高中數(shù)學(xué)講義——二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)展開(kāi)式1求展開(kāi)式中的指定項(xiàng)

1、1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理011222.nnnnnnnnnnabc ac abc abc bnn這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)011222.nnnnnnnnnc ac abc abc b 叫做nab的二項(xiàng)展開(kāi)式， 其中的系數(shù)0, 1, 2, .,rncrn叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的rn rrnc ab叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用1rt表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第1r項(xiàng)：1rn rrrntc ab 二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù)二項(xiàng)式nab的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為1n項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n 字母 a 的按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1 直到零，字母b按升冪排列

2、，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1 直到 n 幾點(diǎn)注意通項(xiàng)1rn rrrntc ab 是nab的展開(kāi)式的第1r項(xiàng)，這里0, 1, 2,.,rn二項(xiàng)式nab的1r項(xiàng)和nba的展開(kāi)式的第1r項(xiàng)rn rrnc ba是有區(qū)別的， 應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的 a和b是不能隨便交換的注意二項(xiàng)式系數(shù)（rnc ）與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù) 通 項(xiàng) 公 式 是nab這 個(gè) 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 下 而 言 的 ， 如nab的 二 項(xiàng) 展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 公 式 是11rrnrrrntc ab （只須把b看成b代入二項(xiàng)式定理）這與1rn rrrntc ab 是不同的， 在這

3、里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是rnc ，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是1rrnc ，一個(gè)是rnc ，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系知識(shí)內(nèi)容求展開(kāi)式中的指定項(xiàng)數(shù)是不同的概念設(shè)1,abx，則得公式：12211.nrrnnnnxc xc xc xx 通項(xiàng)是1rtrn rrnc ab0, 1, 2, .,rn 中含有1,rta b n r五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素當(dāng) n 不是很大，x 比較小時(shí)可以用展開(kāi)式的前幾項(xiàng)求(1)nx的近似值2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角形：對(duì)于 n 是較小的正整數(shù)時(shí)，可以直接寫(xiě)出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計(jì)算楊輝三角有如下規(guī)律： “左、右兩邊斜行

4、各數(shù)都是1其余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和”二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：nab展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是：012, .,nnnnncccc ，從函數(shù)的角度看rnc 可以看成是r 為自變量的函數(shù)fr，其定義域是：0, 1, 2, 3, ., n 當(dāng)6n時(shí)， fr 的圖象為下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和6n時(shí) fr的圖象的直觀(guān)來(lái)幫助我們研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式mn mnncc得到增減性與最大值如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大由于展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)順次是0121

5、1,11 2nnnn nnccc，3121 2 3nn nnc， ，112 .21 2 3 .1knn nnnkck，12 .211 2 3.1knn nnnknkckk， ，1nnc其中， 后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù) （如,1,2,.n nn） ，分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，2，3，） 因?yàn)?，一個(gè)自然數(shù)乘以一個(gè)大于1 的數(shù)則變大，而乘以一個(gè)小于1 的數(shù)則變小，從而當(dāng)k依次取 1，2，3，等值時(shí)，rnc 的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了又因?yàn)榕c首末兩端 “等距離”的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就逐漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間當(dāng) n是偶數(shù)

6、時(shí)，1n是奇數(shù)，展開(kāi)式共有1n項(xiàng)，所以展開(kāi)式有中間一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為2nnc當(dāng) n是奇數(shù)時(shí)，1n是偶數(shù)，展開(kāi)式共有1n項(xiàng)，所以有中間兩項(xiàng)這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為1122nnnncc二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，即012.2rnnnnnnnccccc奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即0241351.2nnnnnnncccccc常見(jiàn)題型有：求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)單的組合數(shù)式問(wèn)題【例 1】6312x的展開(kāi)式中的第四項(xiàng)是【例 2】6xyyx的展開(kāi)式中，3x的系數(shù)等于 _ _【例 3】353121xx的展開(kāi)式中x 的系

7、數(shù)是a4b2c2 d4典例分析【例 4】 若9axx的展開(kāi)式中3x的系數(shù)是84，則 a【例 5】5axx()xr展開(kāi)式中3x的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù) a 等于a1b12c1 d2【例 6】 若2012(12 )nnnxaa xa xa xl，則2a 的值是（）a84b84c280d280【例 7】8(2 )xy的展開(kāi)式中62x y 項(xiàng)的系數(shù)是（）a56b56c28d28【例 8】 若554541031xa xa xa xa ，則2a 的值為（）a270 b 2702xc 90d902x【例 9】的展開(kāi)式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 10】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 64(1)

8、(1)xxx25(42)xxx【例 11】 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 12】 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 13】 求展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)【例 14】 在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例 15】的展開(kāi)式中的系數(shù)等于 _ （用數(shù)字作答）【例 16】展開(kāi)式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 17】 在的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）25(42)xx2x25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x8(1)(1)xx5xa-14 b14 c-28 d2

9、8【例 18】在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）a15b85 c120d274【例 19】在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例 20】求展開(kāi)式中的系數(shù)【例 21】的展開(kāi)式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 22】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 23】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） (1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x64(1) (1)xxx25(42)xxx25(42)xx2x【例 24】 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 25】 求展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)【例 26】 在的展

10、開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例 27】的展開(kāi)式中的系數(shù)等于 _ （用數(shù)字作答）【例 28】展開(kāi)式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x【例 29】在的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）a-14 b14 c-28 d28【例 30】在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）（a）15（b） 85 （ c）120（d）274【例 31】在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例 32】求展開(kāi)式中的系數(shù)【例 33】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）abcd【例

11、 34】的展開(kāi)式中的系數(shù)是 _，的系數(shù)為 _8(1)(1)xx5x(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x521xx4x10105534(12 ) (1)xxx2x【例 35】的展開(kāi)中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）abcd【例 36】的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）abc3 d 4【例 37】 求展開(kāi)式中的系數(shù)；【例 38】 在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）abcd【例 39】的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）abcd【例 40】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）411(1)xx2x4610126411xxx4331011xx5x521xx4x

12、1010556(2)x3x2040801604(1)xx【例 41】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi) （用數(shù)字作答）【例 42】的二項(xiàng)展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）abcd【例 43】若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為則 （用數(shù)字作答）【例 44】設(shè)常數(shù)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則_【例 45】已知（是正整數(shù)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)小于120，則3333(1)11xxxx91xx3x36843684261()xax3x5,2a0a241()axx3x32a26(1)kxk8xk【例 46】 已知的展開(kāi)式中的系數(shù)與的展開(kāi)式中的系數(shù)相等【例 47】的二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)為（）abcd【例 48】 若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為則 （

13、用數(shù)字作答）【例 49】若與的展開(kāi)式中含的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）abcd【例 50】 已知，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是【例 51】 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)數(shù)，那么5( cos1)x2x45()4x3xcos101xx6210252210252261()xax3x5,2a_21()nxm2(1)(*0)nmxnmn，nxm12(23，21)3，(0)，(0)，0sincosaxx dx61axx2x7(1)ax3x2x4x1a_a【例 52】已知（是正整數(shù)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)小于，則_【例 53】的展開(kāi)式中的系數(shù)為【例 54】若的展開(kāi)式中，的系數(shù)是的系數(shù)

14、的倍，求；【例 55】的展開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_【例 56】已知為實(shí)數(shù)，展開(kāi)式中的系數(shù)是，則_26(1)kxk8x120k4()xyyx33x y(1)nx3xx7n10()xy73x y37x ya10()xa7x15a【例 57】 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大，求第項(xiàng)的系數(shù)【例 58】 求的二項(xiàng)展開(kāi)式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)【例 59】 若的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 _【例 60】 令為的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為41nxxx44491xx3x12nxx4xna1( )(1)nnfxx1nx1na2009_【例 61】在的展開(kāi)式

15、中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求的值【例 62】已知，則【例 63】在展開(kāi)式中，與的系數(shù)分別為，如果3ab，那么的值為（）abcd【例 64】若的展開(kāi)式中的系數(shù)是， 則實(shí)數(shù)的值是 _7(1)ax(1)a3x2x4xa52551110axxbxa xlb1nx3x2xab，b706055405(1)ax3x80a【例 65】設(shè)常數(shù)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則【例 66】若展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為，則等于（）abcd【例 67】設(shè)為的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 _ 【例 68】 已知展開(kāi)式的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)比是，則_【例 69】在的展開(kāi)式中，如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則第項(xiàng)為 _0a421axx3x32a12nxx21x41x5n46810na1( )(1)nnf