高中數(shù)學(xué)講義——二項式定理1二項展開式1求展開式中的指定項

1、1二項式定理二項式定理011222.nnnnnnnnnnabc ac abc abc bnn這個公式表示的定理叫做二項式定理二項式系數(shù)、二項式的通項011222.nnnnnnnnnc ac abc abc b 叫做nab的二項展開式， 其中的系數(shù)0, 1, 2, .,rncrn叫做二項式系數(shù)，式中的rn rrnc ab叫做二項展開式的通項，用1rt表示，即通項為展開式的第1r項：1rn rrrntc ab 二項式展開式的各項冪指數(shù)二項式nab的展開式項數(shù)為1n項，各項的冪指數(shù)狀況是各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n 字母 a 的按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1 直到零，字母b按升冪排列

2、，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1 直到 n 幾點注意通項1rn rrrntc ab 是nab的展開式的第1r項，這里0, 1, 2,.,rn二項式nab的1r項和nba的展開式的第1r項rn rrnc ba是有區(qū)別的， 應(yīng)用二項式定理時，其中的 a和b是不能隨便交換的注意二項式系數(shù)（rnc ）與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負(fù) 通 項 公 式 是nab這 個 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 下 而 言 的 ， 如nab的 二 項 展 開 式 的 通 項 公 式 是11rrnrrrntc ab （只須把b看成b代入二項式定理）這與1rn rrrntc ab 是不同的， 在這

3、里對應(yīng)項的二項式系數(shù)是相等的都是rnc ，但項的系數(shù)一個是1rrnc ，一個是rnc ，可看出，二項式系數(shù)與項的系知識內(nèi)容求展開式中的指定項數(shù)是不同的概念設(shè)1,abx，則得公式：12211.nrrnnnnxc xc xc xx 通項是1rtrn rrnc ab0, 1, 2, .,rn 中含有1,rta b n r五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素當(dāng) n 不是很大，x 比較小時可以用展開式的前幾項求(1)nx的近似值2二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角形：對于 n 是較小的正整數(shù)時，可以直接寫出各項系數(shù)而不去套用二項式定理，二項式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計算楊輝三角有如下規(guī)律： “左、右兩邊斜行

4、各數(shù)都是1其余各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和”二項式系數(shù)的性質(zhì)：nab展開式的二項式系數(shù)是：012, .,nnnnncccc ，從函數(shù)的角度看rnc 可以看成是r 為自變量的函數(shù)fr，其定義域是：0, 1, 2, 3, ., n 當(dāng)6n時， fr 的圖象為下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和6n時 fr的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等事實上，這一性質(zhì)可直接由公式mn mnncc得到增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大由于展開式各項的二項式系數(shù)順次是0121

5、1,11 2nnnn nnccc，3121 2 3nn nnc， ，112 .21 2 3 .1knn nnnkck，12 .211 2 3.1knn nnnknkckk， ，1nnc其中， 后一個二項式系數(shù)的分子是前一個二項式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù) （如,1,2,.n nn） ，分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，2，3，） 因為，一個自然數(shù)乘以一個大于1 的數(shù)則變大，而乘以一個小于1 的數(shù)則變小，從而當(dāng)k依次取 1，2，3，等值時，rnc 的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了又因為與首末兩端 “等距離”的兩項的式系數(shù)相等，所以二項式系數(shù)增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數(shù)最大的項必在中間當(dāng) n是偶數(shù)

6、時，1n是奇數(shù)，展開式共有1n項，所以展開式有中間一項，并且這一項的二項式系數(shù)最大，最大為2nnc當(dāng) n是奇數(shù)時，1n是偶數(shù)，展開式共有1n項，所以有中間兩項這兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，最大為1122nnnncc二項式系數(shù)的和為2n，即012.2rnnnnnnnccccc奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即0241351.2nnnnnnncccccc常見題型有：求展開式的某些特定項、項數(shù)、系數(shù)，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數(shù)式問題【例 1】6312x的展開式中的第四項是【例 2】6xyyx的展開式中，3x的系數(shù)等于 _ _【例 3】353121xx的展開式中x 的系

7、數(shù)是a4b2c2 d4典例分析【例 4】 若9axx的展開式中3x的系數(shù)是84，則 a【例 5】5axx()xr展開式中3x的系數(shù)為10，則實數(shù) a 等于a1b12c1 d2【例 6】 若2012(12 )nnnxaa xa xa xl，則2a 的值是（）a84b84c280d280【例 7】8(2 )xy的展開式中62x y 項的系數(shù)是（）a56b56c28d28【例 8】 若554541031xa xa xa xa ，則2a 的值為（）a270 b 2702xc 90d902x【例 9】的展開式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 10】在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 64(1)

8、(1)xxx25(42)xxx【例 11】 在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 12】 在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 13】 求展開式中含項系數(shù)【例 14】 在的展開式中，項的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例 15】的展開式中的系數(shù)等于 _ （用數(shù)字作答）【例 16】展開式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 17】 在的展開式中的系數(shù)是（）25(42)xx2x25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x8(1)(1)xx5xa-14 b14 c-28 d2

9、8【例 18】在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）a15b85 c120d274【例 19】在的展開式中，含項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例 20】求展開式中的系數(shù)【例 21】的展開式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 【例 22】在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 23】在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） (1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x64(1) (1)xxx25(42)xxx25(42)xx2x【例 24】 在的展開式中，的系數(shù)為 _（用數(shù)字作答） 【例 25】 求展開式中含項系數(shù)【例 26】 在的展

10、開式中，項的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例 27】的展開式中的系數(shù)等于 _ （用數(shù)字作答）【例 28】展開式中的系數(shù)是 _（用數(shù)字作答） 25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x【例 29】在的展開式中的系數(shù)是（）a-14 b14 c-28 d28【例 30】在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）（a）15（b） 85 （ c）120（d）274【例 31】在的展開式中，含項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例 32】求展開式中的系數(shù)【例 33】在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）abcd【例

11、 34】的展開式中的系數(shù)是 _，的系數(shù)為 _8(1)(1)xx5x(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x521xx4x10105534(12 ) (1)xxx2x【例 35】的展開中含的項的系數(shù)為（）abcd【例 36】的展開式中的系數(shù)是（）abc3 d 4【例 37】 求展開式中的系數(shù)；【例 38】 在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）abcd【例 39】的展開式中的系數(shù)是（）abcd【例 40】在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）411(1)xx2x4610126411xxx4331011xx5x521xx4x

12、1010556(2)x3x2040801604(1)xx【例 41】在的展開式中，的系數(shù)為_ （用數(shù)字作答）【例 42】的二項展開式中含的項的系數(shù)為（）abcd【例 43】若的二項展開式中的系數(shù)為則 （用數(shù)字作答）【例 44】設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_【例 45】已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則3333(1)11xxxx91xx3x36843684261()xax3x5,2a0a241()axx3x32a26(1)kxk8xk【例 46】 已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等【例 47】的二項展開式的第項的系數(shù)為（）abcd【例 48】 若的二項展開式中的系數(shù)為則 （

13、用數(shù)字作答）【例 49】若與的展開式中含的系數(shù)相等，則實數(shù)的取值范圍是（）abcd【例 50】 已知，則二項式展開式中含項的系數(shù)是【例 51】 在的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項，若實數(shù)，那么5( cos1)x2x45()4x3xcos101xx6210252210252261()xax3x5,2a_21()nxm2(1)(*0)nmxnmn，nxm12(23，21)3，(0)，(0)，0sincosaxx dx61axx2x7(1)ax3x2x4x1a_a【例 52】已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于，則_【例 53】的展開式中的系數(shù)為【例 54】若的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)

14、的倍，求；【例 55】的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_【例 56】已知為實數(shù)，展開式中的系數(shù)是，則_26(1)kxk8x120k4()xyyx33x y(1)nx3xx7n10()xy73x y37x ya10()xa7x15a【例 57】 二項式的展開式中第三項系數(shù)比第二項系數(shù)大，求第項的系數(shù)【例 58】 求的二項展開式中含的項的二項式系數(shù)與系數(shù)【例 59】 若的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中項的系數(shù)為 _【例 60】 令為的展開式中含項的系數(shù)，則數(shù)列的前項和為41nxxx44491xx3x12nxx4xna1( )(1)nnfxx1nx1na2009_【例 61】在的展開式

15、中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項，求的值【例 62】已知，則【例 63】在展開式中，與的系數(shù)分別為，如果3ab，那么的值為（）abcd【例 64】若的展開式中的系數(shù)是， 則實數(shù)的值是 _7(1)ax(1)a3x2x4xa52551110axxbxa xlb1nx3x2xab，b706055405(1)ax3x80a【例 65】設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則【例 66】若展開式中含項的系數(shù)與含項的系數(shù)之比為，則等于（）abcd【例 67】設(shè)為的展開式中含項的系數(shù)，則數(shù)列的前項和為 _ 【例 68】 已知展開式的第二項與第三項的系數(shù)比是，則_【例 69】在的展開式中，如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，則第項為 _0a421axx3x32a12nxx21x41x5n46810na1( )(1)nnf