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1、1992 全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷第一試一、挑選題此題共有8 個(gè)題 , 每道題都給出了a, b, c, d四個(gè)結(jié)論 , 其中只有一個(gè)是正確的. 請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).1. 滿意 abab1的非負(fù)整數(shù)a ,b 的個(gè)數(shù)是 a1b2c3d42. 如x0 是一元二次方程ax2bxc0a0 的根 , 就判別式b 24ac與平方式2m 2ax0b的關(guān)系是 a> mb= mc< md 不確定3. 如 x213 x10 , 就 x 4x4 的個(gè)位數(shù)字是 a1b3c5d74. 在半徑為 1 的圓中有一內(nèi)接多邊形, 如它的邊長(zhǎng)皆大于1 且小于2 , 就這個(gè)多邊形的邊數(shù)必為 a7b6

2、c5d45. 如圖 , 正比例函數(shù)yx和yaxa0 的圖像與反比例函數(shù)yk k0 x的圖像分別相交于a點(diǎn)和 c點(diǎn). 如 rt就 s1 與 s2 的關(guān)系是 aob和 rtcod 的面積分別為s1 和 s2,a s1s2bs1s2cs1s2d不確定6.在一個(gè)由 88 個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8 的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4 的圓 , 如把圓周經(jīng)過(guò)的全部小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為s1 , 把圓周經(jīng)過(guò)的全部小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為s1s2 , 就s2的整數(shù)部分是a0b1c2d37. 如圖 , 在等腰梯形abcd中, ab/cd,ab=2cd,a一點(diǎn) , 且 fe=fb=ac, fa=ab.就 ae

3、:eb 等于 a1:2b1:3c2:5d3:1060, 又 e 是底邊 ab上8. 設(shè)x1 , x2 , x3 , x9 均為正整數(shù) , 且 x1x2x9 , x1x2x9220 , 就當(dāng)x1x2x3x4x5 的值最大時(shí) ,x9x1 的最小值是 a8b9c10d11二、填空題1. 如一等腰三角形的底邊上的高等于18cm, 腰上的中線等15cm, 就這個(gè)等腰三角形的面積等于 .2. 如 x0 , 就1 x 2x 4x1x 4的最大值是 .3. 在abc 中 ,c90 ,a和b 的 平 分 線 相 交 于 p 點(diǎn) , 又 peab 于 e 點(diǎn) , 如bc2, ac3 ,就 aeeb.4. 如a,

4、b 都是正實(shí)數(shù),且1a11bab0 ,就 b 3a a 3.b其次試一、設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長(zhǎng)分別是方程x 26 xa只有一個(gè)時(shí),求a 的取值范疇 .0 的兩根,當(dāng)這樣的三角形二、如圖,在abc 中 , abac, d是底邊bc 上一點(diǎn),e 是線段ad 上一點(diǎn),且bed2ceda .求證:bd2cd .三、某個(gè)信封上的兩個(gè)郵政編碼m和 n 均由 0,1, 2, 3, 5, 6 這六個(gè)不同數(shù)字組成,現(xiàn)有四個(gè)編碼如下:a: 320651b: 105263c: 612305d: 316250已知編碼a、b、 c、d 各恰有兩個(gè)數(shù)字的位置與m和 n 相同 .d 恰有三個(gè)數(shù)字的位置與m和 n相同

5、. 試求: m和 n.第一試一、挑選題1.c1992 全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷答案ab1由ab01,00,1.ab0,又由ab11,1.共有 3 對(duì). 2.b2設(shè) x 是方程的根 , 就 axbxc0 .00022220所以 2ax0b4a x4abx0b24aax0bx0cb24acb24 ac .3.d由 x213x1 0 知 x0 . 所以 xx 113 ,x 2x 21322167 .44xx4.c216722 , 從而 xx4的個(gè)位數(shù)字為9-2=7.如滿意條件的多邊形的邊數(shù)大于或等于6, 就至少有一邊所對(duì)的圓心角不大于60° . 由余弦定理知該邊長(zhǎng)必不大于1; 同理 , 如

6、存在滿意條件的四邊形, 就它至少有一邊長(zhǎng)不小于2 .5.b設(shè) a 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1 , y1 ,c 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x2 , y2 ,就 x1 y1x2 y2k . s16.b1 obab21x1 y121 x y2221 odcd2s2 .據(jù)正方形的對(duì)稱性, 只需考慮它的1 部分即可 . 記圓周經(jīng)過(guò)的全部小方格的圓內(nèi)部分的面積4之和為s '1 ,圓周經(jīng)過(guò)的全部小方格的圓外部分的面積之和為s' 2 ,就s'148 , s ' 2154.s'1s' 24s14s 2481544.56 .2.44故 s1 s2的整數(shù)部分是1.7.b設(shè) cd1, 就 fa

7、ab2 , 易證 bc1 ab1,2abc90 ,fefbac3 .uc- ab fg是等腰三角形bfd 頂角平分線,因而也是底邊bd 上的中線即bg=gd所以 bd=2bg=2dc三、對(duì)于編碼m,考慮編碼a 中恰有兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字與m中相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相同設(shè)這兩位是 x1,x2 數(shù)位 由于 b、c 中該兩數(shù)位上的數(shù)字均與a 在這兩數(shù)位上的數(shù)字不同,因此b, c 中這兩數(shù)位上的數(shù)字必與m中這兩數(shù)位上的數(shù)字不同,于是b 中與 m 中數(shù)字相同的數(shù)位必異于x1, x2 不妨設(shè)為x3, x4;同理 c 中與 m 中數(shù)字相同的數(shù)位只能是異于x1, x2, x3, x4 的 x5 ,x6 兩位關(guān)于n 也有類似的結(jié)論這就是說(shuō),在每個(gè)數(shù)位上,a,b,c 分別在該數(shù)位上的數(shù)字中,必有一個(gè)與m在該數(shù)位上的數(shù)字相同;同樣地, 也必有一個(gè)與n在該 數(shù)位上的數(shù)字相同由此知, d 中的 6, 0 兩數(shù)字必不是m, n 在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字于是d 的 3, 1, 2, 5 中只有一個(gè)數(shù)字與m在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字不同;與相比較也有類似的結(jié)果a如 3 不對(duì),就有610253, 013256;b如 1 不對(duì),就有36025

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