(shí)際在籃下投籃的情況,球的軌跡的最高點(diǎn)應(yīng)高于籃筐,大多數(shù)情況下>。我們還知道實(shí)際情況下籃球不能打在前筐上,因此還能確定一個(gè)的最小值。由于球在筐上方飛行速度極快,可以近似認(rèn)為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),的假設(shè)的臨界值為0,通過(guò)作圖以及幾何關(guān)系可得R(1-sin)d-Rcos=Rl=tan0解得l=d-Rcos1-sin, 也就是>0=atg1-sin(d/R)-cos球的出手還伴隨著球的轉(zhuǎn)動(dòng),根據(jù)實(shí)際情況,籃球出手時(shí)從罰球隊(duì)員方向看球應(yīng)該是向下旋轉(zhuǎn),在上圖中,球的角速度的方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶?。在空中自轉(zhuǎn)的籃
6、球?yàn)槔@過(guò)球心的某一軸旋轉(zhuǎn),可以得出球旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=25mR2將速度v沿碰撞的面的法線(xiàn)以及垂直于法線(xiàn)分解,得到法向速度vn=vcos(-) 和切向速度vt=vsin(-).根據(jù)假設(shè)可知,碰撞后法向速度滿(mǎn)足vn'=evn=evcos(-)vn', vn方向相反,其中e=0.806是恢復(fù)系數(shù)??紤]碰撞時(shí)間極短,因此忽略重力的影響,沿法向根據(jù)動(dòng)量定理有Nt=mv=mvn'-vn=m(1+e)vcos(-)其中N為碰撞瞬間籃筐對(duì)籃球的(沿徑向)的平均作用力,則切向平均靜摩擦力為f=N代入上式,得到ft=m1+evcos-在切線(xiàn)方向上,取切點(diǎn)也即碰撞點(diǎn)A, 取垂直于上圖紙面向
7、里為正,球?qū)的角動(dòng)量為L(zhǎng)=I+R×p=I+R×mvt根據(jù)切線(xiàn)方向動(dòng)量定理,有ft=mvt'-mvt對(duì)于球心根據(jù)角動(dòng)量定理,有f×Rt=I'-I對(duì)籃球表面A點(diǎn)速度,可知f與vt-×R方向相反,在實(shí)際投球時(shí),如果速度方向平行于籃圈截面,因?yàn)楹雎粤私撬俣鹊拇笮?duì)切向速度的影響,所以認(rèn)為vt-×R的方向與vt方向相同,也就是f的方向與vt方向相反。根據(jù)上述公式,可知質(zhì)心的切向速度vt減小,球的旋轉(zhuǎn)角速度增加,由(1.4), (1.6)得到vt'=v(sin-1+ecos-)籃球接觸籃筐后反彈,假設(shè)反彈的籃球可以進(jìn)筐得分,先考慮
8、最簡(jiǎn)單的,也就是不經(jīng)過(guò)第二次反彈直接進(jìn)入的情況。如右圖所示,籃球能剛好不接觸籃筐直接進(jìn)球的條件是:當(dāng)球心在筐的中部平面上時(shí),球的另一邊剛好接觸籃筐。可知籃球反彈后作斜拋運(yùn)動(dòng),將速度vt', vn'水平豎直方向正交分解,有vy=vn'sin-vt'cosvx=vn'cos+vt'sin將式(1.1), (1.7)代入,也就是vy=vecos-sin-sin-cos+1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin-1+ecos-sin為了使球反彈,要求vx>0,而對(duì)于vy,當(dāng)vy0時(shí)可以認(rèn)為球向下反彈進(jìn)筐,在此便不作討論。臨界條件
9、下,斜拋運(yùn)動(dòng)的水平豎直方向位移為sxd-R1+cossy=Rsin+h 忽略空氣阻力,籃球受到的合外力加速度為g=9.80m/s2, 因此sx=vxt sy=-vyt+12gt2解得t=vy+vy2+2gsyg將(1.12), (1.13)代入(1.11)中,得到vx(vy+vy2+2gsy)g(d-R1+cos)取cos=4,解不等式并用角度制表示解集,同時(shí)結(jié)合式(1.1),得到>0=5°30'. 又由于(1.10),要求vx>0,也就是atg->10.6°, 即>55°36,發(fā)現(xiàn)當(dāng)v<1.98m/s(近似值)時(shí),對(duì)于(55
10、°36,90°) 不等式一定成立。取v=1.98m/s,解得55°36<81°52';取v=2m/s,解得55°36<80°35';取v=3m/s,解得55°36<63°50';取v=5m/s,解得55°36<58°23';取v=7m/s,解得55°36<57°00';取v=10m/s,解得55°36<56°17'.從上述數(shù)據(jù)中可以看出,當(dāng)罰球隊(duì)員站在籃筐正前方投籃,并且球
11、打筐的位置固定(cos=4)時(shí),為了使球一次反彈后直接進(jìn)球,當(dāng)球速越來(lái)越大,允許的球射入角度最大值就越小。由于籃筐的高度和罰球隊(duì)員出手的高度固定,球在飛行過(guò)程中由動(dòng)能定理有mgH=12m(v02-v2)球打籃筐的速率只和出手的速率有關(guān)。也就是說(shuō),如果要以更快的速度投球并且命中,則需要罰球隊(duì)員站在更遠(yuǎn)的位置出手;相反,當(dāng)罰球隊(duì)員站在更遠(yuǎn)處投球時(shí),就需要控制球的角度不能太高。這一結(jié)論符合實(shí)際情況。從上述數(shù)據(jù)中可以看出球速角度的范圍存在最小值=55°36,這是因?yàn)槲覀冊(cè)诖颂幖僭O(shè)的模型是讓球在一次反彈后進(jìn)筐,如果<55°36,根據(jù)式(1.10)發(fā)生的將是球向正前方反彈,然后打
12、到籃板。至于打板后反彈會(huì)不會(huì)進(jìn)筐,我們之后再作具體的討論。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn),只要球打筐的位置固定,并且球速足夠慢,即使球入射的角度再高,籃球都可以命中。我們定義在打點(diǎn)位置角度下,確保以最大的角度射入還能命中的最小球速為v,根據(jù)前面的結(jié)論有v45°1.98m/s然而實(shí)際情況下,投手投球往往只考慮球擊中的位置,相比球出手的速度方向(高手或低手)則更作為動(dòng)作訓(xùn)練的一部分。那么如果同時(shí)改變打筐的位置呢?此時(shí)我們令v確定,改變的值,解不等式(1.10),得到在不同下的v. 根據(jù)類(lèi)似的計(jì)算可以得到v30°3.1m/s,v60°1.77m/s.不難看出,角度越大時(shí),確保命中的最小球
13、速也相應(yīng)減小,結(jié)合上面的圖示可得,投球的打點(diǎn)越靠后(即越大),在大力投射時(shí)就越應(yīng)該控制速度的方向;相反如果投球打點(diǎn)靠前,就可以放心地使用較大速度投球。這就是為什么打板容易進(jìn),打板與籃圈連接的位置更容易彈回來(lái)。假如=0,也就是我們所說(shuō)的空心球,計(jì)算解得v0,因?yàn)榛@球幾乎不與籃圈發(fā)生相互作用,自然以極大的速度也不會(huì)反彈。3.1.2 二次以上反彈后進(jìn)球由式(1.12)sx=vxt sy=-vyt+12gt2通過(guò)作圖可以看出,球反彈到前框并發(fā)生二次反彈的條件是存在某一時(shí)刻t0,滿(mǎn)足 (d-Rcos-sx)2+(Rsin-sy)2=(d-Rcos-vxt0)2+(Rsin+vyt0-12gt02)2=R
14、2 因?yàn)橛懻摰乃俣仁冀K在籃筐軸線(xiàn)的平面上,所以第二次反彈可以和第一次等效處理,對(duì)第二次反彈,建立3.1.1的模型,有1=arccosd-Rcos-vxt0R1=atgvy'vx'=atgvy-gt0vxv1=v'x2+v'y2=vx2+(vy-gt0)2為了使反彈進(jìn)入筐內(nèi),應(yīng)用式(1.11)及(1.14)得到這個(gè)不等式:式中的vx, vy, t0分別由(1.10)與(1.17)給出。由于不等式太長(zhǎng),已經(jīng)不能用一般的數(shù)學(xué)軟件給出解集。于是小組放棄了此處的計(jì)算。在情形3.1.2的討論中,我們用處理第一次反彈的方式對(duì)第n次反彈建立同樣的模型,關(guān)注籃球打筐時(shí)的三個(gè)重要的
15、參量:球的平動(dòng)速度方向,球與籃筐碰撞的位置,球速v,總結(jié)得到第n次反彈和第n+1次反彈中三個(gè)參量的關(guān)系式,也就是(1.18),進(jìn)一步將n次反彈簡(jiǎn)化成為第一次反彈的情況,然后通過(guò)3.1中的式(1.10), (1.11), (1.14)聯(lián)立這三個(gè)參量列出不等式,在式(1.1)的輔助下解不等式,便得到了與的關(guān)系。3.2 碰撞位置與速度方向特殊,角速度的方向在速度平面法線(xiàn)上在第一種情形中我們忽略了旋轉(zhuǎn)對(duì)籃球的影響。事實(shí)上,籃球的角速度影響了籃球與籃筐碰撞時(shí)的受力方向。根據(jù)3.1的論述:對(duì)籃球表面A點(diǎn)速度,可知f與vt-×R方向相反,在實(shí)際投球時(shí),如果速度方向平行于籃圈截面,因?yàn)楹雎粤私撬俣鹊?/p>
16、大小對(duì)切向速度的影響,所以認(rèn)為vt-×R的方向與vt方向相同對(duì)這種情形建立與3.1.1相同的模型,也就是速度方向應(yīng)與籃筐截面平行、角速度方向與質(zhì)心速度垂直。對(duì)角速度與切向速度的關(guān)系進(jìn)行如下討論。3.2.1 如果vt-×R>0,則vt-×R的方向與vt的方向相同,f的方向與vt方向相反,這種情況與3.1.1討論的情況相同,結(jié)論可由3.1.1給出。3.2.2 當(dāng)vt-×R=0時(shí),籃球在接觸面上沒(méi)有切向相對(duì)速度,因而切向靜摩擦力f的大小為0。根據(jù)式(1.6),我們有vt'=vt,假設(shè)反彈后的速度為v',在水平豎直方向上作與(3.1)相同的
17、正交分解為vx, vy,將其代入式(1.9)有vy=vecos-sin-sin-cosvx=vecos-cos+sin-sin將其代入式(1.14),解不等式,取cos=4,用角度制表示解集,根據(jù)(1.1),同樣有=5°30'. 又根據(jù)vx>0,也就是->-38°51', 即>6°9。當(dāng)v=1m/s時(shí),解得6°9'<時(shí)不等式都成立,也就是只要不打前筐都能進(jìn)球;當(dāng)v=2m/s時(shí),解得6°9'<<27°45'或86°56'<<90
18、176;;當(dāng)v=3m/s時(shí),解得6°9'<<15°27';大概可以看出,投球的速度偏小時(shí),進(jìn)球允許的速度方向范圍分成兩個(gè)區(qū)間:低角度和高角度。這是因?yàn)闆](méi)有受到摩擦力的作用,又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù)已經(jīng)確定,反彈的速度大小也就確定。也就是說(shuō)這種情況下反彈的過(guò)程相當(dāng)于固定速度大小的斜拋運(yùn)動(dòng)。根據(jù)物理學(xué)原理可知,斜拋運(yùn)動(dòng)的初速度方向角為45°時(shí)射程最遠(yuǎn),而為保證進(jìn)球有水平位移的限制,因此角度范圍就分布在45°兩側(cè)。而且球速越大,這個(gè)區(qū)間就越遠(yuǎn)離45°。得到的結(jié)論與事實(shí)相符。然而這個(gè)結(jié)論在現(xiàn)實(shí)生活中并沒(méi)有利用的價(jià)值。因?yàn)橐箆t-
19、215;R=0,角速度就必須嚴(yán)格控制在確定的值,這個(gè)值還與球速有關(guān)。這種情況是不可能出現(xiàn)的。通過(guò)上式得到=vtR,如果按前面的假設(shè)v=2m/s來(lái)算,應(yīng)有=16.7s-12.65rs, 當(dāng)球速更快時(shí),球也要轉(zhuǎn)得更快。似乎平時(shí)打球時(shí)很少能投出每秒3轉(zhuǎn)以上的球,因此大部分情況都應(yīng)該符合3.1的情形。但當(dāng)球旋轉(zhuǎn)得極快時(shí),就要作為另一種情況3.2.3來(lái)討論。3.2.3 此時(shí)令vt-×R<0,也就是f的方向與vt方向相同。根據(jù)3.1的圖,摩擦力的作用是使切向速度加速,也就是vt'=v(sin-+1+ecos-)與式(1.8)只有一個(gè)符號(hào)的不同。將其代入式(1.9),得到vy=vec
20、os-sin-sin-cos-1+ecos-cosvx=vecos-cos+sin-sin+1+ecos-sin與式(1.10)還是只有兩個(gè)符號(hào)不同。再一次代入式(1.14),用同樣的方法cos=4解不等式,因?yàn)関x>0所以>-16°,這個(gè)結(jié)果可以無(wú)視。利用3.1情形取初速度的特殊值分別計(jì)算求得速度方向角度的范圍。計(jì)算原理與情形3.1中的(1.14)的解法完全相同。此處不列出詳細(xì)的計(jì)算結(jié)果了。解不等式得到的計(jì)算結(jié)果顯示,當(dāng)球旋轉(zhuǎn)的速度極快時(shí),若球速度的方向角較小,球速快一些也能進(jìn)球;當(dāng)較大的時(shí)候,要求球速不能太快,球速的區(qū)間呈不連續(xù)分布。這是因?yàn)楦鶕?jù)斜拋運(yùn)動(dòng)初速度方向角越
21、接近45°時(shí)射程越遠(yuǎn),自然也就不容易進(jìn)球,因而當(dāng)較小時(shí),反彈后的合速度的這個(gè)'角在45°以?xún)?nèi),球速加快的同時(shí)切向速度也相應(yīng)增大,這就使得'也減小,總的射程增大幅度很小,允許的球速可以較大;如果很大,反彈后的'減小有可能接近45°,使得射程增加,這樣不容易進(jìn)球;而且當(dāng)大到接近90°的時(shí)候,反彈后的速度方向幾乎就是45°,這樣很容易球就彈出去了。同時(shí)打點(diǎn)位置角也有很大的影響。如果打點(diǎn)靠后,反彈回來(lái)的速度就更高,球也就特別容易飛走。這也就解釋了在遠(yuǎn)處投球(三分球)的時(shí)候,如果球向后高速旋轉(zhuǎn),方向和角度又沒(méi)有偏離反而容易進(jìn)球;而
22、站在籃筐下面低手拋球,旋轉(zhuǎn)的球打到筐沿很容易彈回來(lái)。前者是因?yàn)樗俣确较蜉^水平,打點(diǎn)位置較靠后;后者球打到筐上時(shí)速度基本是豎直的,因?yàn)槭菕伹颍蛩佥^慢,旋轉(zhuǎn)也極快,打點(diǎn)又經(jīng)常打在鐵片上,當(dāng)然不容易進(jìn),這也是很多不熟練的選手在籃下拋投經(jīng)常不容易進(jìn)的原因。3.3 碰撞位置與速度方向一般首先還是考慮比較簡(jiǎn)單的忽略旋轉(zhuǎn)的模型。在這里我們建立新的模型。如圖為籃筐的俯視圖,上面的板是籃板,O'為籃筐面的圓心,籃圈的內(nèi)直徑為d=0.45m,P0就是3.1, 3.2情形下的速度平面P,但是這里討論一般情況,也就是球接觸籃筐的位置不確定,假設(shè)為A點(diǎn),O'A與平面P0所成角為,平面P是在O'
23、A上的豎直平面,可知籃球的球心O在平面P上。球速v0為任意方向,如圖所示,可以將初速度v0沿平面P切向和法向正交分解,得到正交速度v與vz,它們的關(guān)系是vz=v0sinv=v0cosv再通過(guò)情形(3.1)分解為vt和vn,其中vz與vt成的夾角正切值為vzvt=tan.因?yàn)榛@圈平面是中心對(duì)稱(chēng)平面,取籃圈平面,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度,轉(zhuǎn)動(dòng)前后是等效的,平面P到了與P0重合的位置。顯然,切向速度v在平面P上,也就是與籃筐截面平行。若忽略旋轉(zhuǎn),這個(gè)情況和情形3.1的模型是一樣的,可以用相同的方法處理。根據(jù)情形3.1可知,平面P上的速度v碰撞后反彈速度v'依然在平面P上,水平豎直方向的分解速度vx與v
24、y大小可由式(1.10)得到。而對(duì)于速度vz,不考慮旋轉(zhuǎn)時(shí),速度vz相當(dāng)于籃球碰撞在平面上的切向速度。在速度vz方向,根據(jù)動(dòng)量定理,fzt=mvz'-mvzf的方向與vz相反,且對(duì)籃球受到的切面的摩擦力,有fz2+f2=f總2=(N)2根據(jù)前面的結(jié)論可知fzf=vzvt=tan由式(1.4)得到f總t=m1+evcos-也即ft=mv1+ecos-sinfzt=mv1+ecos-cos代入式(3.1)中,vz'=vz-v1+ecos-cos將式(3.5)代入式(1.6)中,得出vt'=v(sin-1+ecos-sin)再根據(jù)式(1.9),我們得出了類(lèi)似(1.10)的表達(dá)
25、式,即vy=v0cosecos-sin-sin-cos+1+ecos-cossinvx=v0cosecos-cos+sin-sin-1+ecos-sinsin根據(jù)情形(3.1)的正交分解方法以及式(1.11), (1.12),作出籃球反彈的速度圖像,因?yàn)樗俣葀z與vx正交,應(yīng)滿(mǎn)足d2-R2sz2+(sx+Rcos-d2)2sy=Rsin+h 其中sx=vxtsy=-vyt+12gt2sz=vz't 聯(lián)立式(3.6), (3.9)與式(3.10)得到不等式d2-R2vy+vy2+4gRsin+hgv0sin-v1+ecoscos2+vy+vy2+4gRsin+hgvx+Rcos-d22
26、其中=-再結(jié)合式(3.8),得到關(guān)于參數(shù), , , v0的四元非線(xiàn)性不等式??梢源_定其中某些變量的值解出剩余變量的取值范圍,進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)分析求得為了進(jìn)球這些參數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系。同時(shí)也可以代入具體的數(shù)值判斷是否能進(jìn)球。在這里由于數(shù)學(xué)水平有限以及工具的限制,并不能利用作圖或者計(jì)算軟件表示出來(lái)。至此這個(gè)模型的求解大概就到此為止。我們?cè)谀P?.1的基礎(chǔ)上引入了另一個(gè)參量用來(lái)表達(dá)任意速度方向,利用籃圈對(duì)稱(chēng)性解決籃球打在籃圈表面任意一點(diǎn)的問(wèn)題。這樣將一般情況轉(zhuǎn)化為情形(3.1)的特殊情況,然后結(jié)合前面的結(jié)論求解。然后再討論籃球有旋轉(zhuǎn)的情況。根據(jù)情形(3.2)的結(jié)論,假設(shè)籃球在接觸籃筐時(shí)有角速度,則角速度的
27、影響體現(xiàn)在摩擦力的方向上,而摩擦力的大小不變。假設(shè)角速度的方向任意,大小為,在接觸點(diǎn)上的線(xiàn)速度u0=×R,對(duì)線(xiàn)速度u0作類(lèi)似v0的正交分解,再與vz和v合成為總相對(duì)速度v總,則摩擦力的方向與v總方向相反,但大小還是由式(1.3)可得,將摩擦力正交分解為v方向和vz方向,代入式(3.5)即可進(jìn)一步得出表達(dá)式。在這種條件下,角速度的方向不確定,可能對(duì)結(jié)論造成很奇怪的影響。而現(xiàn)實(shí)生活中,投出去的球的旋轉(zhuǎn)不應(yīng)該是隨機(jī)的,所以討論這個(gè)情況的意義不大。四、總結(jié)4.1 建模過(guò)程總結(jié)評(píng)價(jià)我們解決這個(gè)問(wèn)題的主要思想,就是建立合理的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)物理分析和物理原理列出相關(guān)關(guān)系得出結(jié)論。我們對(duì)籃球打籃筐這一過(guò)程提出了數(shù)個(gè)可能的物理過(guò)程,建立了一些數(shù)學(xué)模型,最終選擇了這樣一個(gè)模型來(lái)表達(dá)籃球與籃筐接觸的過(guò)程:我們假設(shè)籃圈是圓筒形,并先從最簡(jiǎn)單的情況入手,在情形(3.1)中我們假設(shè)速度方
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