傳統(tǒng)考點(diǎn)(中值定理)

1、微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造摘要： 本文總結(jié)了證明微分中值命題時(shí)常用的六種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，并給出了具體的應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 輔助函數(shù)；原函數(shù)；不定積分；羅爾定理利用微分中值定理解決問(wèn)題時(shí)，通常需要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)， 由這個(gè)輔助函數(shù)滿足某個(gè)中值定理的條件而得到要證明的結(jié)論，而構(gòu)造性方法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分析技巧，這往往成為解題的難點(diǎn)所在 本文主要介紹證明微分中值命題時(shí)常用的六種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法1 原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點(diǎn)： (1)將要證的結(jié)論中的 換成 x ；(2)通過(guò)恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式； (3)

2、用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號(hào)） ，并取積分常數(shù)為零； (4)移項(xiàng)使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù) F ( x) 例 1：證明柯西中值定理分 析 ： 在 柯 西 中 值 定 理 的 結(jié) 論 f (b)f ( a)f '() 中 令x ， 得g (b)g(a)g '()f ( b)f ( a)f ' ( x )f ( b)f ( a)再兩邊同時(shí)積分得，先變形為g ' ( x ) fg( b)g( a)g ' ( x )g ( b)' (x )g( a)f ( b)f ( a)f ( x)C，令C0 ， 有f ( b)f ( a

3、)g( b)g( x)f ( x)g ( x)故 0g( a)g( b)g( a)F ( x)f (x)f (b)f ( a)g ( x) 為所求輔助函數(shù)g (b)g (a)例2：若 a0 , a1 , a2 , , an 是使得 a0a1a2an0的實(shí)數(shù)證明方程23n1a0 a1xa2 x2an xn0 在（ 0，1）內(nèi)至少有一實(shí)根【第1頁(yè)共8頁(yè)】證：由于 (a0 a1x a2 x2an xn )dx a0 xa1 x2a2 x3anxn 1C23n1并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系，所以設(shè)F ( x) a0 xa1 x2a2 x3anxn 1 （取 C0 ），則23n11）

4、F (x) 在0，1 上連續(xù)2） F (x) 在（ 0，1）內(nèi)可導(dǎo)3） F (0)=0， F (1)a0a1a2an023n 1故 F (x) 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 ， 由 羅 爾 定 理 ， 存在(0,1)使F'( )0 ，即a12a2x3anxn 12ann0(a0 xx3n 1)' x0 亦即 a0 a1 a22這說(shuō)明方程 a0a1 xa2 x2an xn0 在（ 0， 1）內(nèi)至少有實(shí)根x2 積分法對(duì)一些不易湊出原函數(shù)的問(wèn)題， 可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)例 3：設(shè) f ( x) 在1 ，2上連續(xù)，在（ 1， 2）內(nèi)可導(dǎo)， f (1)1 ， f (2) 2 證

5、明存2在(1,2) 使 f '( )2 f ( ) 分析：結(jié)論變形為f '( ) 2 f ( )0，不易湊成'( )0 我們將換為 x ，F(xiàn) x x結(jié)論變形為 f '(x)20 ，積分得： lnf ( x)2lnx lnf ( x)ln c ，即 f ( x)c ，從而f ( x)xx2x2可設(shè)輔助函數(shù)為f ( x)1x2 ，有 F (1)F (2)2本題獲證F ( x)例 4：設(shè)函數(shù) f ( x) ， g( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 ( a, b) 內(nèi)可微， f (a) f (b)0 證明存在(a,b) ，使得： f '( ) f ( ) g &#

6、39;( )0 【第2頁(yè)共7頁(yè)】證：將 f '( )f ()g '( ) 0 變形為 f '()f ( ) g '()f '()g '( ) ，將 換f ()為 x， 則f 'x ()，) 兩 邊 關(guān) 于 x積分，得：f (x)g ' x (f ' (x)g ' ( dx)1d f (x ) dg x ( ) f lxn (g )x， 所 以f (x)dxf ( x)C ( )f ( x)ex( p( g ) x)C ex p ( gx( K e x pC g(x，(其 中 Ke x pC( ，) 由f ( x)K

7、 e x( p可得f (x)exp( g (x)由上面積分的推導(dǎo)可知，f (x)exp( g( x)(g ) x K為一常數(shù) K ，故其導(dǎo)數(shù)必為零，從整個(gè)變形過(guò)程知，滿足這樣結(jié)論的的存在是不成問(wèn)題的因而令 F ( x)f (x)exp( g( x) ，易驗(yàn)證其滿足羅爾定理的條件，原題得證3 幾何直觀法此法是通過(guò)幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系， 從而建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)例 5：證明拉格朗日中值定理分析：通過(guò)弦AB 兩個(gè)端點(diǎn)的直線方程為y f (a)f (b)f (a) ( x a) ，則函數(shù) f ( x) 與ba直線AB的方程之差即函數(shù)F ( x) f (x) f (a)f (b)f

8、( a) ( x a) 在 兩ba個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例 6：若 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)且 f (a)a, f (b)b 試證在 (a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使 f ( )分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說(shuō)，連續(xù)函數(shù)yf ( x) 的圖形曲線必跨越y(tǒng)x 這一條直線，而兩者的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，恰滿足 f ( )進(jìn)而還可由圖知道，【第3頁(yè)共7頁(yè)】對(duì) a, b 上的同一自變量值 x ，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差 f ( x) x 構(gòu) 成 一個(gè) 新 的 函 數(shù) g( x) ， 它 滿 足g(a) <0, g(b) >0,因而符合介值定理的條

9、件當(dāng)為g(x) 的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， g ( )0 恰等價(jià)于f ()因此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)g( x)f (x)x 4 常數(shù) k 值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點(diǎn)：1）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來(lái)并令為k 2）恒等變形使等式一端為a 及 f (a) 構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b 及 f (b) 構(gòu)成的代數(shù)式3）觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為x ，相應(yīng)的函數(shù)值改為f (x) 4）端點(diǎn)換變量 x 的表達(dá)式即為輔助函數(shù) F (x) 例 7：設(shè)f ( x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，試證存在一點(diǎn)(a, b)，(0 a b)使等式()() ln af&

10、#39;()成立f bf abf (b) f (a)f ( b)f ( a)分析：將結(jié)論變形為f '( ) ， 令 klan， 則 有l(wèi)n b ln al nbf ( b)k ln bf ( a)k，l令nabx ，可得輔助函數(shù) F ( x)f ( x) k ln x 例 8：設(shè)f在上存 在，在 ac b，試證明存在(a ,b )， 使得''(x ) a,bf ( a)f ( b)f ( c)1( ab) (ac)(b a) (bc)(c a) (cb)f ''()2分析：令f (a)f (b)f (c)于是有b)(ac)(ba) (bk，(ac)(ca

11、)(cb)(bc) f ( a)(ab) f ( c)(ca) f ( b，)上式k為關(guān)a于 a b，b ，ac 三點(diǎn)c bc【第4頁(yè)共7頁(yè)】的 輪 換 對(duì) 稱 式 ， 令 bx （ or ： cx ， or ： ax ）， 則 得 輔 助 函 數(shù)F ( x)(xc) f (a)(ax) f (c)(ca) f ( x)k(ax)(ac)( xc) 5 分析法分析法又叫倒推法， 就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論例 9：設(shè)函數(shù) F ( x) 在0， 1上連續(xù)，在（ 0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（ 0，1）內(nèi)存在一點(diǎn) C ，使得 F (1) F (0)(e1 ce c ) F &#

12、39;(C ) 分析：所要證的結(jié)論可變形為：F (1)F (0)(e1 ce c )F '(c)e c1 F '(c) ，即F (1)F (0) F '(c )ex，則對(duì) F ( x) 與 G (x) 在0，1上應(yīng)用柯e1ec，因此可構(gòu)造函數(shù) G ( x)e西中值定理即可得到證明例 10：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 0,1 上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且 f (0) =0，對(duì)任意 x (0,1)有 f ( x)0 證明存在一點(diǎn)(0,1)使 nf '()f '(1) （ n 為自然數(shù)）成立f ()f (1)分析：欲證其成立，只需證 nf '( ) f

13、 (1)f '(1) f ()0 由于對(duì)任意 x(0,1) 有f (x)0，故只需證：n( f( n 1 )f)f'( f )(f1n)即'(1)( f (x) n f (1x)' x0 ，于是引入輔助函數(shù)F (x)( f (x)n f (1x)（ n 為自然數(shù)）例11 ： 設(shè)函 數(shù) f ( x) 在 區(qū) 間 0 ， +上 可導(dǎo) ，且 有 n 個(gè)不 同零 點(diǎn)：0x1x2xn 試證 af ( x)f '(x) 在0，+ 內(nèi)至少有 n1個(gè)不同零點(diǎn)（其中，a 為任意實(shí)數(shù)）證明：欲證af ( x)f '( x)在 0 ， +）內(nèi)至少有n1 個(gè)不同零點(diǎn)，只

14、需證方程af ( x)f '( x)=0 在0，+ 內(nèi)至少有 n1個(gè)不同實(shí)根因?yàn)椋?x0,+) ，eax0 ，故只需證方程 eax af ( x)f '( x)0 在 0,+) 內(nèi)至少有n1個(gè)不同實(shí)根【第5頁(yè)共7頁(yè)】引入輔助函數(shù)F ( x)eax f (x) ，易驗(yàn)證 F (x) 在區(qū)間 x1 , x2 ， x2 , x3 ， ， xn 1 , xn 上滿 足羅 爾定 理的 條件 ，所 以， 分別 在這 n1 個(gè)區(qū) 間上 應(yīng)用 羅爾 定理 ，得F'( 1)F '( 2 )F '( n 1)0 ， 其 中 1 ( x 1, x 2 ) , 2x( 2 x,

15、 3 n) ,1n x (n 且x , )0 12n 1以上說(shuō)明方程 F '( x) 0在 x1, x2 x2 , x3 xn1 , xn 0， + 內(nèi)至少有個(gè)不同實(shí)根，從而證明了方程af (x)f '( x)=0 在0，+ 內(nèi)至少有個(gè)不同實(shí)n 1n 1根6 待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時(shí)，一般選取所證等式中含的部分為 M ，再將等式中一個(gè)端點(diǎn)的值 b 換成變量 x ，使其成為函數(shù)關(guān)系，等式兩端做差構(gòu)造輔助函數(shù)(x) ，這樣首先可以保證(b) =0，而由等式關(guān)系 (a) =0 自然滿足，從而保證 (x) 滿足羅爾定理?xiàng)l件，再應(yīng)用羅爾定理最終得到待定常數(shù)M 與 f '() 之

16、間的關(guān)系例12 ： 設(shè) f (x) 是 a,b 上 的 正 值 可 微 函 數(shù) ， 試 證 存 在( a,b) ， 使f ( b)f ' ()l nf(b( a )f (a )證明：設(shè) lnf (b)M (b a) ，令 ( x)ln f ( x)M ( x a) 容易驗(yàn)證 ( x) 在 a, b 上f (a)f (a)滿足羅爾定理?xiàng)l件，由羅爾定理，存在(a, b) 使 '( ) 0 ，解得 Mf '( ) ，故f ( )ln f ( b)f'() (b a )f (a)f()例 13：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則在 (

17、a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使 2 f (b) f (a) (b2a2 ) f '( ) 證明：將所證等式看作 f (b) f (a)(b2a2 )f '( ) ，設(shè) f (b) f ( a)M (b2a2 ) ，2【第6頁(yè)共7頁(yè)】令 ( x)f (x) f (a)M(x2a2 ) ，則( x) 滿足羅爾定理?xiàng)l件，由羅爾定理得，存在一點(diǎn)(a,b) ，使 (') 0，即 f (') 2M ，若=0，則 f (') 0，結(jié)論成立；若0 ，則 Mf '( ) ，從而有 2 f (b) f (a)f ( )(b2a2 ) 2例 14：設(shè) 0 x1x2，則存在( x1 , x2 ) 使 x1ex2x2ex1e (1 )( x1 x2 ) 分析：對(duì)于此題設(shè) x1ex2x2ex1M ( x1x2 ) 作函數(shù)( x)x1exxex1M ( x1x) 應(yīng)用羅爾定理可得存在xe ex10M ex1x e(x1, x2 ) ，使 (') 0M，從而，即 11這樣并不能證明原結(jié)論， 遇到這種情況， 說(shuō)明所作的輔助函數(shù)不