二次函數(shù)-老師

1、知識要點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意：二次項(xiàng)系數(shù)a0，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)yax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次多項(xiàng)式。（含自變量的代數(shù)式是整式，自變量的最高次數(shù)是2， 二次項(xiàng)系數(shù)不為0.） 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的解析式三種形式 一般式：yax2+bx+c （a，b，c為常數(shù)，a0）頂點(diǎn)式：ya(x-h)2+k 拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和

2、B（x2，0）的拋物線三、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：四、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)a. (決定了拋物線開口的大小和方向) 二次函數(shù)中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下；的絕對值越大，開口越小，反之的絕對值越小，開口越大。總結(jié)起來：決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定 開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù)b （a和b共同決定拋物線對稱軸的位置） 二次函數(shù)的對稱軸是直線時(shí)，對稱軸為軸；（即、同號）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時(shí)，對稱軸在軸右側(cè). ab的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則總結(jié)起來就是“左同右異”3.

3、 常數(shù)項(xiàng)c (決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的五、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”總的來說：“左加右減，上加下減”六、二次函數(shù)圖象的畫法 五點(diǎn)繪圖法：

4、利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).七、二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 一般式：（，為常數(shù)，），適用條件：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，），適用條件

5、：已知圖像上點(diǎn)兩坐標(biāo)，且其中一點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 交點(diǎn)式（兩根式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）， 適用條件：已知圖像上三點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩點(diǎn)為拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)（，0），（，0），一般選用交點(diǎn)式；八、掌握二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系(以a>0為例）判別式 二次函數(shù)a>0對稱軸：交點(diǎn)式：當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時(shí)，y>0一元二次方程 兩根為（有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根）（有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）無實(shí)根九、二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲道庙旤c(diǎn)坐標(biāo)公式，

6、即當(dāng)時(shí)，；或先配方利用頂點(diǎn)式求最值。 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).考點(diǎn)分析考點(diǎn)一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】(1)二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,8) B(1,8) C(1,2) D(1，4)(2)已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經(jīng)過點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)，試比較y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公

7、式或配方法來求1，8，二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,8)故選A.(2)點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側(cè)，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可設(shè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，y3)，拋物線對稱軸為直線x1，點(diǎn)(0，y3)與點(diǎn)(2，y2)關(guān)于直線x1對稱y3y2.a0，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)方法總結(jié) 1將拋物線解析式寫成ya(xh)2k的形式，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，對稱軸為直線xh，也可應(yīng)用對稱軸公式x，頂點(diǎn)坐標(biāo)來求對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)2比較兩個(gè)二次函數(shù)值大小

8、的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當(dāng)自變量在對稱軸兩側(cè)時(shí)，看兩個(gè)數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當(dāng)自變量在對稱軸同側(cè)時(shí)，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷觸類旁通1 已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是()Aa0B當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大Cc0D3是方程ax2bxc0的一個(gè)根考點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號【例2】如圖，是二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的一部分，給出下列命題：abc0；b2a；ax2bxc0的兩根分別為3和1；a2bc0.其中正確的命題是_(只要求填寫正確命題的序號)解析：由圖象可知過(1,0)，代入得到abc0；根據(jù)

9、1，推出b2a；根據(jù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得出與x軸的交點(diǎn)是(3,0)，(1,0)；由a2bca2bab3b0，根據(jù)結(jié)論判斷即可答案：方法總結(jié) 根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)形結(jié)合問題，具有較強(qiáng)的推理性解題時(shí)應(yīng)注意a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)，拋物線的對稱軸由a，b共同決定，b24ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況當(dāng)x1時(shí)，決定abc的符號，當(dāng)x1時(shí)，決定abc的符號在此基礎(chǔ)上，還可推出其他代數(shù)式的符號運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想更直觀、更簡捷觸類旁通2 小明從如圖的二次函數(shù)yax2bxc的圖象中，觀察得出了下面五個(gè)結(jié)論：c0；abc0；abc0；2a3

10、b0；c4b0，你認(rèn)為其中正確的結(jié)論有()A2個(gè) B3個(gè)C4個(gè) D5個(gè)考點(diǎn)三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】二次函數(shù)y2x24x1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)2x2的圖象()A向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位C向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點(diǎn)式，然后確定如何平移，即y2x24x12(x1)23，將該函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位就得到y(tǒng)2x2的圖象答案：C方法總結(jié) 二次函數(shù)圖象的平移實(shí)際上就是頂點(diǎn)位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后按照“左

11、加右減、上加下減”的規(guī)律進(jìn)行操作觸類旁通3 將二次函數(shù)yx2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)解析式是()Ay(x1)22 By(x1)22Cy(x1)22 Dy(x1)22考點(diǎn)四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線yax2bxc恰好經(jīng)過x軸上A，B兩點(diǎn)(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式解：(1)由拋物線的對稱性可知AEBE.AODBEC.OAEBEA.設(shè)菱形的邊長為2m，在RtAOD中，m2()2(2m)2，解得m1.DC2，OA1，OB3.A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別

12、為(1,0)，(3,0)，(2，)(2)解法一：設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)2，代入A的坐標(biāo)(1,0)，得a.拋物線的解析式為y(x2)2.解法二：設(shè)這個(gè)拋物線的解析式為yax2bxc，由已知拋物線經(jīng)過A(1,0)，B(3,0)，C(2，)三點(diǎn)，得解這個(gè)方程組，得拋物線的解析式為yx24x3.方法總結(jié) 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，需根據(jù)已知條件，靈活選擇解析式：若已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)一般式；若已知二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式；若已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(或小)值，可設(shè)頂點(diǎn)式觸類旁通4 已知拋物線yx2(6)xm3與x軸有A，B兩個(gè)交點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸

13、對稱(1)求m的值；(2)寫出拋物線的關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)五、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例5】我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售當(dāng)?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P(x60)241(萬元)當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二·五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項(xiàng)目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q(100x)2(100x)160(

14、萬元)(1)若不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少；(2)若按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根據(jù)(1)、(2)，該方案是否具有實(shí)施價(jià)值？解：(1)當(dāng)x60時(shí)，P最大且為41萬元，故五年獲利最大值是41×5205(萬元)(2)前兩年：0x50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x50時(shí)，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×280(萬元)后三年：設(shè)每年獲利為y萬元，當(dāng)?shù)赝顿Y額為x萬元，則外地投資額為(100x)萬元，所以yPQx260x165(x30)21 065，表明x30時(shí)，y最大且為1 065，那么三年獲利最大為1 065

15、15;33 195(萬元)，故五年獲利最大值為803 19550×23 175(萬元)(3)有極大的實(shí)施價(jià)值方法總結(jié) 運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實(shí)際生產(chǎn)中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1列出二次函數(shù)的關(guān)系式，列關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍2在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值觸類旁通5 一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬件今年計(jì)劃通過適當(dāng)增加成本來提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出

16、廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計(jì)今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中0x11)(1)用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為_元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為_元；(2)求今年這種玩具的每件利潤y(元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當(dāng)x為何值時(shí)，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤(每件玩具的出廠價(jià)每件玩具的成本)×年銷售量課后習(xí)題1拋物線yx26x5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(A)A(3，4) B(3,4) C(3，4) D(3,4)2由二次函數(shù)y2(x3)21，可知(C)A其圖象的開口向下B其圖象的對稱軸為直線x

17、3C其最小值為1D當(dāng)x3時(shí)，y隨x的增大而增大3已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(D)Ak4 Bk4Ck4且k3 Dk4且k34如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關(guān)系正確的是(A)(第4題圖)Amn，kh Bmn，khCmn，kh Dmn，kh5如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(1，2)，該圖象與x軸的另一交點(diǎn)為C，則AC長為_(第5題圖)解析：3把A(1,0)，B(1，2)代入yx2bxc得解得yx2x2，解x2x20得x11，x22，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，AC3.6拋物線yax2bxc上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)

18、y的對應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是_(填寫序號)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3,0)；函數(shù)yax2bxc的最大值為6；拋物線的對稱軸是直線x；在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大解析：由圖表可知當(dāng)x0時(shí)，y6；當(dāng)x1時(shí)，y6，拋物線的對稱軸是直線x，正確；拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(2,0)，對稱軸是直線x，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0)，正確；由圖表可知，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，正確；當(dāng)x時(shí)，y取得最大值，錯(cuò)誤7拋物線yx2bxc的圖象如圖所示，若將其向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，則平移后的解析式為_解析：yx22x由題中圖象可知，對稱軸為直線x1，所以1，即b2.把點(diǎn)(3,0)代入yx22xc，得c3.故原圖象的解析式為yx22x3，即y(x1)24，然后向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得y(x12)243，即yx22x.82011年長江中下游地區(qū)發(fā)出了特大旱情，為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼辦法，其中購買型、型抗旱設(shè)備所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額