2021屆徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)一模教師版

1、徐匯區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試卷2020.12.16一填空題（本題共12小題，第16期每題4分，第712題每題5分，共54分） .、. e 'r +21 .計(jì)算：hm；zb 2rr - 5+ 3【解析】【答案】I2 c1 1 ir +2n r n 1lim -= hm丁 - =2/r -5? + 32n n22.已知。=（7 2,3）,坂=（-1,.7）若）葭則，=【答案】7或3【解析】因?yàn)?所以7（-2） = 3 ,解得7 = -1或33.不等式1 -x3 2。的解集為【解析】1 -x3 2【答案】fp-HO2=-2+ 3x >=> x> 34.在（x-球的二項(xiàng)展開

2、式中，中間項(xiàng)的系數(shù)是【答案】-20【解析】t；=Cx3-(-1)3=-20x35.設(shè) 集合 A = (x,y)ly = 4',xeR,3 = (x,y)ly = 6x2” -8,xwR【答案】(1,4),(2,16)【解析】解出兩函數(shù)相交時(shí)的點(diǎn)組成的集合即可6 .函數(shù) y = arccos.v,x e-l50的反函數(shù) / " (x)=【答案】 cos x.xe【解析】/1(x) = cosx,xe 7用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 + 2 + 2?+25J（wN.）能被31整除時(shí)，從攵到攵+ 1添加的項(xiàng)共有 項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）【答案】5【解析/(& + 1)_/(Z) = 25

3、A+2"7+2"'-2+2"+3+25at,共 5 項(xiàng)8 .如圖，圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面所成角的大小是9 .小王同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書和3本不同的化學(xué)書，從中任取2本,則這2本書屬于不同學(xué)科的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）喀案堪+ C? +11【解析】反面法，兩本書屬于同種學(xué)科:-=- 品1510 .在AABC中，乙4 = 45°，歷是AB的中點(diǎn)，若I AB IT 8C1= 2, D在線段AC上運(yùn)動(dòng),則DBDM的最小值是【答案】I O故加=(-4,，麗(4-4DBDN = -a + a2 + 2所以當(dāng)乎

4、時(shí)，(甌而L441L已知函數(shù)= (其中,北/?)滿足：對(duì)任意的工式0,1 ,有|/3歸1 ,則(2a +1)(乃+1)的最/'值是.【答案】-9【解析】代入x =。與X = 1 ,得問(wèn)和原式(2x + l)(2y+l) = (4x + 2)y+2x + l【變換主元:一次函數(shù)】時(shí)，取一1X 時(shí)，/(a) = (4% + 2).(-1 - A-) + 2x +1 = -4x2 - 4x -1= -9，符合題意 x < 一；時(shí)，取 1 -x 時(shí)，/(x) = -4x2 + 4a + 3f(x) = -4x2+4x+3，/(1)加” =-5不合題意舍去12.已知雙曲線：工-二=1的左右

5、焦點(diǎn)分別是耳、生，直線/與的左、右支分別交于尸、 45。(P、。均在X軸上方)，若直線PF、QF?的斜率均為k ,且四邊形PQF,”的面積為20# ,貝必=【答案】±J2【解析】設(shè)過(guò)乙直線與交于。，尸與尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱S*o。= Sy，。:.SpQg =2S文。=3| -y2設(shè) Iqp，： X = my + 3x = my + 3/. * x2 y2 =>(5/h2 -4)y2 + 30my + 25 = 0/. A = 900/z/2-100(15m2-4)= 400/rz2 + 400因?yàn)槭c。在左右兩支上， 所以P與。在右支上24<0,入士一 3/一45 I 3V40

6、0/n2+400 ” fZ 、小3= 5>4 =2。娓-.選擇題（本題共4題，滿分20分，每題5分）每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng).13 .已知xeR，條件p：x2x，條件,則是夕的（ ）xA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C14 .若2-i是關(guān)于-v的系數(shù)方程x2+ax+b = 0的一根，則a+等于（）Al B.-1C.9D.-9【答案】A6方程cosx = log8X的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】數(shù)形結(jié)合'=cosX與y = logs X易得有3個(gè)交點(diǎn)16.設(shè)丁是平面直角坐標(biāo)系xOy上以A(0,2)

7、, 8 (-3 -1), C(" -1)為頂點(diǎn)的正三角形，考慮一下五種平面上的變換：繞原點(diǎn)作120。的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；繞原點(diǎn)作240。的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；關(guān)于直線OA對(duì)稱；關(guān)于直線OB對(duì)稱;關(guān)于直線OC對(duì)稱.任選三種變換(可以相同)共125種變換方式，若要使得丁變回起始的位置(即點(diǎn)A,8,C分別都在原來(lái)的位置)，共有(C )變換方式A.12B. 16C.20D.2【解析】(1 ) 3個(gè)：1種；(2 )3個(gè)：1種；(3)對(duì)稱兩次，再旋轉(zhuǎn)耳=6種；(4 )先轉(zhuǎn)次，再選對(duì)稱，最后對(duì)稱定固定：2x3 = 6(5 )先對(duì)稱，再旋轉(zhuǎn)，再對(duì)稱：2x3 = 6綜上所述：共18 + 2 = 20種三、解答題(本

8、題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域(對(duì)應(yīng)的題號(hào))內(nèi)寫出必要的步驟.17如圖，會(huì)三棱柱A3C 4與C；中，AC = BC = 2, CC =4 , NAC8 = 90", E、F分別為棱AA，A3的中點(diǎn)(1 )求異面直線A。與£F所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)；(2 )求五棱錐C - EFBBA的體積叫小【解析】(1 )連接A/ ,則43放，A-于是/3。(或其補(bǔ)角)就是異面直線與EF所成的角 在AA16c 中，8C = 2, %C = 2& A" = 2" ,所以 3C_L 4c所以，異面直線A,與£

9、F所成角的大小arctan ?(2 )由于明 =S八明 -S»步=8霹-=7姬又由 CF 1 AB,CF A4 得，平面 ABB.A,所以頂點(diǎn)C到底面的距離為CF = y/2所以明印=；0.7尤=?殳橢圓高+方=.>°)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別幣心用是橢圓上任意一點(diǎn)，記”后的 周長(zhǎng)為2+ 2企 (1 )求橢圓的方程；(2 )過(guò)橢圓在.V軸負(fù)半軸上的頂點(diǎn)8及橢圓右焦點(diǎn)工作一直線交橢圓與另一點(diǎn)N ,求4FNB的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)【解析】(1)由題意得，橢圓焦點(diǎn)在工軸上， 設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距的長(zhǎng)分別為2a處,2c則。=y/nr +1, b = rn,c = 1由已知

10、得，2。+ 2。= 2 + 2五，。+1+1 = 1 +啦2解得? = 1 ,所以橢圓的方程f+ y2 = 1(2 )由(1 )得，B(O,-1),5(1,0)，所以直線的方程為y = x-y = x-由旨 , 解得，于是八出=。應(yīng)+ r =1v3 3；3由于/= C ,且F】B = &2所以由tan 4FNB =* ,得tan N"N8 =匕2=NB 4NB 419 .進(jìn)博會(huì)期間,有一個(gè)邊長(zhǎng)80?的正方形展廳。鉆C ,由于疫情,展廳被分割成如圖US噢his的相互封閉的幾個(gè)部分,已劃出以。為圓心，60加為半徑的扇形OOE作為展廳,現(xiàn)要在余下的地塊中劃出一塊矩形的產(chǎn)品說(shuō)明會(huì)場(chǎng)地

11、PGBF ,矩形有兩條邊分別落在邊 /和 8c 上，設(shè) NPOA = a <a<(1 )用。表示矩形PGBF的面積，并求出當(dāng)矩形PGBF為正方形是的面積(精確到1戶)(2 )當(dāng)取何值時(shí)，矩形PGBF的面積品枷最大？并求出最大面積(精確到1/ )【解析】(1 ) S = (80-60cosa)(80-60sina <a<當(dāng)矩形PGBF為正方形時(shí)，,此時(shí)Spgbf =(80 30點(diǎn))2 *1412(/)(2 )設(shè)，=sintz + cosa =r -1/. sina-cos cz =2S = 6400-4800/+ 3600 2= 1800/24800/+ 4600所以當(dāng)，

12、=中 時(shí)，smax = 2700 + 4600 - 4800 -« 1421)2220 .設(shè)表示不小于的最小整數(shù)，例如(0.3) = 1,(-2,5) = -2, (1)解方程(工一 1) = 3(2 )設(shè)/(%)=(切,neN'.是分別求出f(x)在區(qū)間(0,),(1,2以及(2,3上的值域；若/J)在區(qū)間(0,網(wǎng) 上的值域?yàn)?，求集合加“中的元素的個(gè)數(shù)；(3般實(shí)數(shù)。0, g(x) = x + a 2 - 2力(幻=之 若對(duì)任意都有s，x, e (2,4 x廠一 5x + 7g(N) >力(9)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍【解析】(1)由已知得，2<x-l<3，解得

13、3vxK4(2 ) xe(0j /(x) = 1 x /(x)e(0JJ (x) = lX e (1,2 (x) = 2 x (x) e (2,4 f(x) = 3.4 x e (2,3). =3 x e (6,9 /(x) = 7,8,9當(dāng) a e (, +1時(shí)，(x) = +1, xe/(x) e (n2 n1 + 2n +1f(x) = n2 + + lj/ +“ + 2,.j/ +2 + l+ l 個(gè)元素,故時(shí)，中元素個(gè)數(shù)為(1 + /?)/? n2 +n(3 ) xe(2,4時(shí)，=3,42工e(2,3時(shí)，(x) = 3, fi(x) = x + -2 xsin(幻+ 2 心(x) =

14、 x + -2> 力X = 4 恒成立=3a > (6 -x)xmav = 9 = a > 3 xx e (3,4時(shí)，(x) = 4J心)ma、< 力(3) = 2 g(x) = x + 色一2 2 2，恒成立=4a N (4-x)x = a 2 1Z宗上所述：a>321 .對(duì)于項(xiàng)數(shù)為7(723,? e N)的有限數(shù)列qj ,記該數(shù)列前頁(yè)a,七,4中的最大項(xiàng)為K(i = 12，。，即蒼=maxq,%，q；該數(shù)列后?一，項(xiàng)4+i，q_2,，冊(cè)中的最小項(xiàng)K(i = 1,2,即 - 1)為,即升=min .I,。的«34=% - %G = 1,2,3, 陽(yáng) 一

15、 1) (1 )對(duì)于共有四項(xiàng)數(shù)列：347，求出相應(yīng)的4,4(2)設(shè) c 為常數(shù),且 q+xt+| =c(2 = 1,2,3,?),求證七=q(Z = 123, i)；2(3 )設(shè)實(shí)數(shù)4>0 ,數(shù)列瑪滿足q =1,%=&7"_+不 =2,3廣,加)，若數(shù)列q對(duì) 應(yīng)的4滿足4+1 >4對(duì)任意的正整數(shù)i = 1,2,3,2-2恒成立,求實(shí)數(shù)人的取值范圍.【解析】(1)%=3).1 ,4 =2%=4 >2=1 , 4 = 3x3 = 7 % = 1 4=6(2)證明：ak +xm_k+l =c =('由-得，W+I -卬=X- 7X"k_l Xjn-k