數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用解析

1、    數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用解析    張海貝摘要：高中數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)較為復(fù)雜，且隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)以及教學(xué)的需要，學(xué)生也應(yīng)該學(xué)習(xí)一些更加深?yuàn)W的知識(shí)，掌握一些更加有效的解決問(wèn)題的方法，提升解決問(wèn)題的能力和效率。在實(shí)踐教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題當(dāng)中較為常用，可以起到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、洞察能力、邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力的作用。因此，需要在有關(guān)方面進(jìn)行深入研究，增強(qiáng)這一方法的使用能力，提高教學(xué)效果。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 高中數(shù)學(xué) 能力提升數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)證明題解析過(guò)程中較為常用，尤其是在不等式證明和幾何問(wèn)題證明方面，可以提

2、高解決問(wèn)題的效率。但是，數(shù)學(xué)歸納法仍然具有一定的局限性，適用范圍僅限于一些與正整數(shù)有關(guān)的命題，為此，還需要進(jìn)行改進(jìn)。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，這一方法屬于重點(diǎn)內(nèi)容，需要學(xué)習(xí)者對(duì)其進(jìn)行深刻理解和正確使用，避免理論化的學(xué)習(xí)，要體現(xiàn)一種實(shí)踐操作能力，這也是素質(zhì)化教育時(shí)期的要求。下面筆者結(jié)合相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)，并基于高中學(xué)生的思維特征，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用、在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)論述。一、數(shù)學(xué)歸納法的基本形式根據(jù)相關(guān)資料的介紹，有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式可以從以下幾個(gè)角度來(lái)理解：第一，使用驗(yàn)證性思維模式，當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)，證明命題是正確的；第二，對(duì)于n的取值進(jìn)行變化，假設(shè)當(dāng)n取值為

3、k時(shí)，證明命題是正確的，其中k的取值不固定，由此可以得出，n取值k+1時(shí)，命題也是正確的；第三，根據(jù)以上的假設(shè)和驗(yàn)證結(jié)果，得出的結(jié)論為n取值為全體自然數(shù)時(shí)，命題都是正確的1。通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的使用，可以對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步理解，簡(jiǎn)單的概述為一種遞推思想的展現(xiàn)。在這一過(guò)程中，n取值為1的假設(shè)和驗(yàn)證屬于后續(xù)遞推和工作開展的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證過(guò)程的一種介紹，然后在此基礎(chǔ)之上，進(jìn)行拓展研究，將n的取值進(jìn)行變化，得出相應(yīng)的驗(yàn)證結(jié)果，為無(wú)限次遞推的可能性提供保障，這屬于整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法中的核心部分。由此可見(jiàn)，這一方法的使用屬于一種量的積累，從而達(dá)到了質(zhì)的飛越2。二、數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的介紹主

4、要從不等式證明、幾何問(wèn)題解決兩個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)論述，將理論與實(shí)踐結(jié)合在一起，增強(qiáng)對(duì)這一方法實(shí)際應(yīng)用的操作能力。（一）數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的應(yīng)用在不等式證明中使用數(shù)學(xué)歸納法，可以保證過(guò)程的邏輯清晰，降低問(wèn)題解決難度，增強(qiáng)問(wèn)題解決效率。在應(yīng)用過(guò)程中，如果直接進(jìn)行證明，會(huì)增加問(wèn)題的復(fù)雜性，這樣就需要借助于不等式的可加性和傳遞性，進(jìn)行思維的拓展，發(fā)揮想象力，假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式之間的特征關(guān)系，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題3。案例：證明：在n為正整數(shù)的情況下，假設(shè)n個(gè)正整數(shù)的乘積等于1（b1.b2.b3.bn=1），那么對(duì)它們進(jìn)行求和，結(jié)果是不小于n（b1+b2+b3.bnn）數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用：第一，當(dāng)n等于1

5、 的情況下，可以得出b1=1，命題是成立的；第二，假設(shè)當(dāng)n等于k的情況下，命題是成立的，那么k個(gè)正數(shù)的乘積等于1，這樣一來(lái)，可以得到b1+b2+b3.bkk。當(dāng)n取值為k+1時(shí)，那么b1，b2，b3.bk，bk+1可以滿足假設(shè)條件，即b1，b2，b3.bk，bk+1=1，如果這k+1個(gè)正數(shù)都相等，那么他們將都是1，和為k+1，命題成立。與之相反，如果這k+1個(gè)正數(shù)并不都相等，那么將會(huì)存在大于1和小于1的情況，否則將會(huì)與b1.b2.b3.bk+1=1相矛盾；第三，假設(shè)b1>1，b2<1，b1b2看做一個(gè)數(shù)，得出b1.b2.b3.bk+1=1，借助歸納法對(duì)其進(jìn)行假設(shè)，得出的結(jié)論為b1+

6、b2+b3.bk+ bk+1k，所以b3.bk+ bk+1k- b1b2，b1+b2+b3.bk+bk+1-（k+1）b1+b2+k-b1b2-（k+1）=-（b1-1）（b2-1）.由于b1>1，b2<1，那么-（b1-1）（b2-1）>0，b1+b2+b3.bk+ bk+1-k-1>0，b1+b2+b3.bk+ bk+1>k+1，這就證明了當(dāng)n取值為k+1時(shí)，命題是成立的；第四，將以上的論證進(jìn)行綜合，可以得到的結(jié)論是一切正整數(shù)n，如果n個(gè)正整數(shù)的乘積等于1，那么它們的和會(huì)大于n。總結(jié)：在對(duì)以上問(wèn)題解決的過(guò)程中，首先需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，明確推理思路，然后，分析該

7、問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)所在，即需要由假設(shè)不等式成立推導(dǎo)出目標(biāo)不等式成立，如何保證這一推理具有較強(qiáng)的因果關(guān)系，使得出的結(jié)論具有可信性是關(guān)鍵。因此，需要使用中間不等式，將其作為問(wèn)題解決的紐帶，完成推理。（二）數(shù)學(xué)歸納法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用對(duì)于幾何問(wèn)題的解決，主要是進(jìn)行特殊問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為一般性問(wèn)題。需要進(jìn)行假設(shè)，得出一般性結(jié)論，然后作為假設(shè)條件運(yùn)用到解題當(dāng)中。在完成特殊性驗(yàn)證之后，對(duì)于假設(shè)命題n等于k成立進(jìn)行證明，得出n取值為k+1時(shí)，命題也依然成立。案例：證明凸n邊形有多少條對(duì)角線，f（3）=n（n-3）.（n5）數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用：第一，當(dāng)n取值為3的情況下，f（3）=0，而在實(shí)踐當(dāng)中，三角形是不存

8、在對(duì)角線的，所以說(shuō)，原有的命題是成立的；第二，假設(shè)n取值為k時(shí)，命題依然成立，那么f（k）=k（k-3）如果n的取值為k+1，原有的凸k邊型的頂點(diǎn)會(huì)增加一個(gè)，由頂點(diǎn)bk-1與其不相鄰的另外的k-2個(gè)頂點(diǎn)之間進(jìn)行對(duì)角線繪制，總計(jì)的條數(shù)為b2，b3，.bk-1，總計(jì)k-2條對(duì)角線，原有的凸k邊形的一條邊b1bk形成了一條對(duì)角線，由此可見(jiàn)，當(dāng)圖形的邊數(shù)增加時(shí)，k條邊到k+1條邊中共增加k-1條對(duì)角線，得出f（k+1）= f（k）+（k+1）=k（k-3）+（k-1）=（k2-k-2）=（k+1）（k-2）=（k+1）（k+1）-3，這就證明了，當(dāng)n取值為k+1時(shí)，命題成立?？偨Y(jié)：在使用數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)

9、程中，需要理性，不能盲目，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況來(lái)判定是否使用數(shù)學(xué)歸納法，是否能夠保證使用這一方法最為優(yōu)質(zhì)高效，避免過(guò)程的繁瑣性，尤其是在升學(xué)考試的過(guò)程中，解題方法選擇是否科學(xué)合理，會(huì)直接影響答題速度和最終的成績(jī)，因此，要合理選擇方法。三、使用數(shù)學(xué)歸納法解題的注意事項(xiàng)數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生是為了服務(wù)于學(xué)習(xí)中問(wèn)題的解決，屬于一種工具，為了有效的利用這一工具，提高學(xué)生在高中數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)能力，并能夠有效的利用數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)該注重以下幾點(diǎn)：（一）學(xué)生需要樹立“歸納、猜想、證明”的解題思想，這屬于一種邏輯性較強(qiáng)的思維，是使用數(shù)學(xué)歸納法解題的基礎(chǔ)、如果有關(guān)方面的邏輯思維模式和習(xí)慣形成存在問(wèn)題，那么學(xué)生在解題的過(guò)

10、程中，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法將會(huì)有所疏遠(yuǎn)，并且應(yīng)用過(guò)程難度也會(huì)增加。為了在有關(guān)方面進(jìn)行強(qiáng)化，需要老師向?qū)W生介紹什么是數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的由來(lái)，數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于解題的重要性、優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)歸納法在生活中的體現(xiàn)等等，使學(xué)生拉近與數(shù)學(xué)歸納法之間的距離，加強(qiáng)對(duì)其的了解和熟悉程度，這樣更有利于增強(qiáng)對(duì)其的興趣，為后續(xù)使用做鋪墊。（二）進(jìn)行問(wèn)題證明過(guò)程中，要具有“目標(biāo)意識(shí)”，善于進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使思維更加靈活，不能盲目的進(jìn)行有關(guān)方法的使用。比如說(shuō)對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，可以根據(jù)由簡(jiǎn)入繁、由小問(wèn)題解決逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇髥?wèn)題解決，由小目標(biāo)實(shí)現(xiàn)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇竽繕?biāo)實(shí)現(xiàn)等等，要逐漸展開，層層遞進(jìn)，這也是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的

11、基本思路，不能好大喜功，任何方法都存在一定的不足，應(yīng)該相互結(jié)合，有效使用。（三）在高考過(guò)程中，對(duì)于一些與“數(shù)學(xué)歸納法”相關(guān)的題目多數(shù)會(huì)與數(shù)列結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考察，且與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容之間聯(lián)系密切，日常的教學(xué)培養(yǎng)要注重在有關(guān)方面進(jìn)行訓(xùn)練和拓展，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)試能力。與此同時(shí)，老師對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法方面的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)要注重的是學(xué)生實(shí)踐能力的增強(qiáng)，可以通過(guò)競(jìng)賽的模式增強(qiáng)學(xué)生的積極性，或者是使用微課的模式，通過(guò)微信、qq等等來(lái)講數(shù)學(xué)歸納法解題的全過(guò)程進(jìn)行錄制，然后將視頻傳送至師生交流的平臺(tái)之上，使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)其的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生感官的認(rèn)識(shí)，這樣會(huì)強(qiáng)于完全語(yǔ)言講解和理論闡述的效果。四、結(jié)語(yǔ)通過(guò)以上的介紹，數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為普遍，要對(duì)其進(jìn)行深入了解，注重實(shí)踐能力，并保證使用這一方法時(shí)能夠提高解題的速度，盡量降低解題的難度，保持較強(qiáng)的邏輯性思維，逐步推導(dǎo)。與此同時(shí)，老師也要加強(qiáng)有關(guān)方面教學(xué)模式的改進(jìn)，從多角度提升學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力。